2024年中考数学训练-四点共圆（专项训练）（原卷版+解析）

四点共圆（专项训练）

1.（2023秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形A3CD的外角NABE为80°,

则NADC度数为（）

A.80°B.40°C.100°D.160°

2.（2023秋•滨湖区期中）如图，AB=AD=6,NA=60°,点C在ND4B内

A.4MB.8C.10D.6A/3

3.（2022•靖江市二模）如图，ABLBC,AB=5,点E、R分别是线段A3、射

线3C上的动点，以ER为斜边向上作等腰/D=90°,连接AD,

则AD的最小值为.

4.如图，ZkABC和△BCD均为直角三角形，ZBAC=ZBDC=90°,AB=2,

连接AD.若NADB=30°,则AC的长为.

5.如图，在四边形A3CD中，BD=6,ZBAD=ZBCD=90°,则四边形A3CD

面积的最大值为

A

B

C

6.如图，在△ABC和△AC。中，ZABC=ZADC=45°,AC=6,则AD的最

大值为.

7.如图，△ABC中，AB=AC,NR4c=90°，点。是3C的中点，点E,F分

别为A3,AC边上的点，且NEZ加=90°,连接EE则NDER的度数为.

8.（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的RtZkABC和Rt^CED中，

ZACB=ZCDE=90°,ZA=ZDCE=30°，且点。在线段A3上，则NABE

=30°若AC=10,CD=9,则3E=.

9.（2023秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在O。中，弦所对的圆心

角/5。。=90°,点A在优弧3c上运动（点A不与点3、C重合），连结

AB.AC.

（1）在点A运动过程中，NA的度数是否发生变化？请通过计算说明理由.

（2）若3C=2,求弦AC的最大值.

【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC=4,ZA=60°.若胆、N分别是AB、

3C的中点，则线段MN的最大值为

AA

图②

10.（2022秋•仪征市期中）【问题提出】

苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两

个问题：

1.如图（1）,在o。的内接四边形ABCD中，3。是o。的直径.NA与N

C、NABC与NADC有怎样的数量关系？

2.如图（2）,若圆心。不在OO的内接四边形A3CD的对角线上，问题（1）

中发现的结论是否仍然成立？

（1）小明发现问题1中的NA与NC、NABC与NADC都满足互补关系，请

帮助他完善问题1的证明：

：3。是。。的直径，

AZA+ZC=180°,

•••四边形内角和等于360°,

（2）请回答问题2,并说明理由；

【深入探究】

如图（3）,。。的内接四边形A3CD恰有一个内切圆。/,切点分别是点E、

F、G、H,连接GH,EF.

（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系；

（4）探究ERGH满足的位置关系；

（5）如图（4）,若NC=90°,BC=3,CD=2,请直接写出图中阴影部分

的面积.

10.（2022•遵义）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四

边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点3,D,连接AD,AB,BC,CD,如果NB=

ND,那么A,B,C,。四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的O。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），

连接AE,CE,则NAEC+/D=180°（依据1）

/B=/D

：.ZAEC+ZB=180°

.•.点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

:.点、B,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

・•.点A,B,C,。四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

(2)如图3,在四边形ABCD中，N1=N2,N3=45°,则N4的度数为.

拓展探究：

(3)如图4,已知△ABC是等腰三角形，A3=AC,点。在上(不与3c

的中点重合)，连接AD作点C关于AD的对称点E,连接防并延长交AD

的延长线于R连接AE,DE.

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若AB=2&,AD・AR的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，

请说明理由.

图1图2

11.如图，在△ABC中,以A3为直径作O。交AC于点。，交3C于点E,CE

BE,过点E作EfUAC于点E的延长线交A3的延长线于点G,连接

DE.

(1)求证：RG是OO的切线；

(2)求证：EG=AG・BG；

(3)若3G=1,EG=®,求sinNCDE的值.

四点共圆（专项训练）

1.（2023秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形A3CD的外角NA3E为80°,

则NADC度数为（）

A.80°B.40°C.100°D.160°

【答案】A

【解答】解：•.•四边形ABC。为圆内接四边形，

AZADC+ZABC=1SQ°,

VZABE+ZABC=1SO°,

AZADC=ZABE=80°,

故选：A.

2.（2023秋•滨湖区期中）如图，AB=AD=6,NA=60°,点C在ND43内

A.4MB.8C.10D.6A/3

【答案】A

【解答】解：如图，连接AC,BD,在AC上取点M使。M=£>C,

AZDAB+ZDCB=1SQ°,

AA,B,C,D,四点共圆，

'：AD^AB,NDAB=60°,

...△ADB是等边三角形，

AZABD^ZACD=60°,

'：DM=DC,

：.△DMC是等边三角形，

AZADB=ZACD=60°,

ZADM=ZBDC,

\'AD=BD,

：.AADM^ABDC(SAS),

：.AM=BC,

：.AC=AM+MC=BC+CD,

,：四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC,

且A£)=A3=6,

.•.当AC最大时，四边形ABC。的周长最大，则CB+CD最大，

此时C点在前的中点处，

：.ZCAB=30°,

.,.AC的最大值=43*8530。=4«,

：.CB+CD最大值为AC=4«,

故选：A.

3.(2022•靖江市二模)如图，ABLBC,AB=5,点E、R分别是线段A3、射

线3c上的动点，以ER为斜边向上作等腰RL^DEFZD=9Q°,连接AD,

则AD的最小值为.

【解答】解：连接3。并延长，如图,

AZABC=90°,ZEDF=90°,

：.ZABC+ZEDF=180°,

：.B,E,D,一四点共圆,

•••△DER为等腰直角三角形，

：./DEF=/DFE=45°,

：.NDBF=NDEF=45°,

：.ZDBF=ZDBE=45°,

点D的轨迹为/ABC的平分线上，

•••垂线段最短，

.,.当时，AD取最小值，

：.AD的最小值为近＜3=旦;2,

22

故答案为：旦反.

2

4.如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，ZBAC=ZBDC=90°,AB=2,

连接AD.若NADB=30°,则AC的长为.

【答案】2V3

【解答】解：,.•/A4c=NBDC=90°,

...A,B,C,。四点共圆，

VZADB=30°,AB=2,

：.ZACB^ZADB=3Q°,

：.BC=2AB=4,

•"-AC=VBC2-AB2=V42-22=273-

故答案为：

5.如图，在四边形A3CD中，BD=6,ZBAD=ZBCD=90°,则四边形A3CD

面积的最大值为.

【答案】18

【解答】解：•.•NBA£)=NJBC£)=90°,

AA,C两点在以3。为直径的圆上，

...当A3=AD,CB=C£>时，四边形ABC。面积最大，

•；BD=6,

:.AB=AD=CB=CD=3近,

•••四边形BCD的面积为3&X3ax=18.

故答案为：18.

6.如图，在△ABC和△ACD中，ZABC=ZADC=45°,AC=6,则AD的最

大值为•

【答案】672

【解答】解：•••NABC=NA£>C=45°,

...A,C,D,B四点共圆，

如图，作O。经过A,C,D,8四点，

当A。(£>')为直径时，AD有最大值,

VZADC=45°,

：.ZAOC=90°,

"：OA=OC,

.,.△AOC是等腰直角三角形,

"：AC=6,

.,.A0=6X亚=3加,

2

：.AD'=2AO=6让,即AD的最大值为6&.

故答案为：6如.

7.如图，AABC^,AB=AC,NA4c=90°，点。是BC的中点，点E,R分

别为AB,AC边上的点，且NEZ»=90°,连接EF,则NDER的度数为.

【解答】解：如图，连接4。，

「△ABC中，AB^AC,ZBAC=90°,点。是的中点,

AZADC=90°,AD=CD,ZBAD=ZC=45°,

而/即R=90°,

ZADE=ZCDF,

在△ADE和△CDF中，

，ZBAD=ZC

<AD=CD，

ZADE=ZCDF

.MADE名ACDF(ASA),

：.DE=DF,

而NEDR=90°,

：.NDEF=NDFE=45°.

故答案为：45°.

8.（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt^ABC和RtACED中，

ZACB=ZCDE=9Q°,ZA=ZDCE=30°，且点。在线段A3上，则NA3E

=30°若AC=10,CD=9,则3E=.

【解答】解：VZACB=ZCDE=90°,NA=NDCE=30°,

:.NDBC=/DEC=60°,

:BC、D、E四点共圆，

:./DBE=NDCE=30°,

AZABE=30°,

设3C=x,则AB=2x,

在RtAABC中，

由勾股定理得A^MAG+BC2,

VAC=10,

(2x)2=102+x2,

解得：jW3_,

3

:.BC=10F,

3

设DE=a,贝ICE=2m

在RtaCED中，

由勾股定理得CE2=DE?+CD2,

'：CD=9,

(2a)2=cr+92,

解得：a-3^/3,

DE—3v，CE=6^/3，

VZABC=60°,ZABE=30°,

ZCBE=ZABC+ZABE=90°,

在RtZXCBE中，

由勾股定理得BE=7CE2-BC2J()2-(1。1’=任辱■.

9.(2023秋•宽城区期末)【问题原型】如图①，在O。中，弦3c所对的圆心

角NBOC=90°,点A在优弧BC上运动(点A不与点B、C重合)，连结

AB.AC.

(1)在点A运动过程中，NA的度数是否发生变化？请通过计算说明理由.

(2)若3c=2,求弦AC的最大值.

【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC=4,ZA=60°.若M、N分别是A3、

3C的中点，则线段MN的最大值为.

【解答】解：【问题原型】(1)NA的度数不发生变化，理由如下:

VZA4-ZBOC-NBOC=90。，

•*-ZA=yX90°=45°；

(2)当AC为O。的直径时，AC最大，

在RtABOC中，ZBOC=90°,

根据勾股定理，得。屈+。。2=302,

"：OB=OC,

OC=2y-BC=^y-X2=V2>

•••AC=20C=2点，

即AC的最大值为2>方；

【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆O。，连接。3,OC,ON,

则ONLBC,/BON=60°,BN=^BC=2,

2

'.0B=,

,：M.N分别是AB、BC的中点，

.•.MN是△ABC的中位线，

：.MN=^AC,

2

...AC为直径时，AC最大，止匕时4。=2。8=竺叵，

3

.,.MN最大值为生应，

3

故答案为：生反.

3

10.（2022秋•仪征市期中）【问题提出】

苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两

个问题：

1.如图（1）,在OO的内接四边形A3CD中，3。是OO的直径.NA与N

C、NA5C与NADC有怎样的数量关系？

2.如图（2）,若圆心。不在O。的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）

中发现的结论是否仍然成立？

（1）小明发现问题1中的NA与NC、NA3C与NADC都满足互补关系，请

帮助他完善问题1的证明：

,；BD是（JO的直径,

AZA+ZC=180°,

•••四边形内角和等于360°,

（2）请回答问题2,并说明理由；

【深入探究】

如图（3）,。。的内接四边形ABCD恰有一个内切圆切点分别是点E、

F、G、H,连接GH,EF.

（3）直接写出四边形A3CD边满足的数量关系；

（4）探究ERGH满足的位置关系；

（5）如图（4）,若NC=90°,BC=3,CD=2,请直接写出图中阴影部分

的面积.

图（3）图（4）

.•.NA=NC=90°,

AZA+ZC=180°,

•••四边形内角和等于360°,

AZABC+ZADC^1SO°；

故答案为：ZA=ZC=90°,ZABC+ZADC=180°；

(2)成立，理由如下：

连接AC、BD,

'：ZDAC=ZCBD,ZACD=ZABD,

：.ZDAC+ZACD=ZDBC+ZABD=ZABC,

,：ZDAC+ZACD+ZADC=180°,

AZABC+ZADC=180°；

同理，ZBAD+ZBCD=180°；

【深入探究】(3)AD+BC=AB+CD,理由如下：

连接A/、BI、CI、DI,

,圆/是四边形ABCD的内切圆，

：.AG=AE,DE=DH,CH=CF,BF=BG,

：.AD+BC=AE+ED+BF+CF=AG+DH+BG+CH=AB+CD,

即AD+BC=AB+CD,

故答案为：AD+BC=AB+CD；

(4)EF±GH,理由如下：

连接EH、IH、IG、IF、GF,

.四边形ABC。是圆。的内接四边形，

AZB+Zr)=180o,

'."BG1IG,1FLBF,

：.ZBGI=ZIFB=9O°,

AZB+ZG/F=180°,

：.ZGIF=ZD,

"：GI=IF,

：.ZGFI=9Q°-工/GIF,

2

•:ED=DH,

：.ZDEH=90°-1ZD,

2

NGFI=ZDEH,

VGE=GE，

...NGFE=ZGHE,

ZGHE=ZGFI+ZIFE,

•：IF=IE,

：./IFE=ZIEF,

：.ZFEH+/EHG=ZFEH+ZIEF+ZDEH=ZEID=90°,

：.EF±GH；

(5)连接5D,

VZC=90°,

ZA=90°,

,.,ABC。是圆0的内接圆，

.•.3。是圆。的直径，

连接/RIH,

是四边形A3CD的内切圆圆心，

，ZADI=ZIDH,ZABI=ZFBI,

\'IH±CD,IF±BC,

：.ZBIF=9Q°-ZIBF,NDIH=90°-ZIDH,

：.ZBIF+ZDIH=\SQ°-(ZIBF+ZIDH)=180°-1CZADC+ZABC),

2

VZABC+ZADC=1SQ°,

：.ZBIF+ZDIH=90°,

'：IF±FC,IHLCD,ZC=90°,IH=IF,

四边形田C尸是正方形，

:.NHIF=90°,

.♦./点在3。上，

,:BC=3,CD=2,

••s四边形ABCD-3X2=6,

'：ZDIH+ZIDH=90°,ZIBF+ZIDH=9Q°,

，ZDIH=ZIBF,

•：NIHD=/IFB=90°,

ADHIsAiFB,

•JH=DH即IH_2-IH

**BFIF3-IHIH

解得出=2,

5

•*•50/=—IT,

25

••・阴影部分的面积=6-迤m

25

图（4）

A

图（3）

图（3）

图（2）

10.（2022•遵义）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四

边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点3,D,连接AD,AB,BC,CD,如果NB=

/D,那么A,B,C,。四点在同一个圆上.

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的O。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），

连接AE,CE,则NAEC+ND=180°（依据1）

ZB=ZD

：.ZAEC+ZB=180°

・•.点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

・•.点3,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

・•.点A,B,C,。四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）如图3,在四边形A3CD中，N1=N2,N3=45°,则N4的度数为.

拓展探究：

（3）如图4,已知△ABC是等腰三角形，A3=AC,点。在3c上（不与3c

的中点重合），连接AD.作点。关于AD的对称点E,连接仍并延长交AD

的延长线于E连接AE,DE.

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若A5=2后，AD・AR的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，

请说明理由.

图3图4

图1图2

【解答】(1)解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直

线上的三个点有且只有一个圆，

故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一

个圆；

(2)解：VZ1=Z2,

.•.点A,B,C,。四点在同一个圆上，

.•.N3=N4,

VZ3=45°,

AZ4=45°,

故答案为：45°；

(3)①证明："：AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

••,点E与点。关于A