2023年高考全国乙卷数学(理)真题含解析

2023年高考数学全国乙卷(理)满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1设z=2+i1+i2+iA.1−2i B.1+2i C.2−i D.2+i2.设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1<x<2，则A.∁UM∪C.∁UM∩N 3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24 B.26 C.28 D.304.已知f(x)=xexeaxA.−2 B. C.1 D.25.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域x,y1≤x2+y2≤4内随机取一点，记该点为AA18 B.16 C.14 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增，直线x=π6A.−32 B.−12 C.7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种8.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（）A.π B.6π C.3π D.9.已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（A.15 B.25 C.3510.已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosann∈A.－1 B.−12 C.0 11.设A，B为双曲线x2−y29A1,1 B.−1,2 C.1,3 D.−1,−412.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则A.1+22 C1+2 D.二、填空题13.已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到14.若x，y满足约束条件x−3y≤−1x+2y≤93x+y≥7，则z=2x−y的最大值为15.已知an为等比数列，a2a4a516.设a∈0,1，若函数fx=ax+1+a三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，y试验序号12345678910伸缩率x545533551522575544541568596548伸缩率y536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为z，样本方差为s2．（1）求z，s2（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z≥218.在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.（1）求sin∠（2）若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，（1）证明：EF//平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF（3）求二面角D−AO−C的正弦值.20.已知椭圆C:y2a2+x2（1）求C的方程；（2）过点−2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点．21.已知函数f(x)=1（1）当a=−1时，求曲线在点1,f1处的切线方程；（2）是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b（3）若fx在0,+∞存在极值，求a取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθπ4≤θ≤π2，曲线C（1）写出C1（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m【选修4-5】（10分）23.已知fx（1）求不等式fx（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组f(x)≤yx+y−6≤02023年高考全国乙卷数学(理)满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题1.设z=2+i1+i2+A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i【答案】B【解析】由题意可得z=2+i则z=1+2i.故选：2.设集合U=R，集合M=xx<1，N=x-1<x<2，则A.∁UM∪C.∁UM∩N 【答案】A【解析】由题意可得M∪N=x|x<2，则∁∁UM=x|x≥1，则NM∩N=x|-1<x<1，则∁UM∩N=x|x≤-1∁UN=x|x≤-1或x≥2，则x|x<1或x≥2，选项故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24 B.26 C.28 D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C点H,I,J,K为所在棱上靠近点B1,C则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-A1B该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2故选：D.4.已知f(x)=xexeaxA.-2 B. C.1 D.2【答案】D【解析】因为fx=x又因为x不恒为0，可得ex-e则x=a-1x，即1=a-1，解得故选：D.5.设O为平面坐标系坐标原点，在区域x,y1≤x2+y2≤4内随机取一点，记该点为A，则直线A.18 B.16 C.14【答案】C【解析】因为区域x,y|1≤x2+y2≤4则直线OA的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠结合对称性可得所求概率P=2×故选：C.6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增，直线x=π6A.-32 B.-12 C.【答案】D【解析】因为f(x)=sin(ωx+φ)所以T2=2π3-π6当x=π6时，fx取得最小值，则2⋅则φ=2kπ-5π6，k∈Z，不妨取k=0，则则f-5π7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种【答案】C【解析】首先确定相同得读物，共有C6然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A5根据分步乘法公式则共有C6故选：C.8.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为（）A.π B.6π C.3π D.【答案】B【解析】在△AOB中，∠AOB=120∘，而OA=OB=3，取AC中点C，连接OC,PC∠ABO=30∘，OC=32,AB=2BC=3，由△PAB解得PC=332所以圆锥的体积V=1故选：B9.已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A.15 B.25 C.35【答案】C【解析】取AB的中点E，连接CE,DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED=150显然CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC=CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE=1,DE=3，在△CD=C由正弦定理得DEsin∠DCE显然∠DCE是锐角，，所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为35故选：C10.已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosann∈NA.－1 B.-12 C.0 【答案】B【解析】依题意，等差数列{an}显然函数y=cos[2π3n+(a1-2π3)]则在cosa1,cosa于是有cosθ=cos(θ+所以k∈Z，ab=cos故选：B11.设A，B为双曲线x2-y29A.1,1 B.-1,2 C.1,3 D.-1,-4【答案】D【解析】设，则AB的中点，可得kAB因A,B在双曲线上，则x12-y所以kAB对于选项A：可得k=1,kAB=9联立方程y=9x-8x2-y2此时Δ=-2×72所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=-2,kAB=-联立方程y=-92x-52此时Δ=2×45所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3,kAB由双曲线方程可得a=1,b=3，则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,kAB=联立方程y=94x-74此时Δ=1262+4×63×193>0故选：D.12.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则的最大值为（A.1+22 C1+2 D.【答案】A【解析】如图所示，OA=1,OP=2由勾股定理可得PA=当点A,D位于直线PO异侧时，设∠OPC=α,0≤α≤则：=|PA=2=0≤α≤π4∴当2α-π4=-π4当点A,D位于直线PO同侧时，设∠OPC=α,0≤α≤则：=|PA==0≤α≤π4∴当2α+π4=π2综上可得，的最大值为1+22故选：A二、填空题13.已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到【答案】9【解析】由题意可得：52=2p×1，则2p=5，抛物线的方程为准线方程为x=-54，点A到C的准线的距离为故答案为：9414.若x，y满足约束条件x-3y≤-1x+2y≤93x+y≥7，则z=2x-y的最大值为【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：z=2x-y，移项得y=2x-z，联立有x-3y=-1x+2y=9，解得x=5设A5,2，显然平移直线y=2x使其经过点A，此时截距-z最小，则z代入得z=8，故答案为：8.15.已知an为等比数列，a2a4a5【答案】-2【解析】设an的公比为qq≠0，则a2则a4=q2，即a1q3则q15=q53故答案为：-2.16.设a∈0,1，若函数fx=ax+1+a【答案】5【解析】由函数的解析式可得f'x=则1+axln1+a≥-a故1+aa0=1≥-lna故lna+1≥-lna0<a<1结合题意可得实数a的取值范围是5-1故答案为：5-1三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，y试验序号12345678910伸缩率x545533551522575544541568596548伸缩率y536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为z，样本方差为s2．（1）求z，s2（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z≥2【答案】（1）z=11，；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【1】x=y=z=的值分别为:，故【2】由（1）知:z=11，，故有z≥2所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.（1）求sin∠（2）若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积【答案】（1）2114；（2）3【解析】【1】由余弦定理可得：B=4+1-2×2×1×cos则，cosB=sinB【2】由三角形面积公式可得S△则S△19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，（1）证明：EF//平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF（3）求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22【解析】【1】连接DE,OF，设，则，AO=-BA+12则BF⋅解得t=12，则F为AC的中点，由分别为的中点，于是DE//AB,DE=12AB,OF//AB,OF=12AB，即DE//OF,DE=OF，则四边形ODEF为平行四边形，EF//DO,EF=DO，又所以EF//平面ADO.【2】由（1）可知EF//OD，则，得，因此，则OD⊥AO，有EF⊥AO又AO⊥BF,BF∩EF=F，BF,EF⊂平面，则有AO⊥平面，又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面.【3】过点O作OH//BF交AC于点，设AD∩BE=G，由AO⊥BF，得，且FH=13又由（2）知，OD⊥AO，则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角，因为D,E分别为PB,PA的中点，因此G为△PAB即有DG=13AD,GE=13，解得PA=14，同理得BE=6于是，即有BE⊥EF，则，从而GF=153，在△DOH中，OH=1于是cos∠DOH=6所以二面角D-AO-C的正弦值为2220.已知椭圆C:y2a2+x2（1）求C的方程；（2）过点-2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点．【答案】（1）y29【解析】【1】由题意可得b=2a2=所以椭圆方程为y2【2】由题意可知：直线的斜率存在，设PQ:y=kx+2+3,P联立方程y=kx+2+3y29则Δ=64k22k+3可得x1因为A-2,0，则直线AP:y=令x=0，解得y=2y1同理可得N0,2==32k所以线段的中点是定点0,3.21.已知函数f(x)=1（1）当a=-1时，求曲线在点1,f1处的切线方程；（2）是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b（3）若fx在0,+∞存在极值，求a的取值范围【答案】（1）ln2x+y-（2）存在a=12,b=-12【解析】【1】当a=-1时，fx则f'x=-函数在1,f1处切线方程为y-0=-ln2x-1【2】由函数的解析式可得f1函数的定义域满足1x+1=x+1定义域关于直线x=-12对称，由题意可得由对称性可知f-取m=32可得即a+1ln2=a-2ln经检验a=12,b=-即存在a=12【3】由函数的解析式可得f'由fx在区间0,+∞存在极值点，则f'x在区间令-1x2令gxfx在区间0,+∞存在极值点，等价于gx在区间g当a≤0时，g'x<0，g此时gx<g0=0，g当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以所以g'x>g'0=0所以gx在区间0,+∞当0<a<12时，由g''当x∈0,12a-1时，当x∈12a-1,+∞时，g故g'x的最小值为令mx=1-x+ln函数mx在定义域内单调递增，m据此可得1-x+lnx<0令hx=ln当x∈0,1时，h当x∈1,+∞时，h故hx≤h1=0，即lnx所以g'g'2a-1>2a根据零点存在性定理可知:g'x在区间0,+∞上存在唯一零点当x∈