2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年浙江省宁波市郸州区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

X

1.（4分）如果无：y=2：3,那么---的值是（）

x+y

2535

A.—B.—C.—D.—

5253

2.（4分）下列事件是必然事件的是（）

A.抛一枚骰子朝上数字是6

B.打开电视正在播放疫情相关新闻

C.煮熟的鸡蛋孵出一只小鸡

D.400名学生中至少有两人生日同一天

3.（4分）下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（）

A.y=（x-1）2+3B.y—（x-1）2-3C.y=（x+1）2+3D.y=（x+1）2-3

4.（4分）如图，ZXABC中，AB^AC^lOcm,BC=12cm,AD_LBC于点。，点尸为AD上

的点，DP=2,以点尸为圆心6。"为半径画圆，下列说法错误的是（）

A.点A在。P外B.点8在OP外C.点C在OP外D.点。在。尸内

5.（4分）已知tanA=1.5,则/A的度数所属范围是（）

A.30°<ZA<45°B.45°<ZA<60°C.60°<ZA<75°D.75°<ZA<90°

6.（4分）直角三角形的外接圆半径为3,内切圆半径为1,则该直角三角形的周长是（）

A.12B.14C.16D.18

7.（4分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过，秒时球的高度为九米，h

和t满足公式：/2=丫0/-%户（V0表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取g=10米/秒

2）,则球不低于3米的持续时间是（）

A.0.4秒B.0.6秒C.0.8秒D.1秒

8.（4分）如图，8。是△ABC的角平分线，DE〃BC交AB于点、E,若△ABC的重心G在

上，贝"42：BC的值是（）

A,

BC

A.3：2B.7：4C.2：1D.8：5

9.（4分）二次函数y=a?+（l-a）x+4-2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.与y轴交点的纵坐标小于4

B.对称轴在直线x=0.5左侧

C.与无轴正半轴交点的横坐标小于2

D.抛物线一定经过两个定点

10.（4分）如图，。。是锐角△ABC的外接圆，直径AD平分/3AC交8C于E,EFLAB

于尸，EGLAC于G,连结。凡DG,要求四边形人口火？面积，只需知道下列选项中某

个三角形的面积，则这个三角形是（）

D

A.△AEGB.C.△ABCD.丛DEG

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.（5分）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°,则该正多边形边数

是.

12.（5分）某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，则打通一

次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率是.

13.（5分）如图，矩形ABC。被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形ABC。

14.（5分）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，cos/ABC=',

则梯子AB的长是.

15.（5分）如图，平面直角坐标系中有一点A（4,2）,在以M（0,3）为圆心，2为半径

的圆上有一点P,将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，则点P的坐标是.

16.（5分）如图，点A是抛物线上不与原点。重合的动点，轴于点8,过点

2作OA的垂线并延长交y轴于点C,连结AC,则线段OC的长是,AC的最小

值是.

三、解答题（第17〜19题各8分，第20〜22题各10分，第23题12分，第24题14分,

共80分）

17.（8分）（1）计算：cos30°*tan60°-sin245°；

（2）已知实数%满足x：3=G+2）：4,求工的值.

18.（8分）一个不透明口袋里装有4个除颜色外其他完全相同的球，其中红球2个，黄球1

个，白球1个.

（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率；

（2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回，第二次再摸出1个球.用列表或画树

状图写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率.

19.（8分）如图，由边长为1的小正方形组成的6X6网格中，△ABC顶点在网格上，点、D

在8c边上，且BQ=2cZ）.

（1）8。长等于；

（2）请你仅用无刻度的直尺在边A3上找点E,使得△3DE与△ABC相似.（要求画出

两种情形）

20.（10分）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏

东70°方向，2小时后渔船到达8处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围

20海里范围内有暗礁.（参考数据:sin70°^0.94,cos70°20.34,tan70°^2.75,V2-1.41）

（1）求8处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；

（2）为安全起见，渔船在8处向东偏南转了25°继续航行，通过计算说明船是否安全？

21.（10分）如图，A8是的直径，C,。是圆上两点，且有益=前，连结4。，AC,

作DELAC的延长线于点E.

（1）求证：OE是。。的切线；

（2）若AD=2次，ZAD£=60°,求阴影部分的面积.（结果保留TT）

E

D

22.(10分)如图，抛物线y=#+2x+c经过点A(0,3),将该抛物线平移后，点A(0,3)

到达点B(4,1)的位置.

(1)求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线；

(2)过点8画平行于y轴的直线交原抛物线于点C,求线段BC的长；

(3)若平行于y轴的直线/：x=m与两条抛物线的交点是P,Q,当线段尸。的长度超

23.(12分)如图1,△ABC是等边三角形，D是AC边上不与点A重合的一点，延长BC

到点E,使得CE=AD,延长AC到/使CE=AC,连结ERBD.

(1)若NABD=20°,求/C尸E和NCEP的度数.

(2)如图2,取BD的中点M,连结AM,AE,求证：

(3)在(2)的条件下，连结EM,判断AM和的位置关系和数量关系并说明理由.

AA

D

（图1）（图2）F

24.(14分)【问题提出】

如图1,△ABC中，线段QE的端点。，E分别在边A8和AC上，若位于DE上方的两

条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即ADXAE=BDXCE,

则称。E是△ABC的“友好分割”线段.

(1)如图1,若。£是△ABC的“友好分割”线段，AD=2CE,A8=8,求AC的长；

【发现证明】

(2)如图2,ZkABC中，点厂在8C边上，FD〃AC交A2于。，FE〃AB交AC于E,

连结。E,求证：OE是△ABC的“友好分割”线段；

【综合运用】

(3)如图3,DE是△ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于R

过点A画AG//DE交△AOE的外接圆于点G,连结GE,设处=x,—=y.

DBFB

①求y关于x的函数表达式；

②连结BG,CG,当尸金时，求黑的值.

（图1）(图2)（图3）

2021-2022学年浙江省宁波市郸州区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

X

1.（4分）如果％：y=2：3,那么---的值是（）

x+y

2535

A.—B.-C.-D.一

5253

【解答】解：,・・％：y=2：3,

*,*2y=3%,

._3

,.y-尹，

*xx2

••—3——•

x+yx+-x5

故选：A.

2.（4分）下列事件是必然事件的是（）

A.抛一枚骰子朝上数字是6

B.打开电视正在播放疫情相关新闻

C.煮熟的鸡蛋孵出一只小鸡

D.400名学生中至少有两人生日同一天

【解答】解：A.抛一枚骰子朝上数字是6,这是随机事件，故A不符合题意；

艮打开电视正在播放疫情相关新闻，这是随机事件，故B不符合题意；

C.煮熟的鸡蛋孵出一只小鸡，这是不可能事件，故C不符合题意；

D.400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故。符合题意；

故选：D.

3.（4分）下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（）

A.y=（尤-1）2+3B.y—（x-1）2-3C.y—（x+1）2+3D.y=（x+1）2-3

【解答】解：A.二次函数的顶点为（1,3）,在第一象限，不合题意；

B.二次函数的顶点为（1,-3）,在第四象限，不合题意；

C.二次函数的顶点为（-1,3）,在第二象限，符合题意；

D.二次函数的顶点为（-1,-3）,在第三象限，不合题意；

故选：C.

4.（4分）如图，△ABC中，AB=AC=lQcm,BC=\2cm,AO_LBC于点。，点尸为上

的点，DP=2,以点P为圆心6c机为半径画圆，下列说法错误的是（）

A.点A在。尸外B.点&在。尸外C.点C在。尸外D.点。在OP内

【解答】解：连接P3,

'：AB=AC=10cm,BC=\2cm,AD_LBC于点。，

BD=CD=6cm,

：.AD=y/AB2-BD2=8c〃z,

：.PA=AD=DP=S-2=6cm,

在RtZXPBD中，BD=6cm,PD=2cm,

：.PB=y/PD2+BD2=2>JT0cm,

VPB=PC=2V10>6,PD=2<6,AP=6,

，点A在。尸上，点8、C在OP外，点。在0P内.

故选：A.

5.（4分）已知tanA=1.5,则NA的度数所属范围是（）

A.30°<ZA<45°B.45°<ZA<60°C.60°<ZA<75°D.75°<ZA<90°

【解答】解：Vtan45°=1,tan60°=V3,tanA=1.5,

.,.45°<ZA<60°,

故选：B.

6.（4分）直角三角形的外接圆半径为3,内切圆半径为1,则该直角三角形的周长是（）

A.12B.14C.16D.18

【解答】解：如图，设O/切AB于E,切BC于F,切AC于£>,连接花，IF,ID,

则/C£»/=/C=/CT7=90°,ID=IF=1,

四边形CD/尸是正方形，

：.CD=CF=l,

由切线长定理得：AD^AE,BE=BF,CF=CD,

•.•直角三角形的外接圆半径为3,内切圆半径为1,

：.AB=6=AE+BE=BF+AD,

即AABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14,

故选:B.

7.（4分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t秒时球的高度为h米，h

和f满足公式：仁池-如2（vo表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取g=10米/秒

2）,则球不低于3米的持续时间是（）

A.0.4秒B.0.6秒C.0.8秒D.1秒

【解答】解：：阳=8,g=10,

.\h=St-5於,

将h=3代入-=将-5»得3=8L5Z2,

解得力=|,/2=1,

.•.球不低于3米的持续时间是1—|=|=04（秒），

故选：A.

8.（4分）如图，8。是△A8C的角平分线，DE〃BC交AB于点、E,若△A8C的重心G在

DE上,贝！JA8：8c的值是（）

A.3：2B.7：4C.2：1D.8：5

【解答】解：连接AG,并延长AG交于点H,

：G是△ABC的重心，

，AH是△ABC中线，且——=2,

GH

,:ED〃BC,

AEAG

•・•—_―—乙O,

BEGH

•；BD是△A3C的角平分线，

：.ZEBD=ZDBC,

■:DE//BC,

：.ZEDB=ZDBC,

:・/EBD=NEDB,

:.EB=ED,

设EB=ED=a,

则AE=2a,

EDAE

9.（4分）二次函数产”/+（15）］+4-2〃的图象如图所示，则下列说法正确的是（

A.与y轴交点的纵坐标小于4

B.对称轴在直线x=0.5左侧

C.与无轴正半轴交点的横坐标小于2

D.抛物线一定经过两个定点

【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，

'.a<0,

令尤=0,则y=4-2a>4,

•••抛物线与y轴的交点大于4,

故A错误；

二次函数的对称轴为尤=易，

Va<0,

2a22a2

故对称轴在x=0.5右侧，

故2错误；

取a--1,抛物线为y=-/+2x+6,

其与x轴正半轴的交点为：

-2-^2-4X（-1）X

X=6=I+V7>^

—L

故c错误；

y—ajC+（1-。）龙+4-2a=a（x--x-2）+x+4,

令x2-x-2=0,

解得：x=2或彳=-1,

当x=2时，y=6,

当x=-1时，y=3,

抛物线经过点（2,6）和（-1,3）两个顶点，

故O正确.

故选：D.

10.（4分）如图，。。是锐角△ABC的外接圆，直径AD平分N3AC交8C于E,EFLAB

于尸，EGLAC于G,连结DF,DG,要求四边形AEDG面积，只需知道下列选项中某

个三角形的面积，则这个三角形是（）

A

A.AAEGB.ABEFC.AABCD.ADEG

【解答】解：连接BDDC,

9：AD为直径，

ZABD=ZACD=90°,

,：EFLAB,

：.EF//BD,

••S/^EFD=S/\BEFf

同理SADEG=SAEGC,

；・S四边形AFZ）G=Sz\AEF+SaDEF+Sz\A£；G+SaZ）EG

=SAAEF+SABEF+SAAEG+SACEG

=S/^ABCf

故选：C.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.（5分）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°,则该正多边形边数是六

【解答】解：设正多边形的边数为及.

360°

由题意得，----=60°,

n

・・〃=6,

故答案为：六.

12.（5分）某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，则打通一

次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率是3.

【解答】解：：某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，

，打通一次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率是：上=士.

20020

故答案为：二.

20

13.（5分）如图，矩形A3CD被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形A3CQ

【解答】解：设A£=〃，

・・•三个小矩形全等，

.9.AD=5AE=5a,

・・,每个小矩形都与矩形ABCD相似

,ADAB

•.—,

ABAE

：.AB2=AZ）•AE=5AE1=，

AB=太a,

.\AD：AB=5a：逐〃=V5.

14.（5分）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，cos/A8C=,,

4,

B

【解答】解：在RCABC中，BC=4米，cosZABC=7,

•AB—BC_J4_16（米）

,•A"cos^ABC~3-3,不人

4

,,,16,

故答案为：米.

15.（5分）如图，平面直角坐标系中有一点A（4,2）,在以M（0,3）为圆心，2为半径

的圆上有一点P,将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，则点P的坐标是（V3,

4）或（一百，4）.

:将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，

.,.点P的纵坐标为4,

当点P在第一象限时，过点尸作轴于T,连接

,:T（0,4）,M（0,3）,

：.OM=3.OT=4,

：.MT=1,

：.PT=7PM2-MT?=V22-l2=V3,

：.P（V3,4）,

根据对称性可知，点尸关于y轴的对称点P'（-V3,4）也满足条件.

综上所述，满足条件的点P的坐标为（取,4）或（-百，4）.

故答案为：4）或（一百，4）.

16.（5分）如图，点A是抛物线上不与原点。重合的动点，轴于点8,过点

8作0A的垂线并延长交y轴于点C,连结AC,则线段0C的长是8,AC的最小值

是_4A/3_.

【解答】解：设点A(a,京;2),则点8坐标为(4,0),

19

••OB=\ci\9A.B=Q(I,

o

VZAOB+ZOBC=90°,ZOBC+ZBCO=90°,

・•・ZAOB=ZBCO,

：.△AOBs^BCO,

.OBAB

••—,

COBO

：.OB1=CO-AB,即/=款＜。，

解得CO=8,

：.C(0,8),

VAC2=(尤C-XA)2+(yc-JA)2=a2+-^a4-2a2+64=吉(a4-64a2)+64=吉(a2-32)

2+48,

...当/=32时，4。2=48为最小值，BPAC=4V3.

故答案为：8,4A/3.

三、解答题(第17〜19题各8分，第20〜22题各10分，第23题12分，第24题14分,

共80分)

17.(8分)(1)计算：cos30°*tan60°-sin245°；

(2)已知实数x满足x：3=(x+2)：4,求尤的值.

【解答】解：(1)cos30°*tan60o-sin245°

=^xV3-(―)2

22

=1;

（2）Vx：3=（x+2）：4,

.*.3（x+2）=4%,

3x+6=4x,

・・x=6.

18.（8分）一个不透明口袋里装有4个除颜色外其他完全相同的球，其中红球2个，黄球1

个，白球1个.

（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率；

（2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回，第二次再摸出1个球.用列表或画树

状图写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率.

【解答】解：（1）：不透明口袋里装有4个除颜色外其他完全相同的球，其中红球2个，

黄球1个，白球1个，

..・从中任取一个球，求摸到红球的概率是2=工；

（2）根据题意画图如下:

黄白

红黄白红黄白红红白红红黄

共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有4种，、

41

则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是一=

123

19.（8分）如图，由边长为1的小正方形组成的6X6网格中，△ABC顶点在网格上，点、D

在2C边上，且BD=2CD.

（1）BD长等于2V2；

（2）请你仅用无刻度的直尺在边A8上找点E,使得△8OE与△ABC相似.（要求画出

两种情形）

故答案为：2VL

（2）如图，△BDE即为所求.

c

DJ

/\\

/\

BE\A

20.（10分）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏

东70°方向，2小时后渔船到达8处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围

20海里范围内有暗礁.（参考数据：sin70°=«0.94,cos70°«0.34,tan70°-2.75,迎切.41）

（1）求8处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；

（2）为安全起见，渔船在8处向东偏南转了25。继续航行，通过计算说明船是否安全？

【解答】解：（1）如图，过点C作CNLAD于CNLBE于N,

由题意得，NCAO=90°-70°=20°,ZCBD=90°-45°=45°,42=14X2=28

海里，

,：ZCBD=45°,

：.CM=BM,

在Rt/XCAM中，

..AM

・tanZACM=

.".tan70°=28荒M

解得CM^16,

在RtZXBCA;中，

BC=V2CM=16V2«22.6（海里），

答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里；

（2）在RtZXBCN中，NCBN=45°+25°=70°,BC=16/海里,

：.CN^BC-sinZCBN

«16V2XO.94

,二21.2（海里），

V21.2>20,

，能安全通过，

答：能安全通过.

21.（10分）如图，是。。的直径，C,。是圆上两点，且有皿=前，连结A。，AC,

作DELAC的延长线于点E.

（1）求证：是。。的切线；

（2）若AQ=2百，ZAD£=60°,求阴影部分的面积.（结果保留n）

【解答】（1）证明：连接

E

：.ZCAD=ZBADf

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZCAD=ZODA,

：.AE//ODf

：.ZE+ZODE=90°,

VDEXAC,

：.ZE=90°,

：.ZODE=1SO°-ZE=90°,

TO。是圆。的半径，

・・・。石是。。的切线；

(2)连接5。，

AZAZ)B=90°,

VZAZ)E=60°,ZE=90°,

：.ZCAD=90°-ZADE=30°,

：.ZDAB=ZCAD=30°,

在RtZVIOB中，BD=ADtm30°=2A/3x^=2,

：.AB=2BD=4f

；・0D=0B=2,

:AODB是等边三角形，

：.ZDOB=60°,

・•・AADB的面积=%D・DB

=X2A/3X2

=2日，

*：OA=OB,

1

:.ADOB的面积=/ADB的面积=V3,

阴影部分的面积为：

△ADB的面积+扇形DOB的面积-/\DOB的面积

7

=2b+*-百

=V3+|TT,

阴影部分的面积为：V3+|TT.

22.(10分)如图，抛物线y=#+2x+c经过点A(0,3),将该抛物线平移后，点A(0,3)

到达点B(4,1)的位置.

(1)求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线；

(2)过点8画平行于y轴的直线交原抛物线于点C,求线段8c的长；

(3)若平行于y轴的直线/：x^m与两条抛物线的交点是P,Q,当线段PQ的长度超

过6时，求相的取值范围.

/

f

\/f

L/

//A

、/

B

0

【解答】解：⑴：抛物线y=#+2x+c经过点A(0,3),

110

；・y=2入9,+2工+3=a(X+2)'+1,

由题意可知，抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位，

平移后抛物线的解析式为y=*(x+2-4)2+1-2,即y=:(尤-2)2-1,

：.C(4,19),

：.BC=19-1=18；

11

(3)由题意得|一/+2m+3—5(机-1)2+1|>6,

2/

,7

整理得|3加+引>6,

解得或m<—善

66

23.(12分)如图1,△ABC是等边三角形，D是AC边上不与点A重合的一点，延长BC

到点E,使得CE=A。，延长AC至UP使CP=AC,连结ERBD.

(1)若乙48。=20°,求/CFE和/CEF的度数.

(2)如图2,取BD的中点M,连结AM,AE,求证：AE=2AM.

(3)在(2)的条件下，连结EM,判断AM和EM的位置关系和数量关系并说明理由.

A\A.

(图1)、F(图2)F

【解答】(1)解：・・・△ABC是等边三角形，

ZA=ZACB=60°,AB=AC,

ZA=ZECF=60°,

9：AC=CF,

：.AB=CF,

9

：AD=CEf

：.ABAD^AFCE(SAS),

ZABD=ZCFE=20°,

：.ZCEF=180°-ZECF-ZCFE=180°-60°-20°=100°；

(2)证明：如图2中，取Eb的中点N,连接CN.

A

VAM,CN分别是△AB。，△£；0月的中线，△BA。丝△尸CE,

:.AM=CN,

9

：AC=CFfFN=EN,

：.AE=2CN,

：.AE^2AM；

(3)解：结论：AMLEM,EM=WAM.

理由：MBAD义dFCE,

：.ZABM=ZF,BD=EF,

・：BM=DM,FN=NE,

:・BM=FN,

'：BA=AC=FC,

:•△ABMQdCFN(SAS),

:・/BAM=/FCN,

9：AC=CF,FN=EN,

：.CN//AE,

：・NFCN=NFAE,

：.ZBAM=ZFAE,

：.ZMAE=ZBAC=60°,

取AE的中点J,连接M7,

VAE=2AM,AJ=JE,

C.AM=AJ,

是等边三角形，

:・MJ=AJ=JE,

90°，

：.