2月大数据模拟卷03（山东、海南专用）（解析版）高中数学

2月大数据精选模拟卷03(山东、海南专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1_7；

1.i是虚数单位，若三^=。+〃(。/€火)，则出?的值是()

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】C

【详解】

_l_-_7__z_—__(_l_-_7__z_)_(__2_-__z_)_—__2__-_Z__-_1__4__/_-__7_——1,_3〜/

2+1-(2+0(2-0-5，

a=-l,b=-3,ab=3.

故选：C.

2.若全集。=火，集合A={xeR|l+x-6N0},集合B={xeR|/g(x-l)<0},则(伞4)口3=()

A.(-1,2)B.(1,2)C.(-3,2)D.(-3,1)

【答案】B

【详解】

由题意，集合4={》67?|%2+彳一620}={》|_¥4-3或％22},

集合5={xG7?|/g(%-1)<0}={%11<x<2},

则6RA={X|-3Vx<2},所以(«A)CB={XH<X<2}=(1,2).

故选：B.

3.2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻

村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参

与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是()

A.3B.8C.12D.6

【答案】C

【详解】

I

若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为C；&=6种；

若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时

分配方法数为C；#=6种.

综上所述，不同的分配方法种数为6+6=12种.

4.2020年全国脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测和帮扶机制，继续巩固脱贫成果.为进一步

推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的3个脱贫村与8乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实

施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为()

310^45

A.-B.—C.-D.一

72177

【答案】A

【详解】

从7个村子中选2个共有=21种方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为=9,

93

所求概率为P=—=—.

217

故选：A.

5.已知数列｛可｝满足q=1,4=4,4=10,伍向一。“｝是等比数歹U，则数列｛4｝的前8项和§8=()

A.376B.382C.749D.766

【答案】C

【详解】

由已知得，出一4=3,%一％=6,而｛《“I-%｝是等比数列，故乡=2,

3—3x

(«„-«„_|)+(«„_|-a„-)—(4-4)=3+6+---+3x2"-2=--------=3x2'一—3,

21-2

：.%-%=3X2"T-3,化简得a“=3x2”T-2,

1_?8

S$=4=3x(14-2+e,e+27)—2x8=3x------16=3x2'—19=749

1—2

故选：C

6.已知函数/(X)的部分图象如下所示，则/(x)可能为()

2

cosx+1，/、xcosx+sinx

A./(x)B./(x)=-----------

2X+VX2x+2-x

cosx+xsinx,/、cosx+xsinx

c.f(x)=D.f(x)=-----------------

2X-2-X2'+2~x

【答案】D

【详解】

山题意，函数的定义域为R,函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，

则选项C中，函数/(x)=-».7的定义域为｛X|XMO｝不符合题意,排除C；

2-2

一5十c4一…、-%cos(-%)+sin(-x)xcosx+sinx、

对于B中，函数/(-x)=——齐下------=——=一/。)，

乙I乙乙I乙

则函数/(x)为奇函数，不符合题意，排除B；

对于A中，函数/(x)=c,一；20恒成立,不存在负值，不符合题意，排除A；

2、+2T

对于D中，函数/(T)=cos(一(T)=c°黑器X=/⑴,则函数/(X)为偶函数，且函数

值可正、可负，符合题意.

7.已知向量满足卜|=1，M=2,<a,B>=?,贝山一目=()

A.3B.7C.币D.6

【答案】D

【详解】

r—*—•

•；|a|=l,出1=2,且＜。力＞=§,

a-b=忖cos?=1，

\a-b|=y/a2-2a-b+b-Jl-2+4=＞/3•

故选：D.

8.若关于x的方程/依-6在(0,+?)上有两个不等的实数根，则实数4的取值范围为()

A.(-8,—11B.(―00,—1)C.[―1,-Foo)D.(―1,+8)

3

【答案】B

【详解】

Inx

lnx-ax=x7故。=-----x

x

则f(x)=~—~x

2

/「，W/、=1--l5n—x—।1=-1-lnx-x

设g(x)=l-lnx—x2,尤>0

故g(x)=」_2x<0

g(x)=l-lnx-1在(0,+?)上为减函数,g(l)=0.

故xe((),1)时/(x)>0；XG(1,+co)H'j-/(x)<0.

故/(x)=%—x在(0』)上为增函数，在(1，+?)上为减函数.

/⑸皿

且x—0,时/(x)->-oo；xf时/(x)->-oo

＞=。与〃月=乎—”的图象要有两个交点

则。的取值范围为(一»,-1).

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

TT

9.已知函数/(x)=sin(c9x+e)(其中。＞0,0＜。＜万)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为一,

2

(看)=1，下列结论正确的是()

A./(无)=sin(2x+^

B.将函数y=/(x)的图象向右平移已个单位后得到函数y=sin2x的图象

C.当时，/(x)有且只有一个零点

4

JT

D.7(x)在0,-上单调递增

【答案】ACD

【详解】

由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为5，=可得T=乃，

27r7i

因为。>0,则7=—二乃，解得w=2,即sinQx^+^^ul,

w6

JTjrTT

解得一+9=—+2左肛REZ,因为OV0V%,所以。二一，

326

即函数〃x)的解析式/(x)=sin(2x+3所以A正确；

对于B中，函数/(力的图象向右平移J个单位，得到g(x)=sin[2(x—])+。

666

71

=sin(2x一一)的图象，所以B不正确；

6

对于C中，山所以2%+工€(工,卫)，当x=92时，函数/(2)=0,

I2J6661212

所以C正确；

对TD中，当xe0。时，Zx+geJW],根据正弦函数的性质，可得函数f(x)在该区间上单调递

增，所以D正确.

10.已知〃4〃是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是()

A.若根//〃,“<=&,则加//0

B.若加〃a,〃M//7,an尸=〃，则加〃〃

C.若〃z_La,根，则〃//月

D.若m_1_£,〃_1尸,机_1_〃，则a_L/7

【答案】BD

【详解】

A.若加//”,〃ua,此时肛a可能平行或异面，故A错误;

5

B.根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线“，可知B正确；

C.若m_La,m_Ln,a///?,此时〃u尸或〃//£,故C错误；

D.选取W上的方向向量点几则£出为万的一个法向量，又£，人所以可知D正确，

22

11.已知椭圆C:二+匕=1（4>人>0）的左、右焦点分别为《，居且忻用=2,点尸（1,1）在椭圆内部，

ab

点。在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A.|Q周+|。尸|的最小值为2&-1

B.桶圆。的短轴长可能为2

c,椭圆c的离心率的取值范围为fo,且二

I2]

D.若两=蔗则椭圆C的长轴长为逐+J万

【答案】ACD

【详解】

A.因为玛|=2,所以乙（1,0）,|P8|=1,所以

\QFl\+\QP\=2^-\QF2\+\QP\>24a-\PF2\^2^-l,当。,鸟,夕，三点共线时，取等号，故正

确；

r2V2II

B.若椭圆C的短轴长为2,则。=l,a=2,所以椭圆方程为三+2_=i,-+->1,则点尸在椭圆外，

2121

故错误；

C.因为点尸（U）在桶圆内部，所以又a-b=l，所以匕=。一1,所以工+」一<1,即

abaa-1

2c«cAnzg3+Vs6+2\/5（1+>/5）"匚匚|、|I-1+\/515/5-1

a2-3«+l>0-解得a>——=----=-~~所以——，所以e=-；=<------,

244262

所以椭圆C的离心率的取值范围为（0,与1）,故正确；

______Q1

D.若两=而，则耳为线段PQ的中点，所以。（一3,一1）,所以,+1=1,又。一匕=1,即"一11。+9=0,

解得q=11+病=22+2庖=（«+折）2,所以&=避土叵，所以椭圆C的长轴长为

2442

6

6+JF7，故正确.

12.设函数f(x)=lnx,且小、再、x2e(O,4w),下列命题正确的是()

1y(x)-/(x)

A.若则一>八一<2

x2X,—x2

/\\1/(%)-/(工2)

B.存在不£(%,工2)，(不V%2)使得—=')-------

七％一九2

若再>々>1，则

C./(')―/("J<]

X]-x2

D.对任意王<当总有不e(X1,x2),

【答案】BC

【详解】

对于A选项，构造函数g(x)=x-lnx-l,其中x€(0』)，则g，(x)=l-'=±」<0,

XX

所以，函数g(x)在(0,1)匕为减函数，当x«0,l)时，g(x)>g(l)=0,

/\_

因为x,>%|>0,则0<--v1,则g--="-—In—■—1>0,即一■~>InXj—Inx,

X9

2<X2)X2x2々

所以，_1<生也三22,A选项错误；

X2X1-X2Xj-x2

对于B选项，当xe(l,+co)时，g(x)=x-lnx-l,g<x)=l-，=±'>0,

XX

所以，函数g(x)在。，+8)上单调递增,当X«l,+oo)时,g(x)>g(l)=0,

因为X,>%>0,则上>1,则g"=迨-ln强一1〉0,即/」>]nx2_lnX|,

XIx"玉x,%

所以，"g吧=也上叱，结合A选项可知，L小匕

玉/一玉%一％2%2玉一々玉

1-"9)111

若一=则一<一<一,所以，花</<%2,B选项正确；

xXx

X。X,—X22O\

对于C选项，由B选项可知，函数g(x)=x—Inx—1在(1,+8)上单调递增，

・.,玉>工2>1，则g(玉)〉且(％2)，BP-^i-Inx,-1>x2-lnx2-1,则%一/>In%-In/,

7

所以，In」二Inx?<],即/(内)―/(£)<i,c选项正确;

王一冗

2X)-x2

对于D选项，取玉=3,々=4,由AB选项可知，-L<，(')二/OJJ,

工2X}-X2Xj

则山上3=131,1

3(43

X]-x2

若存在x0w(3,4),则/(Xo)e(ln3,ln4),此时，/(/)〉八、)二(入),D选项错误.

西一九2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)对任意的xeR都有〃x+6)-/(x)=3/⑶，若y=〃x+l)的图象关于直线

x=-l对称，且f(l)=3,则/(2021)=.

【答案】3

【详解】

因为y=/(x+D的图象关于直线x=—1对称，

所以/(x)的图象关于y轴对称，所以为/(x)偶函数，

令X=-3则/(-3+6)-令-3)=3/(3),所以43)—/(―3)=3/(3),

又〃-3)=〃3),则“3)=0

/(x+6)=/(x),所以周期为6,

所以/(2021)=/(—1)=/(1)=3,

故答案为：3

14.已知随机变量若尸仁>3)=0.3,则P(-1W"1)=.

【答案】0.2

【详解】

因为4~N(l,cH),所以正态曲线的对称轴为x=l,

因为产仁＞3)=0.3,所以P《＜-l)=0.3,

所以「(一1W441)=2仁〈1)_尸(4＜_1)=0.5—0.3=0.2.

8

常数项等于.

【答案】160

【详解】

的展开项的形式是C；04)'=c02y3

、加

尤为常数项，可得r=3

故常数项为C；23=160

16.如图，在四面体ABC。中，ABVBC,CDVBC,BC=2,AB=CD=2^，且异面直线A8与C£＞所成的

角为60，则四面体ABCD的外接球的表面积为.

【答案】20万或52%.

【详解】

将四面体补形为宜三棱柱如下图所示(设。为宜三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心):

A

图⑴

图(1)中48。'=60。，图(2)中NABZ)'=120°,

在图(1)(2)中可知：BC1AB,BC1BD',ABC[BD'=B,所以BCJ_平面AB。'，

图(1)(2)中取O'O"的中点O,连接OB，则。为四面体ABC。的外接球的球心，QB为外接球的半

9

径,

图（1）中。O'=』O'O"=LBC=1,且△AB/y为等边三角形，所以2AB°，

22=---------=2

cos30°

所以A=。3=\/。。'2+BO'2=+产=石.所以外接球的表面积为S=4乃R?=20乃；

图（2）中，。。'='。'。〃=,8。=1,且△O'B。'为等边三角形，所以BO'=AB=2G，

22

所以R=OB=yj00'2+B0'2=+12=V13，所以外接球的表面积为S=4兀R2=52%：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

J3-cn…Z?sinAr-_sinB+sinC«,.

17.在①（a~+/r-c~）sinB='——ac>且B>—；②----------={3a；③------------=-----这二个

\'241-cosBsinA-sinCb-c

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在AABC中，角A，8,C的对边分别为。，

b.c,且

（1）求角5的大小；

（2）若AABC为锐角三角形，且c=2,求a的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答

计分）

【详解】

解：（1）若选①：卜J+从-c，sin8=^ac，且。？+c?=2accosB，

所以2acosBsin8=，所以sin28=^^.

22

7TTT27r7T

又〈乃，所以之<2B<2乃，所以25=——，所以8=2.

4233

若选②：由正弦定理得现生可应=百sinA,因为sinAH0，

1-cosB

/\/o

所以sin8=G-gcosS，即sinB-\—=—.

k3J2

7i7t4zrTC2乃71

由0<5<%，一<8+—<—,所以8+—=—,所以8=一.

333333

若选③：由正弦定理得"+'二-/7,BPa1+C1-b1-ac>

a—cb-c

।人^e,I]八a~+c~—CLC1

由余弦定理得cosB-----------=----=—，

2ac2ac2

10

TT

又0<B<%,所以3=—.

3

TT

(2)因为AABC是锐角三角形，B=],

所以A=1—CG(O,3目(€(0目，得?<c<f

由正弦定理得一乙=二一，

sinAsinC

2sin(C+；

所以2sinAsinC+6cosc1

a=----------------------=I+

sinCsinCsinCtanC

因为工<C<M,所以tanC>正，所以0<—!—<百，

623tanC

所以1<1+/^<4,即c得取值范围是(1,4).

18.已知公比大于1的等比数列｛4｝的前"项和为S,,且S；=14,%=8.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)在。“与。用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为力的等差数列，求数列<的前〃项

和。・

【详解】

解：设｛叫的公比为夕，q>l.

小4—得小或L|

(1)由，

a/=8

n

:.q=a、=2,an—2,〃cN*•

a-a2n1〃+l

于234nn+\234nn+1

T=-----1-----7H----r+•—I--------rH-----------/方+齐+梦+-•H---------1----------

〃222232'iT2"2"+'

11

〃+3

"=3-

2"

19.如图所示，矩形A8QD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BEHCF,ZBCF=NCEF=90。,

AD=V2，EF-A/3-

(1)求证：平面。CE

(2)当AB的长为何值时，二面角A—麻一。的大小为60。.

【详解】

(1)证明：因为平面A3CDJ_平面BEFC,平面ABCZ)n平面BEFC=BC,CD1.BC，CDu平

面ABC。，所以CD_L平面BEFC，EFu平面BEFC，

从而CDLEF.

又因为EF工CE，CDC\CE=C,C£>,CEu平面COE,

所以防_L平面COE.

(2)解：如图所示，以点C为坐标原点，以CB、。尸和CD所在直线分别为％轴、V轴和z轴建立空间

直角坐标系.

过点E作EGLCF于点G.

在R/AEFG中,EG=AD=C，EF=8所以FG=1.

因为C£_L七?，则/EFC=90°-ZECF=/BCE,

所以RtAEFG〜RtAECB,—=—=

BEBCEC

12

所以BE=2,CE=娓,

所以CG=2,所以Cb=3.

设AB=a,则C（0,0,0）,A（垃,0,a）,E（&,2,0）,F（0,3,0）.

AE=（0,2,-a）,EF=（-72,1,0）,而=（0,2,0）,

设平面AE产的法向量〃=（x,y,z）.

n•AE=02y-az=0

则〈一，即1.[-，令z=2,得〃=

n•EF=0-J2x+y=0

又因为CD_L平面EFC，CD=（0,0,«）,

解得a=2a，

所以当AB=2、历时，二面角A-EF-C的大小为60°.

20.中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中

亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为

拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电

子元件能正常工作的概率为马，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元

件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.

（1）求系统需要维修的概率；

（2）该电子产品共由3个系统G组成，设J为电子产品所需要维修的费用，求J的期望；

（3）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元

件正常工作的概率为P，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作.问：P满足什

13

么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率？

【详解】

解：（1）系统需要维修的概率为端（工]+c；-/->|=L

3033⑴27

（2）设X为需要维修的系统的个数，则X~B（3,捺），月寸=900X,

7

所以E（J）=9OOE（X）=900x3x^=700.

（3）当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统G才正常工作

①若前3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为

2\22

22

-1--P

379

②若2个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为

C；・|T[C；P（l—P）+P1=1（2p—p2）；

③若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概

8

率为C，

27

所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为

224/c8

-p-+-(2p-p十一

27927

令8七？匕+_§_>]_2,解得2一0<〃<2+

92727

即2—夜<.<1时，可以提高整个系统G的正常工作概率.

21.已知椭圆C:\+斗•=l（a>6>0）的左右焦点分别为耳、F?,点M为短轴的一个端点，离心率为万，

△加£鸟的面积S=JL

（1）求椭圆。的方程；

（2）设A是椭圆上的一点，8是点A关于X轴的对称点，P是椭圆C上异于A、8的任意一点，且直线

PA，P8分别于％轴交于不同的点C、D，。为坐标原点，求的最大值，并求出此时p点

的坐标

14

【详解】

C1

解：(1)由一=—，a-2c,得6=,

a2

又S.Mg=；x2cxb=g,

所以c=l,〃=2,b-VJ，

22

所以椭圆C的方程为三+汇=1

43

(2)设4(%,%)，则3(%,-%)，不妨设%>0，设尸(X1,y)

则直线PA的方程为：y-y=比2

0(f)……号

龙一%

XX；+x()y

同理x0=-^~—

%+M

202)

所以…"

(2\

又点A与点P均在椭圆上，故片=41一个041-A,

不I3J

(2\(2\

41-^-%-41-野X

4（3一才）

得…°=4

Jo-Ji2乂一y：

所以|ocHcr>|=|a•x°|=4为定值，

因为S&POC♦S4POD=）"卜除心。件上|=/4、片=%

由P为椭圆上的一点，所以要使&P℃-SkOD最大，只要片最大

而片最大为3,

所以54Poe・S4POD的最大值为3,此时P点坐标为伍,-⑹和（0,6）.

Zzx2e?

22.已知函数/（©=光-一公（111%一1）一5的图象在％=1处的切线斜率等于1,其中e=2.718...为自然

对数的底数，a,beR.