内蒙古赤峰市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）

2019—2020学年度第一学期期中考试高一级数学试题卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.如果，，，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】，则，故选D．2已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，∴故选C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3.设为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则（）A. B. C.5 D.3【答案】B【解析】【分析】根据可得值，然后根据奇函数的性质结合条件即得.【详解】∵为定义在R上的奇函数，∴，所以,∴故选：B4.已知幂函数图象过点，则A.3 B.9 C.-3 D.1【答案】A【解析】【详解】设幂函数f（x）=xα，把点（3，）代入得，3α=，解得α=，即f（x）==，所以f（9）==3，故选A．5.方程的解所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，判断其零点所在的区间即可.【详解】令，因为，.根据零点存在定理可知在区间内存在函数的零点，即方程的解所在的区间为故选：【点睛】本题主要考查了方程的根与函数的零点，属于基础题,6.下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指对幂函数的性质比较各项指对幂的大小.【详解】：，故，错误；B：由在定义域上递增，则，错误；C：由在定义域上递减，则，错误；D：由在定义域上递增，则，由在定义域上递减，则，所以，正确.故选：D7.若在上是减函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数法求出函数的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围.【详解】对于函数，有，解得或，所以，函数的定义域为，因为内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为上的减函数，由复合函数法可知，函数的单调递减区间为，又因为函数在上是减函数，则，解得.故实数的取值范围是.故选：D.8.函数的图像大致为()A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.若函数为偶函数，且在上单调递减，，则的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意作出函数图象如下：知，或，解之得故选A10.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有（）A最小值－8 B.最大值－8 C.最小值－6 D.最小值－4【答案】D【解析】【分析】根据f(x)和g(x)都是奇函数，可得函数为奇函数，再根据F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.【详解】解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数为奇函数，又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，所以函数在(0，＋∞)上有最大值6，所以函数在(－∞，0)上有最小值，所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.故选：D11.已知函数，若（互不相等），且的取值范围为，则实数的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】做出的图像，结合函数图像与对数运算即可得到结果.【详解】做出的图像，如图所示，可令，则由图知点，关于直线对称，所以，又，所以，由于（互不相等），结合图像可知点的坐标为，代入函数解析式，得，解得，故选:．12.已知是函数的一个零点，若，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号.【详解】由于函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，，，.故选：B.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分13.已知集合，则集合子集的个数为_______________【答案】4【解析】【详解】,所以集合子集有共4个.14.若函数为偶函数，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义可得出关于实数的等式组，解之即可.【详解】因为，该函数的定义域为，因为函数为偶函数，则，即，可得对任意的恒成立，故，解得.故答案为：.15.函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______．【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．【详解】解：∵幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；综上，m=﹣1，故答案为﹣1【点睛】本题考查了幂函数定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．16.已知函数，满足对任意的实数（），都有成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，判断函数的单调性，再利用分段函数单调性求解作答.【详解】函数的定义域为R，因对任意的实数（），都有成立，则函数是R上的单调递增函数，当时，函数递增，则，当时，函数递增，，解得，由函数在R内递增知，，解得，综上得，所以实数的取值范围为.故答案为：三、解答题（本题共6道小题，共70分）17.已知集合.（1）求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：首先化简集合，，求出，再利用数轴求并集；由，先考虑时，此时，当时，解析：（1），（2）当时，，此时；当时，，则综上所述，的取值范围是.点睛：解指数不等式我们可以求出集合，解对数不等式我们可以求出集合，再由集合补集的运算规则，求出，进而由集合交集和并集的运算法则，即可得到答案，对于我们分和两种情况，分别求出对应的实数的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．18.已知函数．（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围【答案】（1）最大值是，最小值是（2）【解析】【分析】（1）分析二次函数在上的单调性，可得出函数在上的最大值和最小值；（2）令，对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：因为，，对称轴为直线，开口向下，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，又因为，，则，所以在区间上的最大值是，最小值是．【小问2详解】解：令，函数的对称轴是直线，开口向下，又在上是单调函数，当函数在上单调递增时，则，解得；当函数在上单调递减时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.19.已知函数（1）若，求函数的零点；（2）若函数在上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）零点为-2，0，；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得①，或②，分别解①和②，求得的值，即为所求．（2）显然函数在，上递增，且；在，也递增，且，则由题意可得，由此求得的范围．【详解】解：（1）若，由，可得①，或②．解①求得，解②求得，或．综上可得，函数的零点为，0，．（2）函数在上是增函数，且，函数在上为增函数，且，若在上为增函数，则，∴.【点睛】本题主要考查求函数的零点，函数的单调性的判断以及性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20.已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，(1)求g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最大值和最小值．【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【详解】（1）f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设．∵x∈[0,1],即∈[1,2]，∴当=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．21.定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明事由．（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】（1）为“局部奇函数”；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解，有解则是“局部奇函数”，若无解，则不是；（2）（3）都是利用“局部奇函数的定义”，建立方程关系，并将方程有解的问题转化成二次方程根的分布问题，从而求出各小问参数的取值范围.【详解】（1）当时，方程即为，解得：.所以为“局部奇函数”；（2）当时，可化为因为的定义域为，所以方程在上有解令，则，设，则在上为减函数，在上为增函数，所以当时，，所以，即；（3）当为定义域上的“局部奇函数”时,可化为，令则,从而在有解,即可保证为“局部奇函数”令，则i.当时,在有解,即,解得ii.当时,在有解等价于解得;综上：.22.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有.（1）证明：在上是增函数；（2）解不等式；（3）若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析