湖南省名校联盟2023-2024学年高二上学期入学摸底考试数学试题

名校联盟·2023年下学期高二入学摸底考试数学本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集的运算法则即可得出结果.【详解】由补集的定义可知，，故选：A．2.已知复数满足（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.【详解】设，可得因为，所以解得，所以.故选：A.3.已知R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若，则，则成立．而当且时，满足，但不成立；“”是“”的充分不必要条件．故选：．4.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（）A.3 B.4 C.3.5 D.4.5【答案】B【解析】【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.故选：B.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式，可将b，c变形为，，根据余弦函数的单调性，即可求得答案.【详解】由题意得：，，因为在上单调递减，所以，即．故选：B6.某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（）A.17.02立方米 B.17.23立方米 C.17.80立方米 D.18.22立方米【答案】C【解析】【分析】利用圆台的体积公式运算即可，最后要注意单位的换算.【详解】依题意，设圆台的高为h厘米，则厘米，所以圆台的体积为立方厘米，故需要营养土约为立方米．故选：C．7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.【详解】由于，且，则，整理得，则，整理得，所以.故选：D.8.已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】画出示意图，找出过且跟面平行的平面，其跟面的交线即是的轨迹．【详解】如图，分别作的中点G，H，F，连接，由题可知，则四边形为平行四边形，平面BEF，平面，平面；同理可得平面，∴平面平面，由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，线段GH，点P的轨迹为GH，．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则（）A.恰有1枚吉祥物邮票的概率为 B.含有志愿者标志邮票的概率为C.至少有1枚会徽邮票的概率为 D.至多有1枚吉祥物邮票的概率为【答案】ABD【解析】【分析】根据古典概型确定基本事件总数，再逐项判断即可.【详解】令分别表示冬奥会会徽邮票和冬残奥会会徽邮票，分别表示冬奥会吉祥物邮票和冬残奥会吉祥物邮票，C表示志愿者标志邮票．从一套5枚邮票中任取3枚有共10个基本事件，恰有1枚吉祥物邮票的情况有6种，概率为，故A正确；恰有1枚志愿者标志邮票的情况有6种，概率为，故B正确；至少有1枚会徽邮票的概率为，故C不正确；至多有1枚吉祥物邮票的概率为，故D正确．故选：ABD.10.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点O，，，则（）A.B.C.D.若，，，则·＝【答案】BCD【解析】【分析】利用三角形法则的应用，线性运算的应用，数量积运算和平行线分线段成比例即可逐个选项判断.【详解】对于A选项，，故A错误；对于B选项，，故B正确；对于C选项，利用，可得，则，故C正确；对于D选项，由，有，故D正确．故选：BCD．11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.在上单调递增D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D.【详解】，故A错误；当时，，所以，故B正确；因为，，又，故C错误；当时，，解得；当时，，无解；当时，，所以不等式的解集为，故D正确.故选：BD.12.如图，在边长为2的正方形中，是的中点，将沿翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得 B.的长度为定值C.四棱锥的体积的最大值为 D.直线与平面所成角的正切值的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】利用反证法说明A，取的中点，连接，，即可判断B，当平面平面时，四棱锥的体积最大，过作的垂线，垂足为，根据锥体的体积公式计算即可判断C，当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值，即可判断D.【详解】因为，假设，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以与不可能垂直，故A错误；取的中点，连接，，如图所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，故B正确；当平面平面时，四棱锥的体积最大，过作的垂线，垂足为，所以，，，，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱锥的高，所以，故C正确；当平面平面时，直线与平面所成角的正切值取得最大值，此时，所以，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，若，则的值为______．【答案】##0.2【解析】【分析】利用平面向量共线定理求解.【详解】解：因为向量，，且，所以，解得，故答案为：14.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中x为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为______万元.【答案】34【解析】【分析】设公司在甲地销售农产品吨，则在乙地销售农产品吨，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可．【详解】设公司在甲地销售农产品（）吨，则在乙地销售农产品吨，，利润为，又且故当时，能获得的最大利润为34万元．故答案为：34.15.已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围.【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，即实数m的取值范围是．故答案为：.16.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为_________________．【答案】【解析】【分析】记BC的中点为D，利用重心的性质先得到，再由向量的知识可得，，再利用锐角可得，最后利用函数的单调性可得的取值范围．【详解】记BC的中点为D，由，G为的重心，可得．又由，有，即，化简可得．又由为锐角三角形，故，即，化简可得．又由．令，由函数单调递增，可得，可得．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.在中，角的对边分别为，且的面积为（1）求角的大小；（2）若是的一条中线，求线段的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案；（2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.【小问1详解】由题意，可得的面积，所以，所以，又，所以.【小问2详解】为的中点，则，又，，所以，故，即线段的长度为.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.（1）当时，证明：直线平面PAD；（2）当时，求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.（2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可.【小问1详解】取PD中点N，连接MN、AN，是的中位线，MN//CD，且，又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.【小问2详解】，P到平面ABCD距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，.19.居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；（3）若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）【答案】（1）24人；（2）众数：75分，90%分位数：84分；（3）物业公司需要对物业服务人员进行再培训，理由见解析.【解析】【分析】（1）本题考查频率分布直方图每个矩形的意义，即频率，则每个区间人数即可求解；（2）本问考查频率分布直方图的众数与百分位数的求法，即最高矩形的组中值为众数，左右两边频率之和为0.9与0.1的为90%分位数；（3）本问考查频率分布直方图平均数的求法，即组中值与频率乘积之和，最后套入公式即可.【小问1详解】评分在区间的人数为100×0.04×10＝40（人），评分在区间的人数为100×0.016×10＝16（人），故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为40－16＝24（人）；【小问2详解】业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，由，，设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，有，解得x＝84，故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分；【小问3详解】业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，由，故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．20.已知函数在区间上单调，其中，，且．（1）求的图象的一个对称中心的坐标；（2）若点在函数的图象上，求函数的表达式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.【小问1详解】由函数在区间上单调，且，可知，故的图象的一个对称中心的坐标为【小问2详解】由点在函数的图象上，有，又由，，可知函数在区间上单调递减，由函数的图象和性质，有，又，有，将上面两式相加，有，有，又由，可得，则，又由函数在区间上单调，有，可得，可得，故．21.已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：函数在区间上单调递增；（3）令（其中），求函数的值域．【答案】（1）函数为偶函数；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由函数的定义域为，再判断与的关系即可.（2）设，再判断的符号即可.（3）根据，得到，再令，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）函数的定义域为，又，所以函数为偶函数.（2）证明：设，则，，∵，∴，，，∴，故函数在区间上单调递增.（3）因为，所以，由（2）和可知，函数在区间上值域为，又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为，令，可得，则，有，①当时，，此时函数的值域为②当时，，时函数的值域为因为函数和函数的值域一样，所以当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.【点睛】结论点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行