2021-2022学年福建省龙岩市新罗区九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年福建省龙岩市新罗区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1.下列事件是不可能事件的是()

A.明天会下雨

B.小明数学成绩是92分

C.一个数与它的相反数的和是0

D.明年一年共有400天

2.如图所示的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

。通

⑥曦

3.己知一元二次方程/+4x-3=0,下列配方正确的是()

A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x+2)2=7D.(x-2)2=7

4.点P(3,2)关于原点。的对称点尸'的坐标是()

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,3)

5.把抛物线向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为()

A.尸-—^+2B.(x+2)2

22

C.y=--x2-2D.y=-—(x-2)2

22

6.如图，点8,C分别是反比例函数y&(x〉0)与y=上(x>0)的图象上的点，且

XX

轴，过点。作BC的垂线交y轴于点A,则aABC的面积为()

A.6B.4C.3D.2

7.若4,B,C是O。上三点，ZABC=150°,AC=6,则。。的半径是()

A.273B.372C.6D.6&

8.如图，。。的直径CQ=10a〃，AB是。。的弦，ABVCD,垂足为M,OM：0c=3：5,

则AB的长为()

A.y/9'\cmB.8cwC.6cmD.4cm

9.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十

而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出

发，甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10,后又斜向北偏东方向

走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的

时间为X,根据题意，可列方程正确的是()

A.(3x)2+(7x)2=102B.(3%)2+1。2=(7x)2

C.(3x)2+102=(7x-10)2D.(3x+10)2+102=(7%)2

10.如图，正方形的边长为2,点E和点尸分别在8c和CO上运动，且保持NE4F

=45°.若设BE的长为x,EF的长为y,则y与x的函数图象是()

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11.方程(x-3)(x+2)=0的根是.

12.已知经过某闭合电路的电流/(单位：A)与电路的电阻R(单位：Q)是反比例函数关

系，当/=5时，R=20,则当R=40时，/=.

13.如图，四边形ABC。内接于。。，点M在的延长线上，ZCDM=1}°,则NAOC

14.若点P(x,y)(xWy)中可在-2,3,4中取值，则点P落在第二象限的概率是.

15.如图，在扇形AOB中，NAO8=90°,半径OA=4.将扇形沿过点B的直线折叠,

点。恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点。，则图中阴影部分的面积为

B.

6DA

16.直线小y=H+2与y轴交于点A,直线八绕点4逆时针旋转45°得到直线自若直线

h与抛物线y=1+3x+2有唯一的公共点，则k=.

三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解下列方程：

(1)x2-10x=24；

(2)2^+3工-1=0.

18.已知关于x的方程;x-3m=0.

(1)求证：不论m为何值，该方程总有实数根；

(2)如果该方程有一个根小于1,求机的取值范围.

19.如图，一次函数y=fcc+2的图象与x轴、y轴分别相交于A,8两点，且与反比例函数

y=R(nW0)的图象在第一象限交于点C,若。4=08,8是线段AC的中点.求反比例

x

函数的解析式.

20.如图，ZVIBC中，AB^AC,/BAC=80°,小丽将AABC绕点A顺时针旋转a(0°

<a<180°)得到△ADE.

(1)当。=°时，ADLBCi

(2)在旋转过程中，小丽发现当a=50°时，线段BC与OE交于点F,且四边形AEFB

是菱形，请你给予证明.

B

21.在学习了《用频率估计概率》后，小东和学习小组的同学设计了一个实验，他们用一个

黑箱子装有红、白两种颜色的球共4只，它们除颜色外，其他都相同.小东将球搅匀后

从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸出白球的频

率，并将多次实验结果画出如下统计图.

白球频率

球的概率是(精确到0.01)；

(2)从该箱子里随机同时摸出两个球.用树状图或列表法求出刚好摸到一个红球和一个

白球的概率.

22.如图，将圆心角为120。的扇形绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后，得到

扇形AOE,使得点O"恰在篇上.

(1)求作点O'：(尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明过程)

B

23.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的

情况下，每件降价1元，则每天可多售5件.

(1)如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元?

(2)每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以,

请说明理由.

24.如图1,48是。O的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC,连接BC交。。于点D,

过。作DE±AC于E.

(1)求证：OE是。0的切线;

(2)过。作LAB,交。。于点尸，直线AC交。。于点G,连接FG,DG,BF.

①如图2,证明：FG//BD-

②当AC旋转到如图3的位置，在BF上取一点从使得£W=OF.若BF_LDG,证明:

D,O,H在同一条直线上.

C

图3

25.已知抛物线yuf+Zw+c经过A(m,n),B(2-如〃)，C(2,-1)三点，顶点为

P.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果△尸42是等边三角形，求△PA8的面积：

(3)若直线八：y=kix-由与抛物线交于。，E两点，直线勿>=枕-%2与抛物线交于

F,G两点，DE的中点为M,FG的中点为M且无伙2=-3.求点P到直线MN距离的

最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1.下列事件是不可能事件的是（）

A.明天会下雨

B.小明数学成绩是92分

C.一个数与它的相反数的和是0

D.明年一年共有400天

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

解：4、明天会下雨，是随机事件，不符合题意；

3、小明数学成绩是92分，是随机事件，不符合题意；

C、一个数与它的相反数的和是0,是必然事件，不符合题意；

。、明年一年共有400天，是不可能事件，符合题意：

故选：D.

2.如图所示的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

AB

0）0蛛

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：A、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意;

8、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

3.已知一元二次方程x2+4x-3=0,下列配方正确的是（)

A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x+2)2=7D.(x-2)y

【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断.

解：方程移项得：F+4X=3,

配方得：/+4犬+4=7,即(x+2)2=7,

故选：C.

4.点P(3,2)关于原点。的对称点产的坐标是()

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,3)

【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(-X,-y),

即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答.

解：点P(3,2)关于原点0的对称点P'的坐标是(-3,-2).

故选：C.

5.把抛物线丫=-察向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为()

A.y---x1+2B.y---(x+2)2

22

C.y=--x2-2D.y=--(x-2)2

22

【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案.

解：..•把抛物线y=-会向右平移2个单位，

平移后所得抛物线的解析式为：＞=-微(x-2)2.

故选：D.

6.如图，点B,C分别是反比例函数丫心(乂＞0)与丫=上鼠＞0)的图象上的点，且8c

XX

〃y轴，过点C作8C的垂线交y轴于点A,则4ABC的面积为()

A.6B.4C.3D.2

【分析】过点B作BDVy轴于点D,记BC交x轴于点E,利用反比例函数比例系数k

的几何意义求出矩形4CBO的面积，利用矩形的性质求出aABC的面积.

解：过点8作轴于点Q,记交x轴于点E,

：BC〃），轴，ACLBC,

AS阳彩AOEC=I-2|=2,S矩柩OOEB=|6|=6,

•,•S矩形4cB£>=S城彩AOEC+S版步OOEB=2+6=8'

故选：B.

1.若4,B,C是。。上三点，乙43c=150°,AC=6,则。0的半径是（）

A.2贬B.3&C.6D.6&

【分析】。O的优弧AC上取一点O,连接A。、CD,连接。4、OC,NADC=180°-

NABC=30°,根据圆周角定理求得/AOC=2NAOC=60°,根据等边三角形的判定定

理知△AOB是等边三角形，所以等边三角形的三条边相等，即可求解.

解：。0的优弧AC上取一点O,连接A。、CD,连接OA、OC,

VZABC=150°,

ZADC=180°-ZABC=30°,

AZAOC=2ZADC=60°,

*：OA=OC,

.*•AAOfi是等边二角形,

：.OA=OC=AC=6,

...OO的半径是6.

故选：C.

8.如图，。。的直径8=10cm,AB是。0的弦，ABLCD,垂足为M,OM：OC=3：5,

则AB的长为（）

【分析】由于。。的直径C£）=10cv",则的半径为5cm,又已知OM：OC=3：5,

则可以求出OM=3,OC=5,连接OA,根据勾股定理和垂径定理可求得AB.

解：如图所示，连接OA.

O。的直径C£>=10C〃7,

则。0的半径为5cm,

即OA=OC=5,

又OC=3：5,

所以OM=3,

'：ABVCD,垂足为M,

：.AM=BM,

在RtZVIOM中，AM=^52_32=4,

：.AB=2AM=2X4=S.

故选：B.

9.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十

而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出

发，甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10,后又斜向北偏东方向

走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的

时间为x,根据题意，可列方程正确的是()

A.(3x)2+(7x)2=102B.(3x)2+102=(7%)2

C.(3x)2+102=(7x-10)2D.(3x+10)2+102=(7x)2

【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x,然后利用勾股定理列出方程即可.

解：设经X秒二人在3处相遇，这时乙共行A3=3x,

甲共行AC+8C=7x,

VAC=10,

.'.BC—lx-10,

又：N4=90°,

：.BC2=AC2+AB2,

：.(.lx-10)2=102+(3x)2,

故选：C.

10.如图，正方形A8CZ)的边长为2,点E和点F分别在8c和CD上运动，且保持NE4F

=45°.若设BE的长为x,跖的长为y,则y与x的函数图象是()

【分析】将△4£>尸绕点A顺时针旋转90。得到△ABH,从而得到尸,AH=AF,

NHAB=NFAD,然后由/E4尸=45。和NB4O=90。得到N”AE=NE4E=45。,得到

/\HAE^/\FAE,进而得到£F="E=y,由得到8〃=£>b=丁-x,结合正方形的

边长为2得至lj£C=2-x,CF=2-(y-x),然后利用勾股定理列出关于x和y的关系

式求得,与工的函数解析式，最后得到对应的函数图象.

解：如图，将△A。/7绕点A顺时针旋转90°得到△A8H,

:・BH=DF,AH=AF,ZHAB=ZFAD,

VZEAF=45°,ZBAD=90°,

；・NHAE=NHAB+NBAE=NFAD+/BAE=90°-ZFAE=45°,

：.ZFAE=ZHAE,

*：AE=AE,

：./\HAE^/\FAE(SAS),

:・EF=HE=y,

,;BE=x,

:・BH=DF=y-x,

・・,正方形的边长为2,

:・EC=2-x,CF=2-(y-x),

在RtAC£尸中，EC+FCnEF2,

・・・(2-x)2+[2-(y-x)]2=y2,

化简得，y=与至-=(x+2)-^-4=(A/7^彳近)?-4+4&,

2+xx+2、Vx+2

，当Jx+2即x=2-2时，y有最小值,

Vx+2

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11.方程（%-3）（x+2）=0的根是x=3或x=-2.

【分析】先把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可.

解：：（x-3）（x+2）=0.

'.x-3=0或x+2=0,

解得：x=3或x=-2,

故答案为：x=3或x=-2.

12.已知经过某闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻R（单位：Q）是反比例函数关

系，当/=5时，R=20,则当R=40时，1=2.5A.

【分析】根据题意设函数解析式为/=《■,再把（5,20）代入可得U的值，进而可得函

R

数解析式，求出答案.

解：..•经过某闭合电路的电流/（单位：A）与电路的电阻R（单位：C）是反比例函数关

系，

:当/=5时，R=20,

{7=5X20=100(fl),

.•.当R=40时，/=J^l=2.5(A).

40

故答案为：2.54.

13.如图，四边形ABC。内接于。0,点M在的延长线上，NCOM=71°,则/4OC

=142°.

s

【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得到/B=71°,再根据

同弧所对的圆心角是圆周角的二倍求得答案即可.

解：•••四边形ABC。内接于00,

:.NB=NCDM=71",

AZAOC=2ZB=2X71O=142°,

故答案为：142。.

14.若点尸(x,y)(xWy)中x,y可在-2,3,4中取值，则点P落在第二象限的概率是

1

~3~'

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中点尸落在第二象限的结果有2种，再

由概率公式求解即可.

解：画树状图如下：

y34-24-23

共有6种等可能的结果，其中点P落在第二象限的结果有2种，即(-2,3)、(-2,

4),

...点P落在第二象限的概率为苫=《，

63

故答案为：4-

15.如图，在扇形A08中，ZAOB=90°,半径0A=4.将扇形A0B沿过点8的直线折叠,

点0恰好落在弧AB上点C处，折痕交0A于点D,则图中阴影部分的面积为4TT-

W3

3一,

B.

OD月

【分析】根据题意和图形，可以得到△OBC是等边三角形，从而可以得到NOB。的度数，

然后即可得到的长，从而可以得到△8。。的面积，根据折叠的性质，△BOD的面积

和△BCD的面积一样，然后即可得到阴影部分的面积就是扇形OAB的面积减去△03。

和△BCD的面积.

解：连接。C,

,：OB=BC=CO,

.♦.△OBC是等边三角形，

ZOBD=30a,

•:NBOD=90°,08=04=4,

.*.O£)=OB・tan30°=4X返

33

.../XBOD的面积是：OD・OB34=—^，

-2-=~~23

的面积是‘返，

3

,阴影部分的面积是：9071*42.8^3.873=4TT-

360333

故答案为：4ir-七返.

3

16.直线小y=fcv+2与y轴交于点A,直线八绕点A逆时针旋转45°得到直线自若直线

h与抛物线尸始+3万+2有唯一的公共点，则k=1或,..

【分析】根据直线解析式可得伍/2都经过点（0,2）,分别讨论直线L与y轴重合或与

抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y=kt+2上的点坐标,

进而求解.

解：由y=fcr+2,可得直线，2与抛物线交于点A(0,2),

①直线b与y轴重合满足题意，则直线乙与y轴交点为45°,如图，

.♦.△40B为等腰直角三角形，

.♦.04=08=2,

...点3坐标为(-2,0),

将(-2,0)代入y—kx+2得0=-2k+2,

解得-1.

②设直线，2解析式为y=〃?x+2,

令mx+2=x1+3x+2,

△=(3-MZ)2,

当,〃=3时满足题意.

.,.y=3x+2,

把y=0代入y=3x+2得x=-多

直线b与x轴交点。坐标为(-4，0),即。。=看

Oo

作DEA.AD交直线尸区+2于点E,过点E作E/Ux轴于点F,

\9ZEAD=45°,

：.AD=DEf

VZADO+ZEDF=90a,NADO+ND4O=90°,

JZDAO=ZEDF9

又〈NEFD=NAOD=90°,

：./\EFD^/\DOAt

2

：.FD=AO=2EF=DO=—,

f3

：.OF=FD+AO^—,

3

二点E坐标为（_§，））.

33

将（W，£）代入尸质+2得£=-*+2,

OoOo

解得仁寺

故答案为：1或

三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解下列方程：

⑴/-10x=24；

（2）2.ir+3x-1=0.

【分析】（1）先移项，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x

的一元一次方程，再进一步求解即可；

（2）利用公式法求解即可.

解：⑴-10x=24,

Ax2-10x-24=0,

则(x-12)(x+2)=0,

・，・x-12=0或1+2=0,

解得元|=12,X2=-2；

(2)\*a=2fb=3,c=-1,

AA=32-4X2X(-1)=17>0,

则r=>±Yb2-4ac=-3±T7,

、2^4

--3+/17-3-V17

••A|-------，--------•

44

18.已知关于x的方程/+(，77-3)x-3，*=0.

(1)求证：不论机为何值，该方程总有实数根；

(2)如果该方程有一个根小于1,求〃，的取值范围.

【分析】(1)根据根的判别式△=(w-3)2-4XlX(-3m)—(m+3)2>0,即可

得到结果；

(2)利用因式分解法求得方程(/n-3)x-3m=0的两个根乃=3,X2=~m,根据

题意得到解得，">-1.

【解答】(1)证明：△—(;n-3)2-4XlX(-3m)—m2-6m+9+i2m=m2+6m+9

=(m+3)220,

，方程总有实数根；

(2)解：•；x2+(«J-3)x-3/M=0,

(x-3)(x+〃?)=0,

；.xi=3,X2—-m,

根据题意，<1,

.,.m>-1.

19.如图，一次函数丫="+2的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点，且与反比例函数

y=R(nW0)的图象在第一象限交于点C,若OA=OB,B是线段AC的中点.求反比例

X

函数的解析式.

y

。x

【分析】根据条件可先求得。4=。3=2,再根据中点，可求得C点坐标，然后根据待定

系数法即可求得反比例函数的解析式.

解：作轴于。，

・・•一次函数y=Ax+2的图象与y轴相交于B点,

:.B(0,2),

・・・OB=2,

：.OA=OB=2

・・,B是线段AC的中点，OB//CD,

・・・。3是△AC。的中位线，

：.OA=OD=2tCD=2OB=4f

：.C(2,4),

•••反比例函数y』(n卉0)的图象在第一象限交于点C，

X

.*.n=2X4=8,

...反比例函数的解析式为y=©.

20.如图，ZVIBC中，AB=AC,N54C=80°,小丽将aABC绕点A顺时针旋转a(0°

<a<180°)得到△AOE.

(1)当a=40°时，AQ_LBC；

(2)在旋转过程中，小丽发现当a=50°时，线段BC与QE交于点F,且四边形AEFB

是菱形，请你给予证明.

B

【分析】(1)由AB=AC,/8AC=80°,推出/C=/8=50°,根据AOL8C,推

出/D4C=180°-90°-ZC=90°-50°=40°,即a的值.

(2)先证明AB〃OE,AE//BC,则四边形AEF8是平行四边形，又根据A8=AC=AE,

得出四边形AEFB是菱形.

解：(1)：AB=AC,ZBAC=S0°,

.*.ZC=ZB=50°,

'：AD±BC,

AZ£)AC=180°-90°-ZC=90°-50°=40°,

.,.a=40°,

故答案为：40.

(2)△ABC中，AB=AC,N8AC=80°,且△AOE由aABC旋转得到，

.•./Z)AE=NBAC=80°,ZABC^ZAED=50Q,

•.•NBAO=NCAE=a=50°,ZBAE^ZBAC+ZCAE=130",

AZBAE+ZB=ZBAE+ZE=]300+50°=180°,

：.AB//DE,AE//BC,

四边形AEF8是平行四边形，

y.'：AB=AC=AE,

四边形AEFB是菱形.

21.在学习了《用频率估计概率》后，小东和学习小组的同学设计了一个实验，他们用一个

黑箱子装有红、白两种颜色的球共4只，它们除颜色外，其他都相同.小东将球搅匀后

从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸出白球的频

率，并将多次实验结果画出如下统计图.

白球频率

球的概率是0.75（精确到0.01）；

（2）从该箱子里随机同时摸出两个球.用树状图或列表法求出刚好摸到一个红球和一个

白球的概率.

【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.75,据此可得答案;

（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到

符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案.

解：（1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75,

从箱子中摸一次球，摸到白球的概率为0.75,

故答案为：0.75；

（2）由（1）知，黑箱子白球的个数约为4X0.75=3,红球的个数为4-3=1,

列表如下：

白白白红

白（白，白）（白，白）（红，白）

白（白，白）（白，白）（红，白）

白（白，白）（白，白）（红，白）

红（白，红）（白，红）（白，红）

由表知，共有12种等可能结果，其中摸到一个红球一个白球的有6种结果,

摸到一个红球一个白球的概率为噌=微.

22.如图，将圆心角为120。的扇形AO8绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后，得到

扇形AOb,使得点0,恰在窟上.

（1）求作点0';（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明过程）

(2)连接88',AB',B'O',证明:B'O平分/AB'B.

【分析】（1）连接AB',作线段AB'的垂直平分线，与俞的交点即为所求；

（2）连接O。'，先证△ABB'是等边三角形，得AB'=3B',再利用“SSS”证△AOB'

/△BOB'得NAB'O=ZBB'0,从而得证.

【解答】（1）解：如图所示，点0'即为所求.

（2）证明：如图，连接0。'，由旋转的性质知AO=AO',

又「。。'=0A,

：.OO'=0A,

：./\A00'是等边三角形，

:.NBAB'=/。4。'=60°,

由旋转的性质可知AB=A8',

.**/XABB:是等边三角形，

：.AB'=BB',

在△AO"和△BOB'中，

'OA=OB

<AB'=BB'，

OB'=0B'

A/\AOB'且ABOB'CSSS),

AZAB'O=NBB'O,

：.OB'平分/AB'B.

23.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的

情况下，每件降价1元，则每天可多售5件.

（1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

（2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，

请说明理由.

【分析】（1）设每件应降价x元（OVxWlO且x为整数），则每件盈利（44-x）元，

每天可售出（20+5x）件，利用每天获得的总利润=每件的销售利润X每天的销售量，即

可得出关于尤的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

（2）不可以，设每件应降价y元（0<yW10且y为整数），则每件盈利（44-），）元，

每天可售出（20+5y）件，利用每天获得的总利润=每件的销售利润X每天的销售量，即

可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-96<0,即可得出此方程无实数根，

进而可得出每天不可以获得3000元的利润.

解：（1）设每件应降价x元（OVxWlO且x为整数），则每件盈利（44-x）元，每天

可售出（20+5x）件，

依题意得：（44-x）（20+5%）=1600,

整理得：^-40%+144=0,

解得：汨=4,及=36（不合题意，舍去）.

答：每件应降价4元.

（2）每天不可以获得3000元的利润，理由如下：

设每件应降价y元（0<yW10且y为整数）,则每件盈利（44-y）元，每天可售出（20+5y）

件，

依题意得：（44-y）（20+5y）=3000,

整理得：V-40），+424=0,

,?A=（-40）2-4X1X424=-96<0,

...此方程无实数根，

.•.每天不可以获得3000元的利润.

24.如图1,AB是。0的直径，AB绕点A顺时针旋转得到线段AC,连接BC交。0于点D,

过。作DE±AC于E.

（1）求证：QE是。。的切线；

（2）过。作交。。于点F,直线AC交。。于点G,连接FG,DG,BF.

①如图2,证明：FG//BD；

②当AC旋转到如图3的位置，在B尸上取一点H,使得DH=DF.若BF_LDG,证明:

D,0,，在同一条直线上.

【分析】(1)如图1,连接0。、AD,根据旋转可证得△A8C是等腰三角形，根据直径

所对的圆周角是直角可得出ADLBC,根据三角形中位线性质可得0Q〃4C,进而推出

ODLDE,再运用切线的判定定理即可；

(2)①如图2,连接BG、AD,根据直径所对的圆周角是直角可得出AOLBC,再运用

弦、弧、圆周角的关系即可证得结论；

②如图3,连接运用圆周角定理及三角形内角和定理证明即可证

得结论.

【解答】(1)证明：如图1,连接0£＞、AD,

绕点A顺时针旋转得到线段4C,

：.AB=AC,

.•.△48C是等腰三角形，

是的直径，

：.ZADB=90Q,BPAD±BC,

J.BD^CDB.AO=BO,

...OO是△ABC的中位线，

：.OD//AC,

'：DEVAC,

J.ODLDE,

：.DE是OO的切线；

(2)①证明：如图2,连接BG、AD,

「AB是。0的直径，

：.ZBGA=ZBDA=90°,

:・AD工BC,

*：AB=AC,

:・BD=DC,

：.BD=GD,

•*-BE=GD-

9

：DF_LABf

ABD=BF»

,就=前,

AZ1=Z2,

J.FG//BD；

②证明：如图3,连接O。，

-DFLAB,A8是OO的直径，

・・AE=AF，

AZ3=Z4=Z5,

9：AB=AC,

AZ3=ZC,

AZ5=ZC,

:.FG〃DB,

工筋=命,

・・・NDBF=NBDG,

VBF1DG,

AZDBF=ZBDG=45°,BD=BF*

AZ3=Z4=—Z£>BF=22.5°,

2

.,.Z7=90°-Z4=67.5°,

*：DF=DH,

・・・N6=N7=67.5°,

・・・ZBDH=Z6-NDBF=22.5°,

*：OB=OD,

・・・N3=N8OO=22.5°,

:./BDH=/BDO,

图1

25.已知抛物线尸臼以+0经过A(n2,n),/?(2-w,n),C(2,-1)三点，顶点为

P.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如果△PA8是等边三角形，求△PA8的面积；

(3)若直线乐y=kix-七与抛物线交于。，£两点，直线6：>=%冰-近与抛物线交于

F,G两点，OE的中点