2020-2021学年江苏省常州市金坛区七年级（下）期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年江苏省常州市金坛区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.下列计算正确的是（）

A.〃2+2〃2=34B.〃6+Q3=〃2

C.（a-Z?）2=m-吩D.（ab）2=a2b2

2.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+lVb+1B.a-1<b-1C.2a>2bD.-2a>-2b

3.若（x=2是方程2y=6的解，则。的值是（）

Iy=l

A.-4B.4C.3D.-3

4.若一个三角形的两边长分别是3cm,6cm,则它的第三边的长可以是（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

5.如图，直线a,b被直线c所截，a//b,若N2=45°,则N1等于（）

A.125°B.130°C.135°D.145°

6.若一个多边形的内角和为360。，则这个多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.6

7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦,

已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹.若设小马有

x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（

（x+y=100fx+y=100

A.《B.

ly=3xlx=3y

x+y=100x+y=100

C.JiD.

1

?+3y=100yy+3x=100

8.对于下列命题：

①若a>b,则a2>b2；

②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角；

③无论x取何值，代数式炉+2/2的值都不小于1；

④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一

个角小于60°.

其中真命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)

9.计算：m(m-1)=.

10.因式分解：x2-y2=.

11.人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m.将

0.000052用科学记数法表示为.

12.写出命题“如果那么2a=2〃'的逆命题是：.

13.如图，直线AB〃CD,直线EC分别与AB,CD相交于点A、点C,AO平分4BAC,已

知乙48=80。，则/ZMC的度数为.

14.若代数式尤+1的值小于代数式2x的值，则x的取值范围是.

15.若2工+4>=8,贝!]2x-4y+2=.

16.若关于x,y的方程组JX-V-1+31n的解满足x+y<2,则2功+5的最大值是___.

(x+3y=l-4n

三、解答题(本大题共9小题，共68分。第17题10分，第18、19每题8分，第20、21、

22、23题每题6分，第24题8分，第25题10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、

演算步骤或推理过程)

17.计算：

(1)20210+(-2)2-(-1)1.

(2)(x+2y)(2y-x)-(x-2y)2.

18.因式分解：

(1)2m2-2层；

(2)cfib-4〃2匕+4。人.

19.解方程组或不等式组:

⑴严?;

l2x-3y=-4

4x-2》-6

(2)X_3<2Z5-

2

20.已知x+y=3,xy=l,求下列代数式的值：

(1)(尤-y)2；

(2)尤3尹孙3.

21.已知：如图，Z1=ZC,Z2+Z3=180°.求证：AD//EF.

22.为了预防新冠肺炎的发生，学校免费为师生提供防疫物品.某校花7200元购进洗手液

与84消毒液共400瓶，己知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶.求

该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？

23.观察下列式子：

032+42>2X3X4；

②32+32=2X3X3；

③(-2)2+42>2X(-2)X4：

@(-5)2+(-5)义(-5)X(-5).

(1)填空：(-2)2+(-3)22X(-2)X(-3)(填写“〉”或"="或"<")；

(2)观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含a,6的式子表示你发现的规律；

(3)运用你发现的规律，直接写出代数式N+t的最小值是.

X

'x>-l

24.已知关于x的不等式组<x<4•

,x4l-k

(1)当％=-2时，求不等式组的解集；

(2)若不等式组的解集是-1〈尤<4,求女的范围；

(3)若不等式组有3个整数解，求上的范围.

25.将一根铁丝AF按如下步骤弯折：

第一步，在点B,C处弯折得到图1的形状，其中AB〃b；

第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点Q,E处弯折，得到图2的形状，其

中AB//EF.

解答下列问题：

（1）如图①，若NC=3N3,求NB的度数；

（2）如图②，求证：NB+/C=ND+NE；

（3）将另一根铁丝弯折成NG,如图③摆放，其中NA8C=3/CBG,/CDE=3/CDG.若

ZC=88°,ZE=130°,直接写出NG的度数.

图①图②图③

四、附加题（本大题共5小题，共20分）（一）填空题（本大题共5小题，每小题2分，

共10分）

26.因式分解：4x2-y2_2y-l=.

27.若2x+y+z=10,3x+y+z—12,则x+y+z=.

28.若/A与NB的一组边平行，另一组边垂直，且/A-2/8=15°,则NB的度数

为.

29.如图，在△ABC中，。是中点，E是2C边上一点，且BE=4EC,CD与AE交于

点、F,连接3足若△8EF的面积是4,则△ABC的面积是.

30.用{4}表示不小于数。的最小整数.例如：{4.2}=5,{-5.3}=-5,{0}=0,{-3}=

-3.在此规定下：数。都能满足。=｛。｝-b,其中OWb<l.则方程｛3尤-2｝=2x+1■的

解是.

(二)解答题(本大题共1小题，共10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步

骤或推理过程)

31.如果三角形的两个内角a与0满足2a+0=9O°,那么我们称这样的三角形为“准直角

三角形”.

(1)如图①，在RtZkABC中，ZACB=90°,2。是△ABC的角平分线.

求证：△A3。是“准直角三角形”.

(2)关于“准直角三角形"，下列说法：

①在△ABC中，若NA=100°,/B=70°,ZC=10°,则△ABC是准直角三角形；

②若△ABC是“准直角三角形"，ZC>90°,NA=60°,则/B=20°；

③“准直角三角形”一定是钝角三角形.其中，正确的是.(填写所有正确结

论的序号)

(3)如图②，B、C为直线/上两点，点A在直线/外，且/A8C=50°.若尸是/上一

点,且是“准直角三角形”，请直接写出/APB的度数.

②

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.下列计算正确的是（）

A.。2+2〃2=3〃4B.+〃3=〃2

C.（a-b）2=d2-b2D.（次?）2=a2b2

【分析】根据合并同类项法则、同底数塞的乘除法、幕的乘方积的乘方以及完全平方公

式进行计算即可.

解：〃2+2〃2=3〃2,因此选项A不符合题意；

63633

a-i-a=a'=a9因此选项B不符合题意；

（Q-b）2=a2-2ab+b2,因此选项C不符合题意;

Qab）2=a吩,因此选项。符合题意；

故选：D.

2.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+l<b+lB.a-1<b-1C.2a>2bD.-2a>-2b

【分析】根据不等式的性质进行分析判断.

解：A、在不等式〃>/?的两边同时加上1,不等号的方向不变，即原变形错

误，故此选项不符合题意；

B、在不等式人的两边同时减去1,不等号的方向不变，即原变形错误,

故此选项不符合题意；

C、在不等式〃>匕的两边同时乘2,不等号的方向改变，即2〃>2/7,原变形正确，故此

选项符合题意；

D、在不等式的两边同时乘-2,不等号的方向不变，即-2〃<-2。，原变形错误，

故此选项不符合题意.

故选：C.

3.若I'”是方程办-2y=6的解，则a的值是（）

Iy=l

A.-4B.4C.3D.-3

【分析】把方程的已知解代入ax-2y=6中，得到一个含有未知数a的一元一次方程,

然后就可以求出a的值.

解：把［X”代入二元一次方程。尤-2y=6中，

Iy=l

可得：2a-2=6,

解得：〃=4,

故选：B.

4.若一个三角形的两边长分别是3c处6cm,则它的第三边的长可以是（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【分析】首先设第三边长为XCM,根据三角形的三边关系可得6-3VxV6+3,再解不等

式即可.

解：设第三边长为比如根据三角形的三边关系可得：

6-3c尤<6+3,

解得：3cx<9,

故选：B.

5.如图，直线a,b被直线c所截，a//b,若/2=45。，则N1等于（）

A.125°B.130°C.135°D.145°

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得N3=N2,再根据邻补角的定义解答.

TV"

\'a//b,N2=45°,

.-.Z3=Z2=45°,

.\Zl=180o-Z3=135°,

故选：C.

6.若一个多边形的内角和为360。,则这个多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】〃边形的内角和是（〃-2）・180。，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个

关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数.

解：根据“边形的内角和公式，得

(«-2)-180=360,

解得”=4.

故这个多边形的边数为4.

故选：B.

7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦,

已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦,求小马，大马各有多少匹.若设小马有

x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）

A仁』弧(x+y=100

.'jx=3y

ly=3x

\+y=100'x+y=100

C.\iD.<1

—x+3y=100-^y+3x=100

o

【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”即可得出关于无，y的二

元一次方程组，此题得解.

x+y=100

解：根据题意可得：x

—+3y=100

O

故选：C.

8.对于下列命题：

①若a>b,则a2>b2；

②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角；

③无论x取何值，代数式/+2犬+2的值都不小于1；

④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一

个角小于60。.

其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用实数的性质、三角形的内角和、配方法确定二次三项式的最值等知识分别

判断后即可确定正确的选项.

解：①已知2>-3,但22V（-3）2,所以若。>6,则a2>〃错误，是假命题，不符合

题意；

②在直角三角形中，任意两个内角的和一定大于第三个内角，错误，是假命题，不符合

题意；

③无论X取何值，代数式X2+2X+2=(x+1)2+1的值都不小于1,正确，是真命题，符合

题意；

④在同一个平面内，有两两相交的三条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一

个角小于60°,正确，是真命题，

真命题有2个，

故选：B.

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)

9.计算：m(m-1)=m2-m.

【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案.

解：m(机-1)="2-m.

故答案为:m2-m.

10.因式分解：N-y2=(尤-y)(x+y).

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.

解：x2-y2—(x+y)(尤-y).

故答案为：(尤+y)(x-y).

11.人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为0.000052m.将

0.000052用科学记数法表示为5.2X105.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数暴，指数由原数左边起第一个不为零

的数字前面的0的个数所决定.

解：0.000052=5.2X105.

故答案为：5.2X10-5.

12.写出命题“如果a=b,那么2。=26”的逆命题是：如果2a=26,那么a=6..

【分析】先找出命题的题设和结论，再说出即可.

解：命题“如果，那么"2。=26”的逆命题是：如果2。=26,那么

故答案为：如果2a=2b,那么。=6.

13.如图，直线A8〃CQ,直线EC分别与AB,C。相交于点A、点C,平分/BAC,已

知NAC£)=80°,则的度数为50°.

E

二

ICD

【分析】依据平行线的性质，即可得到/BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得

到ND4c的度数.

解："."AB//CD,ZACZ)=80°,

：.ZBAC^IQQ°,

又平分N8AC,

/.ZDAC=-ZBAC=5Q°,

2

故答案为：50°.

14.若代数式x+1的值小于代数式2x的值，则x的取值范围是x>l.

【分析】由题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到尤的范围.

解：根据题意，得x+lV2x,

移项、合并同类项，得-xV-l,

系数化为1,得x>l,

故答案为x>l.

15.若2%小平=8,则2x-4y+2=8.

【分析】逆向运用同底数幕的除法法则以及塞的乘方运算法则求解即可.同底数幕的除

法法则：底数不变，指数相减；幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

解：・..2%+4y=2%+22y=2%-2y=8=23,

.,.x-2y=3,

2x-4y+2

=2(x-2y)+2

=2X3+2

=8.

故答案为：8.

(x-y=l+3m

16.若关于x,y的方程组《y的解满足x+yW2,则为+5的最大值是6.

[x+3y=l+m

【分析】由x+yW2得出关于根的不等式，解之可得相的取值，得出出的最大值，即可

求得结论.

eEx-y=l+3m(D

解：解万程组〈广^,

①+②得,2x+2y=2+4m,

•.”+yW2,

l+2m^2,

解得：

.1.2/M+5的最大值为2X^+5=6，

故答案为6.

三、解答题(本大题共9小题，共68分。第17题10分，第18、19每题8分，第20、21、

22、23题每题6分，第24题8分，第25题10分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、

演算步骤或推理过程)

17.计算：

(1)2021°+(-2)2-(-1)1；

(2)(x+2y)(2y-x)-(x-2y)2.

【分析】(1)根据零指数新的运算法则、有理数的乘方的运算法则、负整数指数累的运

算法则分别化简得出答案；

(2)直接利用平方差公式以及完全平方公式化简，再合并得出答案.

解：(1)原式=1+4-2

=3；

(2)原式=-(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2

=-(x2-4y2)-(x2-4孙+4y2)

=-x2+4y2-x2+4xy-4y2

=-2x2+4xy.

18.因式分解：

(1)2m2-2n2；

(2)a3b-4a2b+4ab.

【分析】(1)先提取公因式2,再利用平方差公式因式分解；

(2)先提取公因式"，再利用完全平方公式因式分解.

解：(1)2m2-2n2

=2(m2-n2)

=2(m+n)(m-n)；

(2)cfib-4〃2匕+4〃万

=ab(〃2-4〃+4)

=ab(a-2)2.

19.解方程组或不等式组：

⑴产3；

(2x-3y=-4

‘4x-2》-6

⑵x-3(苧

2

【分析】(1)利用代入消元法求解即可；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集.

解：(1)〈尸7

由①得：y=3-x@9

把③代入②得：2x-3(3-x)=-4,

解得了=1,

将1=1代入③，得y=2,

所以原方程组的解是(x=l；

Iy=2

4x-2》-6①

(2)\

x-3<C罕②‘

解不等式①，工2-1,

解不等式②，得xVl,

所以不等式组的解集为-IWxVl.

20.已知x+y=3,xy=\,求下列代数式的值:

(1)(x-y)2；

(2)孙3.

【分析】(1)利用完全平方公式变形式(x-y)2(x+y)2-4xy解答即可；

(2)先把X3)+孙3提公因式孙，再利用完全平方公式(%+丁)2=N+>2+2盯解答即可.

解：(1)\*x+y=3,xy=l,

(x-y)2=(x+y)2-4孙=9-4X1=5；

(2)*.*(x+y)2=x2+y2+2xy,x+y=3,xy=\,

.\9=x2+y2+2,

22

.,.x+y=7f

.\x5y+xy3=xy(N+y2)=1X7=7.

21.已知：如图，Z1=ZC,Z2+Z3=180°.求证：AD//EF.

【分析】根据平行线的判定推出。石〃5C,根据平行线的性质得出NC4O=N2,根据等

量关系可得N3+NCAD=180。，再根据平行线的判定得出即可.

【解答】证明：,・・N1=NG

J.DE//BC,

：.ZCAD=Z2,

VZ2+Z3=180°,

・・・N3+NCAD=180°,

：.AD//EF.

22.为了预防新冠肺炎的发生，学校免费为师生提供防疫物品.某校花7200元购进洗手液

与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶.求

该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？

【分析】设该校购进洗手液1瓶，购进84消毒液y瓶，根据“共400瓶；花费7200元”，

列出二元一次方程组，解之即可.

解：(1)设该校购进洗手液x瓶,购进84消毒液y瓶，

依题意得：(x+yy=400,

[25x+15y=7200

[x=120

解得:

ly=280

答：该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶;

23.观察下列式子：

®32+42>2X3X4；

②32+32=2X3X3；

③(-2)2+42>2X(-2)X4：

@-5)2+(-5)2=2X(-5)X(-5).

(1)填空：(-2)2+(-3y>2X(-2)X(-3)(填写“〉”或“=”或

(2)观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含。，6的式子表示你发现的规律；

(3)运用你发现的规律，直接写出代数式N+令的最小值是2.

x

【分析】(1)根据上述各式规律即可得到结论；

(2)观察各式，即可得出规律：如果a、b是两个实数，则有。2+6222"；

(3)根据规律可得N+令N2,于是得到结论.

X

解：(1)(-2)2+(-3)2>2X(-2)X(-3),

故答案为：>；

(2)・・・220,

a2-2ab+浮20,

；・用含a,b的式子表示发现的规律为a2+b2^2ab；

(3),:岸+按及2ab,

:・22•N•,

XX

・・.12+今三2,

X

・,.N+今的最小值是2,

X

故答案为：2.

'x>-l

24.已知关于%的不等式组<x<4

Lxdl-k

(1)当左=-2时，求不等式组的解集；

(2)若不等式组的解集是-1〈尤<4,求人的范围；

(3)若不等式组有3个整数解，求上的范围.

【分析】(1)将左=-2代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中

间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；

(2)利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定上的

取值范围；

(3)根据不等式组中尤〉-1确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小;

大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定左的取值范围.

解：(1)当上=-2时，1-左=1-(-2)=3,

'x〉-l

...原不等式组解得：,x<4,

、x43

不等式组的解集为：-1<XW3；

(2)当不等式组的解集是-1〈尤<4时，

1-左24,

解得:ZW-3；

(3)由x>-l,当不等式组有三个整数解时，

则不等式组的整数解为0、1、2,

又，.”<4且xWl-k,

；.2W1-k<3,

解得：-2<kW-1.

25.将一根铁丝AF按如下步骤弯折：

第一步，在点8,C处弯折得到图1的形状，其中

第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点。，E处弯折，得到图2的形状，其

中AB//EF.

解答下列问题：

(1)如图①，若NC=3/B,求的度数；

(2)如图②，求证：ZB+ZC=ZD+ZE；

(3)将另一根铁丝弯折成/G,如图③摆放，其中/A8C=3/CBG,ZCDE=3ZCDG.若

ZC=88°,ZE=130°,直接写出NG的度数.

图①图②图③

【分析】（1）根据得乙B+/C=180°,则4/2=180°即可求出答案；

（2）分别过点。，C作Z）N〃AB,CM//AB,根据平行线的性质可证得结论；

（3）由（2）知：ZABC+ZC^ZE+ZCDE,则/ABC-NCr>E=130°-88°=42°,

从而NCBG-/COG=14°,从而求出答案.

解：（1）-：AB//CF,

.1.ZB+ZC=180°（两直线平行，同旁内角互补），

VZC=3ZB,

.*.4/8=180°,

.-.ZB=45°,

（2）证明：分别过点D,C作DN〃AB,CM//AB,

'JAB//CD,

：.AB//DN//CM//EF（同平行于一条直线的两直线平行），

'：AB//CM,

.-.ZB+ZBCM=180°（两直线平行，同旁内角互补），

同理，NE+/NDE=180°,

'."DN//CM,

：.NNDC=NMCD（两直线平行，内错角相等），

ZB+ZBCD=ZE+ZCDE.

(3)由(2)知：ZABC+ZC^ZE+ZCDE,

AZABC+880=130°+/CDE,

：.ZABC-ZCZ)E=130°-88°=42°,

：.3ZCBG-3ZCDG=42°,

：.ZCBG-ZCZ)G=14°,

又〈/CBG+NC=NCDG+/G,

：.ZCBG-ZCDG=ZG-ZC=14°,

.\ZG=ZC+14°=102°.

四、附加题(本大题共5小题，共20分)(一)填空题(本大题共5小题，每小题2分,

共10分)

26.因式分解：4N-y2-2y-1=(2x+y+l)(2--y-1).

【分析】先给后三项加上一个负括号，利用完全平方公式，再利用平方差公式分解.

解：4N-y2-2y-1

=4N-(V+2y+l)

=(2x)2-(y+1)2

=(2x+y+l)(2x-y-1).

故答案为：(2%+y+l)(2x-y-l).

27.若2x+y+z=10,3x+y+z=12,则x+y+z=8.

【分析】联立已知两个方程组成方程组，利用加减消元法得到1和y+z的值，即可确定

出x+y+z的值.

铲睬/出/2xq+z=10①

角牛：联乂得：＜­，

13x+y+z=12②

②-①得：x=2,

①+②得：5x+2y+2z=22③,

.\x+y==6,

x+y+z=2+6=8,

故答案为：8.

28.若/A与的一组边平行，另一组边垂直，且/A-2/2=15°,则48的度数为75°

或25°.

【分析】首先由两个角的两边分别平行，另一组边互相垂直.可分为两种情况.根据两

直线平行同旁内角互补，两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，即可求得答案，注

意别漏解.

ZA+Z1=18O°,

.\Z1=18O°-ZA,

VZA-2ZB=15°,

.\Z1=18O°-(2/8+15°)=165°-2ZB,

VAC±BC,

.•.Zl+ZB=90°,

.*.165°-2ZB+ZB=90°,

:・/B=75°；

如图2：

U：AE//BF,

：.ZA=Z1,

VZA-2ZB=15°,

.'.Z1=2ZB+15°,

VACXBC,

.,.Zl+ZB=90°,

A2ZB+150+ZB=90°,

：.ZB=25°；

综上，乙8的度数为75°或25°.

故答案为：75°或25°.

29.如图，在AABC中，。是A8中点，E是8c边上一点，且8E=4EC,CD与AE交于

点、F,连接3F.若的面积是4,则△ABC的面积是30.

【分析】利用等高模型求出△BCT的面积，再证明△ACP的面积=的面

积，求出△人（?£,△ABE的面积即可解决问题.

解：-：BE=4EC,S&BEF=4,

S/\CEF=~~S/\BEF=1,

4

SABCF-S^BEF+S△CEF=4+1=5,

・・•。是A3中点，

,\AD=DBf

S△ADF=SABDF,SAADC=SABDC,

••S/^AD