2020-2021学年崇左市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年崇左市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.s讥45。的值等于（）

A.V2B.1C.3D.四

22

2.已知二次函数y=（x-h）2（/i为常数），当自变量x的值满足IWxS3时，其对应的函数值y的最

小值为1,则h的值为（）

A.2或4B.0或z1C.2或3D.0或3

抛物线y=ax2+6与y轴交于点力，过点、"匕/

3.如图，在平面直角坐标系中,

v=2x2于B、C两点，则BC的长为（）K/T\A

A与x轴平行的直线交抛物线

A.V2

B.V3

c.2V2

D.2V3

4.若77n=5n,则下列比例式错误的是（）

A.mB.^=|C.1；

57n75mD.5=m-

5.下列说法中错误的是（）

A.平行四边形的对边相等

B.正方形的对角线互相垂直平分且相等

C.菱形的对角线互相垂直平分

D.矩形的对角线互相垂直相等

6.如图，在8x4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若^ABC的三个顶点在图中相应的格

点上，贝iJsin^BAC的值为（

1：••■•A•••：>..........................[

；：；；；；

：...!…X…?!<

：：：B\：：：：C

A.；B.1C.四D.2

52105

7.若反比例函数丫=其上力0）的图象经过点「（一2,6）,则该函数的图象不经过的点是（）

A.(-6,-2)B.(2,-6)C.(3,-4)D.(-3,4)

8.如图，正六边形ABCDEF内接于OO,点P为庭上一点，则tan〃PC的

值为（）

A.V30

A

BT

R

C-T

D.1

9.如图，边长为2的正方形4BCD中，P是CD的中点，连接4P并延长，交BC的延长线于点尸，作^CPF

的外接圆O0，连接BP并延长交。。于点E,连接EF,则EF的长为（）

A.IB1

10.如图,

A.2:3

B.4：9

2：5

D.71・忑

11.如图，AB//CD,AF//DE,EC//BF,则下列各式中正确的是（）

AEGCF

A-=—

•CECD

nAECF

K—=—

•BEDF

cBHEG

c•丽=而

nAGDF

D•正=而

12.己知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2——8x+7=0的两个根，则这个直角三角

形的斜边长是（）

A.V3B.3C.6D.9

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.如果函数丫=（卜一2汝2-1。是反比例函数，且当》>0时丫随工的增大而增大，此函数的解析式

是.

点0、E分别在x轴和y轴上，当m=l时，四边形BCDE周长的最小值为后+金.其中正确判断

的序号是.

16.如图，△ABC中，DE//BC,CD、BE交于点F,如果EF：BF=2；5,

那么4E：EC=.

17.己知函数y=a（x+2）（x-；）,有下列说法：①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点,

则只有唯一平移方法：向右平移2个单位；②当0<a<l时，抛物线的顶点在第四象限；③方

程a（x+2）（%-令=-4必有实数根；④若a<0,则当X<-2时，y随x的增大而增大.其中说法

正确的是.（填写序号）

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，△04B的顶点B在x轴正半轴上，C

在上，4C=2BC,点4c在反比例函数y=^（x>0）的图象上，

△04B的面积等于12,则卜=.

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.如图，力、B、C是三座城市，4市在B市的正西方向.C市在4市北偏东60。的方向，在B市北偏

东30。的方向.这三座城市之间有高速公路4、%、。相互贯通.小亮驾车从4市出发，以平均每

小时80公里的速度沿高速公路％向C市驶去，3小时后小亮到达了C市.

(1)求C市到高速公路。的最短距离；

(2)如果小亮以相同的速度从C市沿4的路线从高速公路返回4市.那么经过多长时间后，他

能回到4市？(结果精确到0.1小时)(遮x1.732)

四、解答题(本大题共7小题，共58.0分)

20.计算:

(1)，(一4)2-7^27：

21.在直角坐标系xOy中，函数、=?(%>0)的图象上点4的纵坐标是横坐标的3倍.

(1)求点4的坐标；

(2)设一次函数y-kx+b(b羊0)的图象经过点力，且与y轴相交于点B,如果。4=AB,求这个一一次

函数的解析式.

22.如图所示的平面直角坐标系中,AABC的三个顶点坐标分别为4一3,2)、B(-1,3)、C(-l,l),请

按如下要求画图：

(1)以y轴为对称轴，作AaBC的对称△A$1C1，请画出△&B1G；

(2)以坐标原点。为位似中心，在%轴的下方，将AABC放大为原来的2倍得到A4B2c2，请画出△

4282c2•

23.如图：已知OM经过。点，并且OM与x轴，y轴分别交于4B两点，

线段。4OB{OA＞。8)的长是方程合_I7x+60=0的两根.

(1)求线段。4,OB的长；

(2)已知点C是劣弧。4的中点，连结BC交。4于。.

①求证：OC2=CD-CB-,②求点C的坐标；

(3)在(2)的条件下，在。M上是否存在一点P,使小P。。的面积与44B0的

面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

24.市政某小组检修一条长1200m的自来水管道，在检修了一半的长度后，提高了工作效率，每小

时检修的管道长度是原计划的1.5倍，结果共用5无完成任务，求这个小组原计划每小时检修管道

的长度.

25.如图，点P是菱形4BCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交4D

于E,交84的延长线于点工

(1)求证：乙DCP=4DAP；

(2)如果PE=4,EF=5,求线段PC的长.

26.已知抛物线y=ax2+(b+l)x+b-l(a彳0),直线、=一%+藐&7?

定义：若存在某一数和，使得点(xo，x())在抛物线y=aM+(b+1)X+b-l(a力0)上，则称沏是抛

物线的一个不动点.

(1)当a=l,b=-2时，求抛物线的不动点；

(2)若对任意的b值，抛物线恒有两个不动点，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若4B两点的横坐标是抛物线的不动点，且4B的中点C在直线上，请直接写出b

的最小值.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：sin45。=乌

2

故选：D.

根据特殊角的三角函数值得出即可.

本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中.

2.答案：B

解析：解：函数的对称轴为：x=h,

①当h23时，

x=3时，y取得最小值，即（3-/I）2=1,

解得：h=2或4（舍去2）,

故h=4；

②当hW1时，

x=l时，y取得最小值，即（1一八）2=1,

解得：h=0或2（舍去2）,

故h=0；

③当1<h<3时，

x-八取得最小值，不成立；

综上，h=0或4,

故选：B.

根据对称轴x=%和1<%<3位置关系，分三种情况讨论即可求解.

本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键彳通定对称轴与给定区间的位置关系，讨

论求解.

3.答案：D

解析：解：••・抛物线y=ax2+6与y轴交于点4,

・•・A点坐标为（0,6）.

当y=6时，2/=6,

解得％=±V3,W

・•・B点坐标为（一次,6）,C点坐标为（遮,6）,

BC=V3-(-V3)=2V3.

故选：D.

先由y轴上点的横坐标为0求出4点坐标为(0,6),再将y=6代入y=2/,求出x的值，得出8、C两

点的坐标，进而求出BC的长度.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法,平行于x轴上的两点之间的距离,

比较简单.

4.答案：C

解析：

本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关

键.依据比例的性质，即可得到结论.

解：4由£=轲得，5n=7m,本选项正确；

B.由三=,可得，5n=7m,本选项正确；

C.由可得，mn=35,本选项错误；

D由1=巴可得，5n=7m,本选项正确.

5m

故选C.

5.答案：D

解析：解：矩形对角线一定相等，但不一定相互垂直，选。说法错误.

其它三个选项说法均正确.

故选：D.

根据几种四边形的性质进行判断即可.

本题主要考查了平行四边形以及三种特殊平行四边形的性质，熟悉这儿种四边形的性质是解答关键.

6.答案：D

解析：试题分析：过8作BO_L4c于。，首先根据勾股定理求出4C和AB的长，再根据三角形的面积

为定值即可求出BD的长，进而求出sin/B4c的值.

由图形知：AB=V22+22=2&，AC=V22+62=2内,

过B作8DJ.4C于。,

•"△ABC=[xBCx2=4,

4_25/10

：・BD面=丁

2匹L

•••siMB4C=黑工=延

2\[25

故选D.

7.答案：A

解析：解：：反比例函数丫=其k彳0）的图象经过点2（一2,6）,

・,・k=（-2）X6=-12.

4、•••（—6）x（—2）=12于-12,.,.此点不在函数图象上，故本选项正确;

B、•・•（-6）x2=—12,.•.此点在函数图象上，故本选项错误；

C、•・•（-4）x3=-12,••.此点在函数图象上，故本选项错误；

。、•••（-3）x4=-12,.•.此点在函数图象上，故本选项错误.

故选4.

先把点P（-2,6）代入反比例函数y=力0）求出k的值，再把各选项代入进行计算即可.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数

的解析式是解答此题的关键.

8.答案：A

解析：解：连接。4、OB、OC,如图所示:

LAOB=乙BOC=—=60°,

6

・•・Z.AOC=120°,

•••LAPC=-Z.AOC=60°,

2

•••tanZ.APC=V3;

故选:A.

由正六边形的性质得出NAOC=120。，由圆周角定理求出乙4PC=60。，即可得出结果.

本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出乙4PC=60°

是解决问题的关键.

9.答案：D

解析：解：•.,四边形4BCD是正方形,

/.Z.ABC=L.PCF=90°,CD//AB,

vP为C。的中点，CD=AB=BC=2,

・•・CP=1,

vPC“AB,

•••△77cps△FBA,

•・•CP=1,AB=BC=2,

.CF_CP_1

••BF~AB~2’

.BF-2_1

"BF-2，

・・・BF=4,

...CF=4-2=2,

由勾股定理得：BP=V22+l2=V5，

・・•四边形48C。是正方形，

・・•乙BCP=乙PCF=90°,

・•・PF是直径,

・・・z_E=90°=(BCP,

v乙PBC=乙EBF,

BCP〜二BEF,

・P•C・一=BP—,

EFBF

,1_V5

A--=--,

EF4

•••EF=2，

故选：D.

先求出CP、BF长，根据勾股定理求出BP,根据相似得出比例式，即可求出答案.

本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用.

10.答案:B

解析：先求出△CBASAACD,得出△ABC与△DCA的面积比即可求得.

解：•.•4D〃BC

・♦・乙ACB=Z-DAC

又•・.(B=乙ACD=90°

ABC~公DCA

•••SAABC：S&DCA=A#：CD2=22：32=4：9

故选B

11.答案：D

解析：解：•••GF//DE,

糕=芸,故A选项错误：

CcCD

・・•EH//AF,

tAE_FH

•,BE-BH'

-AB//CD,

,空=史，

BHBE

vBE//CF,CE//BF,

・・・四边形8ECF是平行四边形，

.・.BE=CF,

则管=霁=案=能故8选项错误；

•・,BEIIDF,

.BH_BE

・•丽—丽‘

vBE=CF,

.BH_CF

••还一而‘

・・・GFI〔DE,

CF_CG

••DF-EG'

.••器=2,故c选项错误；

rncU

■:AB“CD,

AG_AE

港=方'

•••四边形AEDF是平行四边形，

•••AE=DF,

・♦嘿=能故。选项正确；

故选：D.

依据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质逐一判断即可

得.

本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三

角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质等知识点.

12.答案：B

解析：

此题主要考查了根与系数的关系有关知识，根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，

再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式,

最后代入两根之积与两根之和的值进行计算.

解：设直角三角形的斜边为c,两直角边分别为a与b.

•・•直角三角形的两条直角边的长恰好是方程27-8x+7=0的两个根，

・•・a+b=4,ab=3.5；

根据勾股定理可得：c2=a2+h2=(a4-b)2—2ab=16—7=9,

c-3,

故选8.

13.答案:y=--

X

解析：

先根据反比例函数的定义得到9-10=-1,再根据反比例函数增减性即可判断k-2<0,即可求

得k的值.

本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，知道增减性即可判断系数的符合是解题的关键.

解：•.・函数y=(k—2方/-1。是反比例函数，

fc2-10=-1,

k=±3,

,当x>0时，y随x的增大而增大,

/.fc-2<0,即k<2,

・•・k.=-3.

故答案为y=-1.

14.答案：2.5或2

解析：解：①当3和4是直角边时，斜边为V32+42=5,

斜边的中线为|x5=2.5,

②当3是直角边，4是斜边时，

斜边上的中线为4=2,

所以斜边上的中线为2.5或2,

故答案为：2.5或2.

分为两种情况：①当3和4是直角边时，②当3是直角边，4是斜边时，求出斜边后根据直角三角形斜

边上中线性质求出即可.

本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理的应用，注意要进行分类讨论.

15.答案：①③④

解析：

本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

①把y=m+2代入y=-合+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；

②根据二次函数的性质进行判断；

③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；

④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B',作C点关于x轴的对称点C',

连接B'C',与x轴、y轴分别交于。、E点，求出B'C'便是其他三边和的最小值.

解：①把y=m+2代入y=—x2+2久+m+1中，

得/—2%4-1=0,

•・•△=4—4=0,

.・•此方程两个相等的实数根，

则抛物线y=-%2+2%+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点，故正确；

②,・•抛物线的对称轴为％=1,

二点P(2/3)关于％=1的对称点为「'(0/3)，

va=-1<0,

.•.当X<1时,y随X增大而增大，

又；一2<0<：<1,点”(一2/1)、点7(右丫2)、点「'(0/3)在该函数图象上，

1'171<73<72>故错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：

y——(x+2)2+2(x+2)+m+l-2,

即y=—(x+1)2+m,故正确；

④当m=l时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2,

力(0,2),C(2,2),5(1,3),

作点B关于y轴的对称点B'(-1,3),作C点关于%轴的对称点C'(2,-2),连接B'C',与x轴、y轴分别交

于。、E点，如图，

则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C+BC,根据两点之间线段最短，知B'C'最短,

而BC的长度一定，

.,.此时，四边形BCDE周长=8'C'+BC最小，为：

+CM2+y/BM2+CM2=V32+52+Vl2+l2=V34+V2>故正确；

故答案为①③④.

16.答案：2：3

解析：解：vDE//BC,

/.△ADE^LABC,ADEF〜ACBF,

・・・AE：AC=DE：BC,DE：BC=EF：BF=2：5,

・•・AE：AC=2：5,

：,AE：EC=2：3.

故答案为：2：3.

由DE〃BC,即可得△ADEsAABC,ADEFfCBF,又由相似三角形的对应边成比例，即可得4E：

AC=DE：BC=EF：BF=2：5,即可求得4E：EC的值.

此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线

段的对应关系.

17.答案：②③

解析：解：当函数图象向上平移4个单位时，解析式为7=。必+29-1)，则其图象过原点，故①

不正确；

在y=ax2+2(a—l)x—4中，令x=0可得y=-4,

当0<a<l时，其对称轴为x=-芋>0,此时其顶点坐标在第四象限，故②正确；

vy=a(%+2)(x~~)=ax2+2(a—l)x—4,

二方程a(x+2)(x—-)=-4可化为a/+2(a—l)x—4=—4,B|Jax2+2(a—l)x=0.该方程有实

数根，故③正确；

当a<0时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴的左侧，但无法确定其在x=-2的左侧还是右侧，故

④不正确；

综上可知正确的是②③，

故答案为②③.

把函数解析式化为一般式，再结合方程、函数图象等进行判断即可.

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数与方程、图象的平移等知识是解题的关键.

18.答案:6

解析：解：过点C作CD_L0B于点D,过点2作AE，0B于点E,

EDB

设C(x,y)

.・.CD=y,OD=x.

VCD//AE,AC=2BC,

AE=3CD=3y,

--0B-AE=12,

・・・OB=

:,BD=OB-OD=--xt

•••DE=2BD=--2x,

y

：.OE=OD-DE=x--2x)=3x-y,

.••点4的坐标为(3x-^,3y),

由于点4,C在反比例函数y=：(久>0)的图象上，

」•(3x-y)-3y=xy,

・•・解得：xy=6,

fc=xy=6,

故答案为：6.

过点C作CD08于点。，过点4作AEL08于点E,设C(x,y),所以CD=y,OD=x,根据题意求

出点4的坐标为(3x-£,3y),由于点4c在反比例函数y=>0)的图象上，从而列出方程：(3x-

£)•3y=xy,解出xy的值即可求出k的值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据相似三角形的判定与性质得出点4的坐标及OE的

长度是解题的关键.

19.答案：(1)解：过点C作COI."于点。，由己知得£沙?”匕

4C=3x80=240(km),ZT4D=30°/!I'东

11

CD=-AC=-x240=120(fcm)

C市到高速公路，1的最短距离是120km.

(2)解：由已知得NCBC=60。

在RtACBD中，

CD

vsinZ-CBD=—

BC

CD120r-

.•・BC=-------=------=80v3

sinz.CBDsin60°

乙ACB=乙CBD-乙CAB=60°-30°=30°

・•・乙ACB=Z-CAB=30°

AB=BC=80V3

AB+BC80V3+80V3「

At=———=--------=2v3《2x1.732«3.5

8080

答:经过约3.5小时后，他能回到4市.

解析：(1)过点C作CD1。于点D,得直角三角形4DC,先由已知求出力C,再根据含30度的直角三角

形的性质求出C市到高速公路。的最短距离；

(2)解直角三角形CBO求出BC,再由已知得出三角形ABC为等腰三角形即4B=BC,从而求出经过多

长时间后，他能回到4市.

此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，运用含30度的直角三角形的性

质、三角函数求解.

20.答案:解：(1)原式=|一4|一(—3)

=4+3

=7；

(2)原式=百一1+：-：

=V3-1+1

=y/3-

解析：(1)原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；

(2)原式利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义计算即可求出值.

此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

21.答案：解：(1)由题意，设点A的坐标为(a,3a),a>0,

,点4在反比例函数y=?(x>0)的图象上，得：3a=孩，

解得a1-2,a2=—2,

经检验的=2,a2=-2是原方程的根，但a2=-2不符合题意，舍去，

.••点4的坐标为(2,6)；

(2)设点B的坐标为(0,m),

•••点8在y轴上，OA=AB,

(6-m)2+22=62+22,

解得m=0或12,

••,一次函数y=kx+b中，bK0,

•••m—0舍去，

•••m=12,

点B的坐标为(0,12),

则一次函数的解析式为y=kx+12,由于这个一次函数图象过点4(2,6),

6=2k+12,

解得k=-3,

二所求一次函数的解析式为y=-3x+12.

解析：(1)根据4点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出4的坐标；

(2)设点B的坐标为(0,巾)，根据04=4B列出关于m的方程，解方程求出B点坐标，进而求出解析式

即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数求函数解析式，试题的特色和亮点：注重基

础和计算能力的考查.

22.答案：解：(1)如图，△&B1G为所求；

(2)如图,△々B2c2即为所求.

解析：(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点4、Bi、G的坐标，然后描点即可；

(2)利用关于以原点为似中心的对应点的坐标特征，把4、8、C的横纵坐标都乘以-2得到点4、为、

G的坐标，然后描点即可.

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为鼠那么

位似图形对应点的坐标的比等于k或-/c.也考查了轴对称变换.

23.答案：解：(1)/一17%+60=0

(%-12)(%-5)=0

—12,%2=5,

OA=12,OB=5；

(2)①•.•点C是劣弧。/的中点，

oc=2c

:.Z.OBC=Z.DOC,

又Z.C=Z-C,

0cBDCO.

.•.丝=生

BCOC

即。。2=CD-CB-.

②连接MC交04于点E,根据垂径定理的推论，得ME1O4

vOA=12,OB=5,/.BOA=90°,

是。M的直径，由勾股定理得AB=13,

根据勾股定理，得ME=7M02-ME?=J6.52-62=2.5.

CE=6.5-2.5=4,

即C(6,-4)；

(3)假定在。上存在点P,使S“BD=SAPOD，

OB//EC,

OBDsAECD»

—OB=一OD,

ECED

g[J-=0-

46-OD

解得00=T，

B0

•••SAAB。="°-

C_65

3APO。=y>

故可得在△POD中，。。边上的高为13,即点P到％轴的距离为13,

•••O上的点到x轴的最大距离为9,

二点P不在。上，

故在。上不存在点P,使SAABD=SAPOD.

解析：（1）线段。4,。8（。4>。8）的长是方程42―17刀+60=0的两根，求出方程的解即可；

（2）点C是劣弧。力的中点，得乙OBC=4D0C,则△OCBsAOC。；连接MC,根据垂径定理的推论，

得MC1。4再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可；

（3）根据相似三角形OBD和ECD求出0D的长，那么心好。=可据此求出三角形POD中0。边上

的高，然后同。M中点到x轴的最大距离进行比较即可得出P是否在圆上.

本题考查了圆的综合题目，涉及了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形

的面积求法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，注意所学知识的融会贯通.

24.答案：解：设该工人原计划每小时检修煤气管道x米.

根据题意，得您+另=5,