2020-2021学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1.已知集合人={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.当a>l时，在同一坐标系中，函数y=a*与y=logox的图象是（）

3.已知aeR,贝！|"a>l”是—<1"的(

a

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

4.下列函数中，在区间（-1,1）上为减函数的是（）

A.y=------B.y=2xC.y=ln(x+1)D.y=2

l-x

5.若〃>b>0,c<J<0,则一定有（）

A.A>kB.A<kC.—<—D.—>—

cdcddcdc

6.已知函数/（%）是奇函数，且当x>0时，/（x）=?+—,则/（-I）=（）

A.-2B.0C.1D.2

7.已知函数/（九）=--logx，在下列区间中,包含了（X）的零点的区间是（

X9/

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+8)

8.设a=log37,211,c=0.831,则()

A.b〈a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

9.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时,漏斗盛满液体，经过3分

钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,

则H与下落时间f（分）的函数关系表示的图象只可能是（)

10.袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3

个小球.设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）

2329

A.—B.—C.—D.—

55310

二、填空题（共5小题）.

11.命题“存在xeR,使得f+2x+5=O”的否定是.

1

.函数，、的定义域为

12_5,-

y-x+log2klx）

13.某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示,

15.设f（%）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数xi,MCR,使得

y+Yf（X）CY）

f（」_?-）=——i---------L,则称函数/（无）具有性质P,那么下列函数：

22

①f（x）=<XK#°；@f（X）=X2;@f（X）=k2-1|;

,0x=0

具有性质P的函数的个数为.

三、解答题：本大题共5个小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

o

16.已知集合4={才-5<为<言},8={x|x<l或x>2},U=R.

（I）求ACB；

（II）求AC（CuB）.

17.某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图：

（I）求甲在比赛中得分的均值和方差；

（II）从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场

都不超过均值的概率.

078

10579

2I3

18.对于四个正数x,y,z,w,如果xw<yz,那么称（x,y）是（z,w）的"下位序对”.

（I）对于2,3,7,11,试求（2,7）的“下位序对”；

（II）设a,6,c,d均为正数，且（a,b）是（c,4）的“下位序对”，试判断£,—,—

dbb+d

之间的大小关系.

19.已知函数/（无）=log2l尤I.

（I）求函数/（无）的定义域及f（-&）的值；

（II）判断函数/（X）的奇偶性；

（III）判断了（X）在（-8,0）上的单调性，并给予证明.

20.某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（无）

当年产量不足80件时，C（x）=^x2+10x（万元）；当年产量不小于80件

O

时（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生

x

产的产品能全部售完.

（1）写出年利润工（%）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式:

（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.已知集合4={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则ACB中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

解：：集合A={1,2,3,4},2={2,4,6,8）,

：.AHB={2,4},

：.AHB中元素的个数为2.

故选：B.

2.当。＞1时，在同一坐标系中，函数y=/与y=log/的图象是（）

解：时，函数y="与y=loga尤的均为增函数,

故选：B.

3.已知aeR,贝「力＞1”是“工＜1”的（）

a

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

解：aeR,贝ljn"―＜1",

a

“工＜1”=aa＞l或〃＜0"，

a

"°＞1”是“工＜1”的充分非必要条件.

a

故选：A.

4.下列函数中，在区间（-1,1）上为减函数的是（）

A.y=--—B.y=2*C.y=ln(x+1)D.y=2'x

1-x

解：y=~,y=2"和>=历(x+1)在(-1,1)上都为增函数，>=2一"在(-1,1)上

1-x

是减函数.

故选：D.

5.若a>b>0,c<d<0,则一定有(

a-ba/ba、b

A—\——\—D.—>—

-7*1cddcdc

解：-：c>d>Q,

—

又a>b>0,

dc

故选：D.

6.已知函数/(x)是奇函数，且当x>0时，于(x)=/+L，贝=(

)

X

A.-2B.0C.1D.2

解：•・•/(%)是定义在R上的奇函数,

:・f(-x)=-/(x),/(-1)=-/(1),

又当x>0时，f(x)=¥+1■,

X

：.f(1)=仔+1=2,：.f(-1)=-2,

故选：A.

7.已知函数/(无)=--logx.在下列区间中，包含了(尤)的零点的区间是)

X/9

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,OO)

解：函数/(X)=/(X)=--logX，在其定义域上连续,

XZ9

f(4)=—-2<0,

2

/(2)=3-1>0；

故函数了(无)的零点在区间(2,4)上，

故选：C.

8.设a=log37,b=2lA,c=0.831,则()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

1A31

解：l<log37<2,b=2>2,C=0.8<1,

则c<a<b,

故选：B.

9.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分

钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，

则》与下落时间r（分）的函数关系表示的图象只可能是（）

解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，

当时间取点时，漏斗中液面下落的高度不

会达到漏斗高度的费，对比四个选项的图象可得结果.

故选：B.

10.袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3

个小球.设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）

2329

A.—B.—C.—D.—

55310

解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53=10种选法，则既没有黑球也没

有白球只有1种，

.•.每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1-需=4，

故选：D.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.

11.命题“存在无CR,使得，+2X+5=0”的否岸是对任何xeR,都有f+2x+5。。.

解：因为命题“存在xeR,使得f+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称

命题，

可得命题的否定为：对任何xeR,都有尤2+2X+5=0.

故答案为：对任何xeR,都有无2+2x+5W0.

x》0

解：要使原函数有意义，则：，、石；

［l-x>0

...原函数的定义域为［0,1).

故答案为：［0,I).

13.某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示,

由此估计日销售量不低于50件的概率为0.55.

'频率，

W.

0.03.......................

0.015........1.........................'

O3040506070日销辔量/件

解：由频率分布直方图得：

日销售量不低于50件的频率为：

1-(0.015+0.03)X10=0.55.

估计日销售量不低于50件的概率为0.55.

故答案为：0.55.

1-«，x》01

14.设八无)=<，贝丫(八-2)

2X,x<0~~2~

解：：函数无)=<

2x(x<0)

故答案为：

15.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数即，X2ER,使得

”"/"）=-'_1.）+。"）一,则称函数/（无）具有性质尸，那么下列函数：

①f（x）="XK#°；②/⑴=X2;@f（x）

0x=0

具有性质P的函数的个数为2.

'1

解：函数f（x）=•刀xR°，

0x=0

因为函数/（无）为奇函数，可找到关于原点对称的点，

比如X1=1,X2=-1,则有）=0=导=f（i）'（-D,

故选项①具有性质P-.

函数/（无）=尤2,

假设存在两个不等实数为，X26R,使得f（Xl[2）=f（xP；（X2）,

,22

即乂22=乂1_解得石=如与假设矛盾，

（2）2

故不存在，故选项②不具有性质产；

函数无）=|x2-1|,故函数/（X）为偶函数，且/（O）=1,

令/（无）=1尤2=解得X=±M，

则存在X1=JLX2=-V2,使得f（立;&）=f（o）=l=f（&）彳（-&），

故选项③具有性质P.

所以具有性质P的函数的个数为2个.

故答案为：2.

三、解答题：本大题共5个小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知集合4={才-5<XW£},8={尤|X<1或X>2},U=R.

（I）求AA&

（II）求AA（CuB）.

解：（I）•.,集合A={x|-5VxW、},8={x|x<l或无>2},

.\AQB={x\-5VxVI}.

(II),：U=R,5={x|%Vl或x>2},

Cu5={x|lWxW2}.

3

.'.AA(CuB)={x|14W学.

17.某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图：

(I)求甲在比赛中得分的均值和方差；

(II)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场

都不超过均值的概率.

078

10579

213

一1

解：(I)甲在比赛中得分的均值为X*(7+8+10+15+17+19+21+23)=15

O

方差为s2[x[(-8)2+(-7)2+02+22+42+62+82]=32,25,

o

(II)甲得分在20分以下的6场比赛分别为7,8,10,15,17,19.

从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：

(7,8),(7,10),(7,15),(7,17),(7,19),(8,10),(8,15),

(8,17),

(8,19),(10,15),(10,17),(10,19),(15,17),(15,19),(17,

19),共15种，

其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7,8),(7,10),(7,15),(8,10),

(8,15),(10,15),共6种,

所以抽到2场都不超过均值的概率为尸=冬洛.

155

18.对于四个正数x,y,z,w,如果xwVyz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”.

(I)对于2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”；

(II)设。，b,C,d均为正数，且(a,b)是(c,d)的“下位序对”，试判断£,且，生工

dbb+d

之间的大小关系.

解：(I)因为3X7C11X2,

所以(2,7)的“下位序对”是(3,11)；

(II)因为(a,b)是(c,d)的“下位序对”，

所以ad<bc,

因为。，b,c,d均为正数，

a+c_a_bc-ad

b+db(b+d)b'

所以曳，

b+db

同理可证史工<£,

b+dd

综上所述，

bb+dd

19.已知函数/(%)=log2|x|.

(I)求函数/(无)的定义域及f(-&)的值；

(II)判断函数/(X)的奇偶性；

(III)判断了(x)在(-8,0)上的单调性，并给予证明.

解：(I)根据题意，函数/(x)=log2w，则有|x|>0,

解得尤W0,即函数的定义域为{无仇力0},

f(一衣)=1鸣1-&l=log2(-&)=7；;

(II)/(x)=log2|x|,其定义域为{x|xW0},

则/(-%)=log2|-x|=log2|x|=/(x),则/(%)为偶函数；

(III)/(X)在(-8,0)上为减函数，

证明：当XE(-°0,0)时，f(x)=log2(-x),

.-Xi

设为〈冗2<0，则/(X1)-/(%2)=log2(-Xi)-log2(-X2)=log2----,

一、2

-Xi

又由X1VX2VO，则-xi>-%2>0，所以一L>b

-x2

-Xi

所以/(修)-f(.X2)=log2---->0,

"x2

故/(x)在(-8,0)上为减函数.

20.某工厂某种航空产品的年固定成本为2