2022-2023学年陕西省西安市周至重点中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市周至重点中学高二（下）期末数学

试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={-1,0,1,2},B={x\x2<1},则4nB=（）

A.[-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.[0,1,2}

2.若z(l+i)=2i,贝ijz=()

A.-1-iB.-1+iC.1—iD.1+i

3.已知各项均为正数的等比数列{册}的前4项和为15,且as=3a3+4%,

A.16B.8C.4D.2

4.（1+2/）（1+%）4的展开式中久3的系数为（）

A.12B.16C.20D.24

5.已知曲线丫=ae*+%仇%在点（l,ae）处的切线方程为y=2%+仇则（）

A.a=e,b=—1B.a=e,b=1

1

C.a=?T,b=1D.a=e~,b=—1

6.已知非零向量落方满足|为|=2|另|，且（五一方）_1至，则4与另的夹角为（

A.%B.?C生n—

J356

7.若cos(a+£)=sinQS.J)=a,/?6(0,2),则cos(a+令=()

A33R33

A•一花B.-JC—65D5--65

8.如图，点N为正方形ABC。的中心，4ECD为正三角形,平面LA

ECD平面ABC。，M是线段ED的中点，贝1（）

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM手EN,且直线BM,EN是相交直线

DA

C.8M=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BMKEN,且直线BM,EN是异面直线

9.已知奇函数/（x）在R上是增函数.若a=—/（log2§，b08

=/(log24.1),c=y(2-),则a,

b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

10.已知三棱锥D-4BC的所有顶点都在球。的球面上，AB=BC=2,AC=2。，若三棱

锥D-ABC体积的最大值为2,则球。的表面积为()

A.8兀B.971C.竽D.空

11.已知％?2是椭圆C：务'=l(a>b>0)的左、右焦点，4是椭圆C的左顶点，点P在

过4且斜率为《的直线上，aPFiF2为等腰三角形，4居尸2P=120。，则椭圆C的离心率为

6

A.|B.lC.lD.1

12.已知函数/(x)=sin[cosx]+cos[sinx],其中[%]表示不超过实数%的最大整数，关于/(x)

有下述四个结论：

①f(x)的一个周期是2兀；②/(%)是非奇非偶函数；

③/(x)在(0,兀)单调递减；④f(x)的最大值大于，臣.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.②④C.①③D.①②

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表

示抽到的二等品件数，则o(x)=.

X—2y—2W0

14.若x,y满足约束条件x—y+120,则z=3x+2y的最大值为.

,y<0

15.已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-l(n€N*),设匕=1+logza”，则数列｛彳J—｝的

°n°n+l

前n项和〃=.

16.己知函数/'(%)=2sinx+s讥2x,则/(x)的最小值是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-c)(a2一产+©2)=2abecosC.

(1)求角8的大小；

(□)若a=l,b=V-3>求△ABC的面积.

18.(本小题12.0分)

某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布N(〃R2),并

把质量指标值在(〃-<7,M+。)内的产品称为优等品，质量指标值在(〃+<7,〃+2(7)内的产品称

为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产

的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图：

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数I

(2)根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数工作为〃的

近似值，用样本标准差s作为。的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随

机变量f服从正态分布N(〃,CJ2),则P(〃—W〃+C)B0.6827,P(ji-2a<^<H+

2(T)士0.9545,-3<r<<</z+3<T)»0.9973.

(3)假如企业包装时要求把3件优等品件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机

取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X,求X的分布列以及数学期望.

0.020

0.010

0.005

465666768696质唬指标值

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底而ABCD是菱形，且24=40=2,APAD=ABAD=120°,

E,F分别为P。，BD的中点，且EF=?.

(1)求证：平面PADJ•平面ABCD；

(2)求锐二面角E-AC-。的余弦值.

20.(本小题12.0分)

已知抛物线y2=2Pxe>0)的焦点为尸，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF|-1.

(1)求抛物线方程；

(2)设点7(3,0),过点F作直线I与抛物线交于4B两点，且方=AFB,若；I6[-5,-1],求|方+

方|的最小值.

21.(本小题12.0分)

己知函数/'(x)=Inx+ax+1有两个零点x2

(1)求a的取值范围；

(2)记/(x)的极值点为Xo，求证:xt+x2>2ef(x0).

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线[的参数方程为<12«为参数)，以坐标原点。为极点,

3=尹

以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=4cos6.

(1)求直线1的普通方程及曲线C的直角坐标方程：

(2)若直线，与曲线C交于A,8两点，求线段48的中点P到坐标原点。的距离.

23.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=\2x+1|—|x—m\(mER).

(1)当m=1时,解不等式f(%)>2；

(2)若关于％的不等式((%)>|x-3|的解集包含[3,4],求m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••B=又4={-1,0,1,2},

AdB={-1,0,1)>

故选：A.

先化简，再运算即可得解.

本题考查集合的基本运算，属基础题.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查复数代数形式的乘法和除法法则，属于基础题.

利用复数的运算法则求解即可.

【解答】

解：由z(l+i)=2i,得

2i_

=1+i.

故选O.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式，属基础题.

设等比数列5}的公比为q(q>0),根据条件可得『1r巴+口产：。®='解方程即可.

gq=3aiq+4al

【解答】

解：设等比数列{%}的公比为式q>0),

则由前4项和为15,且劭=3。3+4。1，

有ph+%q+%q2+aiq3=15.,%=1

42

k^q=3aTq+4al，IQ=2

•*•。3=22=4,

故选C.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，以及二项展开式的特定项系数，属于基础题.

利用二项展开式的通项直接求解即可.

【解答】

解：(1+x)4的展开式的通项为4+1=C;xr,

则(1+2/)(1+x)4的展开式中的系数为：

1XCI+2XCI=12.

故选：A.

5.【答案】D

【解析】解：y'=aex+Inx+1,

k—y'|x=i=ae+1=2,a=e-1

将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=l,b=-1.

故选：D.

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a,将点的坐标代入直线方程，求得从

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题.

由0—尤)工孔可得G-b)-b=O,进一步得到国间cos<a,b>-b2=0'然后求出夹角即可.

【解答】

解：,・,(万一Wi.a

(a-b)-b=a-b-b

_2

=|a||/?|cos<a,b>—b=0,

P21

••.cos<a,b>=丽=2，

v<a,b>G[0,7r]，

••<a,b>=基

故选员

7.【答案】C

【解析】解：••・a+*=a+/?—(/?一9,

:.cos(a+；)=cos[a+S—G?-1)]=cos(a+/?)cosQ?—^)+sin(a+£)sin(0—》，

'''a,/?e(0,J),：.a+£e(0,兀)，则sin(a+0)=g,

乙□

7T厂,7T7T、

a-ZG

sin(/?_$=得，.•.cos(/?_；)=M

I.I.I/,〃、312,5456

则cos(a+i)=gx百+百xq=在'

故选：C.

根据同角三角函数关系进行求解，结合两角和差的余弦公式进行转化求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键.难度中

等.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意，如图所示，连接BD,点N为正方形4BCD

的中心，则N在BC上，

故EN、BM都在平面BED上，

结合图形易得，直线BM,EN是相交直线，

D

再作EO_LCC于0,连接ON,过M作MFI。。于F,连接BF,

由于平面CCE1,平面4BCD.E。1CD,E。u平面CDE,

则E。_L平面4BCD,MF_L平面4BCD,△MFB与△EON均为直角三角形.

设正方形边长为2,易知E。=G,0N=1EN=2,MF=号,BF=|，；.BM=1.：.BM丰EN,

故选：B.

根据题意，连接BD,分析有B、M、E、N四点共面，易得直线BM,EN是相交直线，再作E。，CD

于。，连接ON,过M作MFJ_OC于F,连接8F,求出BM、EN的长，即可得答案.

本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及异面直线的定义，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题.

根据奇函数/'(X)在R上是增函数，化简a、b、c,进而可得出a,b,c的大小.

【解答】

解：奇函数/(%)在R上是增函数，

二a=-/(/。92》=/。%5)，=/(log24.1),c=/(2°-8),

08

又1<2<2<log24.1<log25,

8

.•./(2°-)</(log24.1)</(log25),

即c<b<a.

故选：C.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了棱锥与球的结构特征，常见几何体的体积与表面积计算，属于中档题.

根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积.

【解答】

解：AB=BC=2,4c=2/7，

+BC2=AC2,

由勾股定理的逆定理得4B1BC,

过4c的中点M作平面ABC的垂线MN,

则球心。在直线MN上，

设OM=/i,球的半径为R,则棱锥的高的最大值为R+h,

YD-ABC=|xix2x2x(/?+/!)=2,

・•・R+九=3,

由勾股定理得：R2=(3-/?)2+2,

解得R=号，

・••球。的表面积为S=4兀x展=竽.

故选。.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题.

求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率.

【解答】

解：由题意可知:A{—a,0),F1(—c,0),/*2(c,0),

直线4P的方程为：y=?(%+a),

由NF/2P=120。，|PF2|=|&F2|=2c,

则P(2GCC),

代入直线4尸的方程得，3c=?(2c+a),整理得：a=4c,

•••离心率e=d

故答案选：D.

12.【答案】A

【解析】解：①vf(x+2zr)=sin[cos(x+2TT)]+cos[sin(x+2n)]=sin[cos%]+cos[sinx]=

/(%)，

・•・f(%)的一个周期是2江，故①正确；

②f(一力=sin[cos(-§]+cos[sin(-^)]=sin[?]+cos[-^]=sinO+cos(-l)=cosl，

/(》=sin[cos^]+cos[sin^]=sin[浮]+cos[?]=sinO+cosO=1,

.・•/(—》w/6)，/(—力♦—/(》，.・./•(%)是非奇非偶函数，故②正确；

当工€(0,1)时，0<sinx<1,0<cosx<1,A[sinx]=[cosx]=0,

••・/(%)=sin[cosx]+cos[sinx]=sinO+cosO=1,故③错误；

v/(0)=sin[cosO]+cos[sinO]=sinl+cosO=sinl4-1>?+1>y/~21故④正确.

・•・正确结论的序号是①②④.

故选：A.

由三角函数的概念判断①：由〃一》*啰)，/(一力力—6)判断②；求出当XG(0,今时/0)为

定值判断③；求出/(0)的值判断④.

本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题.

13.【答案】1.96

【解析】

【分析】

本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，属于基础题.

判断概率类型满足二项分布是解题的关键.判断概率满足的类型，然后利用公式求方差即可.

【解答】

解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，

其中，p=0.02.n=100,

则D(X)=np(l-p)=100x0.02x0.98=1.96.

故答案为：1.96

14.【答案】6

【解析】

【分析】

本题考查线性规划中的最值问题，属于基础题.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.

【解答】

X—2y—2<0

解：作出不等式组x—y+lN0对应的平面区域，如图：

,y<0

由z=3x+2y,得y=-|x+；z,

平移直线y=—|x+gz,由图象知当直线y=—?x+az经过点4(2,0)时,

直线y=—|%+；z的纵截距最大，此时z最大，

则Znuur=3X2=6，

故答案为：6.

15.【答案】言

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力，属于较易题目.

1

令n=1,=1；n>2时，c1=S-S九推出0=2a_然后求解通项公式，化简数列出。一｝

nnnnlf°nDn+l

的通项公式，求解数列的和即可.

【解答】

解：令九=1,Qi=1；

n>2时,。九=Sn-Sn-i=2an—2azi一「

整理得：an=2an_lt

nn

所以an=2t,bn=1+log22t=n,

Tn=-^―+dp---=------F-———=1———=-2-

n1x22x3n(n+l)223nn+1n+1n+1*

故答案为：言

16.【答案】—亨

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式及其应用，考查导数法求函数在区间的最值，属于中档题.

由题意可得7=2兀是/■(>)的一个周期，问题转化为f(x)在［0,2兀)上的最小值，进行求解即可.

【解答】

解：由题意，可得T=27T是fO)=2s勿％+s讥2%的一个周期，

故只需考虑/(%)=2s比x+s讥2%在［0,2兀)上的值域，

求导数可得/'(%)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2cos2x—1)=2(2cosx—l)(cosx+1),

令/'(%)=0,可解得cos%=g或cosx=-1,

可得：X=1,或X=7T或)=等;

・•,f(x)=2sinx+s讥2x的最小值只能在％=/，或％=九或%=苧或％=0中取到，

计算可得/■居)=浮，/(兀)=0,/(：)=—学，/(0)=0，

・•・函数f(x)的最小值为一容，

故答案为：一亨.

17.【答案】解：(1)v(2a-C)(Q2-炉+。2)=2abccosC.

・•・(2a—c)2accosB=2abccosC.

・•・(2a—c)cosB=bcosC；

由正弦定理可得：

・•・2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,

:.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(8+C)=sinA,

vsinA*0,

1

:.cosBn=

•・•B6(0°480°),

・•・B=60°；

(2)由正弦定理可得：

因为a<b；

・・・4=30°,

故C=180°-30°-60°=90°.

・•・S=gabsinC=1x1xV~~3xsin90°=号.

【解析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosB=结合

范围B6（0。,180。）,可求B的值；

（2）先由正弦定理求得4进而得到C,即可求得其面积.

本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查

了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，

x=0.010x10x+0.020x10x+0.045x10x+0.020x10x+

(2)由题意可知，样本方差s2=100,故=10，

所以质量指标值y〜N(70,102)，

该厂生产的产品为正品的概率P=P(60<y<90)=P(60<y<80)+P(80<r<90)=

其0.6827+0.9545)=0.8186.

(3)X的可能取值为0,1,2,3,

则P(x=o)=^=条

P(X=1)=警=输

(JoZO

P(X=2)=萼=g,

所以X的分布列为

X0123

515151

p

28285656

数学期望%)=0x^+lx!|+2x||+3x表/

【解析】(1)根据平均数的运算公式，代入数值计算即可；

(2)由己知可得，质量指标值y〜N(70,102),该厂生产的产品为正品的概率P=P(70—10<Y<

70+10)+P(70+80<y<70+20)=P(60<V<80)+P(80</<90)=1(0.6827+

0.9545)=0.8186：

(3)根据求离散型随机变量分布列的步骤，确定X取不同值时的概率，列表对应，列出X的分布列，

根据数学期望公式，代入数值求解即可.

本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，正态分布等概率统计类基础知识，属于中档

题.

19.【答案】证明：(1)过P作P。_L4D,垂足为。，连结4。，B0,

由4PAD=120°,得NPZ0=60°,

.,.在RtAPA。中，P0=PAsin^PAO=2s讥60°=2x三=C，

y

X

V^BAO=120°,・••々840=60。,4。=40,

・•.△PAO=LBAO,:.BO=PO=7~3,

•••E,尸分别是24,BC的中点，EF=?，

•••E尸是△PBD的中位线，PB=2EF=2X[=口,

：.PB2=PO2+FO2,PO1BO,

ADdBO=0,­••PO_L平面力BCD,

又POu平面PAD,.•.平面PAD_L平面ABCD.

解：(2)以。为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

4(0,1,0),P(0,0,C),B(C,0,0),£>(0,3,0),

33

以

(O,2-FC2-,0)，

荏=(0,；,?)，/=(枭,0),

平面4BCD的一个法向量五=(0,0,1),

设平面ACE的法向量记=(%,y,z),

m-'AE-\y卒z=0

则(一JI，取％=1,得沅=(1,一门,1),

m-AF=—x4--y=0

22/

设锐二面角的平面角的大小为0,

则cos。—|cos<m,n>|=।匕：；[=

・••锐二面角E-AC-。的余弦值为?.

【解析】(1)过P作P。，AD,垂足为。，连结4。,8。,推导出PO=PAsin^PAO=C，乙BAO=60°,

AO=AO,从而△P40三ABA。，进而B0=P0=V3，推导出P。B。，从而P01平面4BCD,

由此能证明平面PADJ■平面4BCD.

(2)以。为原点，OB为x轴，。。为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二

面角E-AC-D的余弦值.

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)抛物线V=2Px(p>0)的焦点为F,

抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF|-1,

可得§=1,所以p=2,

抛物线方程为y2=4x.

(2)由题意知A«2,2t),t>0,

FA=AFB=>2t=A^=>t=V—A,t6[1,V-5]，

则|方+而|=|(t2-3+^-3,2t-|)|

=J_3+M1_3)2+(2t_-2)2

=JKt-**4(7)2,

令S=(t-7)2-Se[0,y],

\TA+TB\=V[s-4]2+4s

=Vs2—4s+16

=V(s-2)2+12>当s=2时取等号.

故|元？+用|的最小值为2，蔺，

【解析】(1)利用已知条件求出P，得到抛物线方程.

(2)求出4(尸,2£),8(十,1)，t>0,转化推出|普+而|的表达式，利用二次函数的性质求解最

小值即可.

本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是

中档题.

21.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+8),令f(x)=0,则。=一号口，

依题意，函数F(x)=-厘Q>0)的图象与直线y=a有两个交点，

由F(x)=-与工(％>0)得尸'(%)=-1-尊+1)=整,

当xe(0,1)时，F'(x)<0,F(x)单减，当x6(1,+8)时，F'(X)>0,尸(x)单增，

且F(l)=-1,当XT0时，F(%)T+8,当％->+8时，F(%)T0,如下图所示，

11

(2)由(1)知，—1<a<0,且由/'(%)=-4-a=0得%o=-

,・,函数/(%)=Inx+ax+1有两个零点％i，%2,

(lnxx+axr+1=0

[lnx2+ax2+1=0'

・•・In就+a®—x2)=0,

不妨设％1>%2，则Q=.%-,

令函数九(%)="％一：则九

当0<x<e时,九'(%)>0,当%>e时,hr(x)<0,

・,・函数九(%)在(0,e)上单增，在®+8)上单减，

・•・力(%)max=h(。)=0,

Y

:./i(x)<0,即仇％<

•・"3))=f(1-：)=ln(1-》1-i>l，

11

/.Inf-一)<——，

'aea

・•・2e仇（一，）<即2e/（%o）<-^

・•・要证/+%2N2e/Qo），即证%1+%22一马即证/+%2N号旨力,即证半守，即证

QX2*2xi*x2

x,2合1）

出久2若—，

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令再令亡=孑（1>1），即证仇tN2£1），

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令咐…一管«>1）,则九,⑷=»六=鼎>。,

・•・h(t)在(l,+oo)上单调递增,

A/i(t)>h(l)=0,即伍tN2)；；)，即得证.

【解析】(1)问