2022-2023学年黑龙江省黑河市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年黑龙江省黑河市成考专升本

高等数学二自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

］函数八］）=工._3/_91+］在［_2.6］上的最大值点.

已知函数/（x）则lim.!四二图=

2.IAr（）。

A.-3B.0C.1D.3

3.

设义工）=：工3一了,则工=1是/（a）在［-2,2］上的

A.极小值点，但不是最小值点

B.极小值点，也是最小值点

C.极大值点，但不是最大值点

D.极大值点，也是最大值点

设“X）的一个原函数是xlnx,则〃幻的导函数是（

A.I4InxB,——

x

x

函数y='）在区间（一】，1）内（、

A.减少

B.增加

C.不增不减

5.D.有增有减

根据/（幻的导函数/'（幻的图像，判定下列结论正确的是

A.在（7,-1）内，f（x）是单调增加的

B.在（7,0）内，/（x）是单调增加的

C.八-1）为极大值

D.〃-1）为极小值

已知/(Z)=舐+/,则/'(0)=()

7.A.lB.2C.3D.4

下列函数在（-oc,+oc）内单调增加的是（）

8.A.>=xB.y--jrC.y=xlD.y=sini

曲线、=2+包一4寸的拐点为0

A.(4,2)B.x=4C.y=2D.(2,4)

10.

(与？I：=ain(工J).则必等于().

fix'

.rJB.一y*cos(xyz)C.y"sin(xy:)I).-**-in.

11.设〃,）=号，则。'⑴蚩等于（）.

cosX

A.丁

sinx

B.—

COSX八

C.丁+c

-sinx.广

D.-T-+c

设/(x)=xlnx,则/⑺(x)(”22)=

w-l

A.A.

(一D"〃!

B.x"

(T)T(〃-2)!

C.xn~2

(T)"-2(〃—2)!

已知函数/（x）=，2：+3x<0

,则lim/(x)+lim/(x)=

13.xx>0-I7

A.A.9B.8C.7D.6

设函数g・/（T.y）在点51・%）存在一阶偏导数,则r-r=（）

/Gro.Ar)/Cro)/Uu十Ar.y“)一/(%y))

AB.lim

M△rArT0△r

/(彳。•加+Ar)-/Ug>o)/(10+Ar・“+Ay)-/(is贝)

Zkr典

已知f(x)的一个原函数为/e",则J/(2x)dx=

de'c

A.A.

C.

—e2x+C

D.4

16.

b

若x=-l和x=2都是函数/(x)=(a+x)e"的极值点，则a,b分别为

A.A.2,-1B.2,1C.-2,-lD.-2,l

广义积分f~_Jdx=

17.J。l()0

K

A.8

n

B5

C.2

D.«

(①在处连续,则等于()

设函数/(j)-T*x-0a

(x-01

19.已知书/《"《,则/中=()。

A.-L

A.c

B.-1

C.2

D.-4

20.设函数“/(人"=八/且/(")二阶可导，则忠=()

A.4?"(u)B.4xf?"(u)C.4y"(u)D.4xy?"(u)

当XTl时，下列变量中不是无穷小量的是

A.x2-1B.sin(x2-l)C.InxD.L

21.

设函数〃x)=(公一4"2,在后2处连续，则a=

22.I。x=2()o

B.M

4&

D.242

设函数/⑺在工=1处可导'且妈包士誓二3=另则f'⑴=(

)

A.1/2

B.1/4

C.-1/4

23.D.-1/2

jo/ln(l+2/)d/

lim-------：----------=

24.3厂()O

A.3B.2C.lD.2/3

设「sin2j-d.r.Q—「xdu*.R=4-「sin2.rd.r则

JoJd2Jd(

A.R=Q=。

B.P=R¥-Q

25D.P-Q^R

下列极限正确的是()

A.,则誓=1B.阳罂=1

26.

27.已知?(x)在区间(-8,+◎内为单调减函数，且?(x)>?(l),则x的取值

范围是().

A.(-oo,-1)B.(-co,1)C.(l,+oo)D.(-oo,+00)

28.设i=/+sin人则襦=()A.2x+cosyB.-sinyC.2D.O

29.

设/(x)=xeW-D,则在x=1处的法线方程是

A.x-3y-4=0B.x+3y+4=0C.x+3>-4=0D.x-3y+4=0

30函数/(x)在［a,b］上连续是/(x)在该区间上可积的

A.A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要

条件D.既不是充分条件，也不是必要条件

二、填空题(30题)

31.设函数y=x3,y,=

32」

33.

设1=「dyj：八N.y)业.交换积分次序，则I«

AJMB.Jchj

cj4X(jr・y)dy

34.

极限lim（二J产的值是

*T-1

A.ca-C.e:D.0

e

35.

不定积分jx，2/dz=.

极限啊近皿

36.

..e+e-2

37.㈣-?-=

(〃+D(万+2)(〃+3)

39.

设/(N)=sin(lrLr)+ln(siiu:),则f(x)=.

设函数y=V,则y=

41.

设区域D为/+y?&RL则"+y<hd>

A.jKctrdy=nK1B.Jddjrdr=KR3

Cj：",/dr=~nR'D.『由『用”=2x*

.设函数V-sinir,则v*=

42.

43.

设y=/(〃-*),且/可导，则y'=.

44.

设ox=exp{——}，则”=・

yax-------

45.

当々时,r兴收敛.

46.

曲线y=2x2+3x-26上点M处的切线斜率是15,则点M的坐标是

dx

».rVx(1+X)

2

48设函数/(jj=lnz,则(/叱也=

..In(l-Fx)

lim-------

49.1sin2x

50.

已知「3—^—dx=1,贝ij4=

J7]+x

51•般〃外的广1阶导数为J,则/⑺=

设/仔父）=:1（工羊7），则八彳）=

53.

sinfdt

极限lim与一

I[tdt

54.

设/（X）=e，.则j匕券必

2

sin—

lim-----Y.

I—g.4

sin一

55.x

56.

设/(x)=arctanx1,则lim~幺々=________________

i2x-2

设/(x)ftx-2处可号.且，(2)=l・.lim/(2+2A112

—Qn

57.A.1B.2C.3D.4

59.

若函数y=/(力在点工.处不可导.则函数y=/G)在点工。处

A.无定.义B.不连续C.没有切歧D.不可做

设fix)=x2,g(x)=e*,则?(g(f(x)))=____________.

60.此

三、计算题(30题)

61一可:』此

62设函数，(])=1(1—+，求/(工)。

求极限lim/1+—\er.

63.-，，，

64计算定制分J>eLLr.

计算定枳分/co〈Hsin_rdH.

65.

计算二次积分『dy『等cLr.

66.JcJ，J

求不定积分hn(r+/TTTDir.

&rdy,其中。为圜环区域-44.

68.

已知函数八幻处处连续,且满足方程

/（，）也=—+工’+xsin2x+cos2x.

求，（孙

69.

求极限hm当生立

70.

71.求解微分方程32力+“-12）必二°满足条件y（e）=1的特解，

计算二■根分］＜Lrd,.其中D是由;ft线*=2.,■上与双曲线n1所圉成

72,的区域.

73.

计算二重积分/=q/dxdy,其中D为由曲线》=一X,与、=JT-］所BB成的区域.

74.求二元函数f（x,y）=x2+y2+xy在条件x+2y=4下的极值.

求定积分［ln（l+G）（h.

75.

76若曲线由方程h+e”=4-2e"A定，求此曲线在工=1处的切线方程.

设函数z=Gr'+y)e,求dz与嘉•

78.设y=y(x)由方程e，=Jtv所确定，求¥

什真『'drdy.K中。是由>=工Wy*-X所图成的区域.

79.4y

设3介/(0,其中/⑷可导•求工靠+项

81.

求］!(,卜y)匕.其中D为y=T.y=i+a,y=&和y=3«(a>0)为边的平行四

边形.

84.①求曲线y=x2(x>0),y=l与x=0所围成的平面图形的面积S：

②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

QU已知函数¥=arcsinxJ二^叵,求中|•

85.Y1+sinj*orI

八十3

设的数Hx)-J求J"2)<Lr.

86.J>0.

87.求强分方程=1一/的通解.

e'-sinj-1

求极限lim

88.1-，1一工’

设：ne"E"，"，'.求去

89.M

求极限hmU”竺.

90.-1

四、综合题(10题)

91.

设函数/(X)在闭区间［0」［上连续,在开区间(0,】)内可导且/(0)=/(I)=0.

/(y)=1,证明:存在£WMD使/<£)=1.

Q,证明，当,>°时♦有

2(jr—1)

93if明：当了>i时】〔—「L

证明：方程4工一1=「在(0,1)内仅有一个根.

94JoI+f

（1一1）"的凹凸区间及拐点・

95•求曲

平面图形由抛物线丁=2H.与该曲线在点处的法线所围成,试求，

（1）该平面图形的面积；

96.（2）该平面图形绕工轴旋转所成的旋转体的体积.

Q求由曲线），:r,4号y=3/所Bl成的平面图形的面积.

设0&数/（x）-x2arctanj-«

（I）求函数八八的单网区间和极值，

98.（2）求曲线y=/Q）的凹凸区向和拐点.

证明：方程「rJd，=J在（0.1）内恰有一实根.

99'

100.

过曲线.VL上〃了＞0）上一点M（1.1）作切线/.平面图形D由曲线.、，=".切线/及

J轴国成.

求：（1）平面图形D的面积：

（2）平面图形D烧1轴旋转一周所形成的旋转体的体枳.

五、解答题（10题）

101.（本题满分8分）

计HIj{lrtrtLr.

102.设y=lnx-x2,求dy。

103.

建一面积为A的网球场（如下图所示），四周要留下通道，南、

北两侧各留出m东、西两侧各留出b.

问：为使征用的土地最少，则网球场地的长和宽各为多少?

104.

计算

已知函数/（x）9?-成+CX在区间（-8,+8）内是奇函数，且当

A1时，"X）有极小值一，求另一个极值及此曲线的拐点.

106.设函数y=*3CO8工，求dy.

107设求I/•

108.（本题濡分8分）设v=ef+Q7.求y'，

证明:当z>0时,l+；rln（z+屈7）>m.

109.

求由方程尸+ylnz=cos2r,所确定的隐函数y=/(力的导数V.

110.

六、单选题(0题)

111.

设函数人工)在区间(a,6)内满足/(x)>0且，(幻V0,则函数在此区间内是

A.单调减少且凹的B.单调减少且凸的

C单调增加且凹的D.单调增加且凸的

参考答案

l.x=-2

2.D

lim/a+9二/⑴=/3=3再=3.

AITOJ11-1

3.B

4.C

答应选C.

提示根据原函数的定义及导函数的概念，则有

/(x)-(xln幻，=上工+1,则/，(幻=/，

所以选C.

5.B

6.D

［解析］x轴上方的广(x)>0,x轴下方的/8)<0,即当x<-l时，〃(x)<0：当

Q-1时"(幻>0,根据极值的第一充分条件，可知八-1)为极小值，所以选D.

7.D

8.A

9.A

y=2+(J-4)T=Y(X-4)"3,y"=-—4)"，画教-7=4处连续，当了＜4时,

U3

y"＞。档］＞4时,,＜。淅以点(4,2)为曲线的秘点.

10.D

答应选I).

提示：时X求偏导时应将'视为傥.数.则有

--=cos(xv*),y*=—＞，，in(I)')，,'=-),sin(xy).

Ax77dx3

.乂选I).

ll.C【解析】根据不定积分的性质，⑺&=/(x)+C.故选C.

12.D

因为/'(x)=】nx+l,/"(x)=L,/"'(x)=--V»

XX

严(外=坐N坐，•••"a)=⑺"飞—2)!(心2)

xxn1

13.A

limf(x)4-lim/(x)=lim(2x+3)+limF=1+8=9

JT-421-*-!JTT2

14.B

15.B

根据原函数的定义可得J/(x)dx=x2eJ+C

所以J/(2x)dx=-J/(2x)d(2x)=-(2x)ze2*+C=2x2e2x+C

22

16.B

——b~无？一bx—ub

因为广⑴二铲+(a+幻眇(-与二铲无":卫

xx

由于x=-l,x=2是函数/(%)的极值点。

.(l+b-ab=O

所eri以，

4一3—而二0

解得a=2,b=1

17.B

P--^-5-dx=「〜j-deM=(arctancx)|>-=-.

Jol+e2xJol+(e4)2lo244

18.B

19.C

根据导数的定义式可知

f(2+2Ax)

20.D此题暂无解析

［解析］A.x2-l->0(XTl)

B.sin(x2-l)-*O(XTl)

c.Inx->0(XTl)

D.e<_,->1(XTl)

21.D

22.B

Vx—>/2=lim--------------x2=_J_

lim

因为2

XT2X-4I2(X_2)(X+2)(JX+J2)8V2

23.B

24.D

J；ln(l+2i)出洛必达法则xin(l+2x)等阶代换「2x22

ioxx-»o3x2-03*23

25.B

26.D

27.B利用单调减函数的定义可知：当？(x)>?(l)时，必有x<l.

28.D此题暂无解析

29.C解析

因为八x)=(l+2x)e2(，f,八1)=3,则法线方程的斜率左=」，法

3

线方程为y=,即x+3y-4=0.故选C.

30.B

根据定积分的定义和性质，函数/(x)在［a,句上连续，则/(x)在［a,b］

上可积；反之，则不一定成立.

31.y,=lim(h—»0)((x+h)3-

x3)/h=lim(h^0)(3x2h+3xh2+h3)/h=lim(h—>0)(3x2+3xh+h2)=3x2；

y,=3x2

32.

r«*>

­...'：：'上1.1：

33.B

34.C

35.

36.

37.应填1.

“o„

用洛必达法则求极限.请考生注意：含有指数函数的0型不定式极

限，建议考生用洛必达法则求解，不容易出错！

格必达法H..e'-e-洛必达法蚓..e'+e',

lim------=ri=||"im-r-----=1.

堂’•一•2x»-o2

38.

39.

—xcosdnx)H-cotr

-xcosClnx)H-cotx

40.

20/

41.C

42.-4sin2x

43.

-a-x\na-f[a~x)

-a-x\na-fia-"1)

y'=八尸XU

=fXa~x)\na-a~z(-xY

解析：=-Llnaf<a-x)

44.

—jr(z+>)

45.>1

(3,1)

[解析)因为y'=4x+3=15

解得x=3又/3)=2x32+3x3-26=1

女故点M的坐标是(3,1)

4o.

47.7t/2

48.r

49.1/2

50.1/nl/n解析

由于匚含.=4仁

------7dx+白⑺

l+x2J。

IoTt九、

=4(arctanx+arcC)=啊+/1

弘a1

故A=—

n

rJ-+C

InJT

52.

1

(2一上下

53.1

54.C

2

sin一1

limlim一—21

一r

Min一•-0sm4u4~2,

55.1/2

56.4/174/17解析

/(工―

函数〃x)在x0点的导数定义为/'(%)=lim

XT%X7。

按上述导数定义，该题是确定函数/(x)=arctan必在点*=2处的导数广@).

2x24

因为八所小g'=三所以/'(2)

1+2417

57.C

58.0

因为X3+3X是奇函数。

59.D

2xe*

［解析］因为g(/(x))=ex2

所以?(g(/(x)))=2xe/

dx

用换元积分法.令/=tan/•则

sec2/d/

ftan/•sec/

esc/•cotzdr

用换元积分法.令/=tan/.则

-sec2/dz

ftan/•sec/

esc/•cotzdr

3_3j2-2^

等式两边从o到1枳分得

|/(x)dx=jx(1-x)*dr+y|f(j-)dx•

/(j)dx=2jr(l-

?(1-f)dr=—

故八幻=—_r)

)/・

等式两边从0到1积分得

1/(x)dx=Jx(1—J,)'dx+~J/(x)dx.

即=2［j(!-j)sir

■—“(1―

J«41

故fG)=工八一力；+&

i«•lu<—>.»***r

lim（1+；）erhme

1lun-

—cT

令/——,则原式=e—

63.X

«•libIi-r>.»*»rlintj.L»<1-」•，•

e=hmcc'M

1lim—

令f=一,则原式=e•<11

X

xe：Jdx工y|/de"

T.,w卜卜叼

=#・贝-犷门

1el-y（eJ-1）

64.

jrc"dx=y|ide"

7[…叫一卜叼

=知・凹：-我门

=7[e，~l<e，-1>]

V（e*+1）.

4

设〃=COST,则du=-sin_rcLrt当工=0时〃=1,当时，

u'

zu­••原式usdu

65.TT

设u=COST,则du=-sinj（Lrt当z=0时v=Is当工=]■时,u=0

5u'X

：•原式=一udwTT

应交换积分次序.

原积分=jdi1券m<iy=|*cosrdx=sinj

66.2.

应交换积分次序.

1

原积分=j'业|=|'cosrdx=sinj=—

2,

67.

Jln(x4-+jrDdr=xln(x4-，1+工，)—J.rd(ln(x+■/1+j-2))

=xln(x++♦)—[x»--------------/].\dr

=xln(x-F，1+jr?)-f.”_<Lr

Jy/lTV

=xln(j++Jr?)—j(】+/)-Td(1+J)

=xln(x++刀)—+C.

Jln(x+Jl+jrDcLr=xln(x4-，1+工，)—Jxd(In(x4-，1+M))

=xln(x+，1+，)—[x»------1_/]-I'广'、\dr

Jz+v/TRZl

J

=xln(x++12)—fAJT

J-1+♦

=xln(x+，1+MJ(1+J1)-Td(l4-x*)

=xln(x+，1+f+1?+C.

68.

积分区域D如图所示.D的边界/+/=1、/+V

=4用极坐标表示分别为r=l.r=2,故积分区域D在极坐标

系下为

{(r,0)|O&G—42}.

故

1卜(1x心=jd^J/cos:小dr

p

=|cos26dqirJdr

cos2OdO

=2cos2Odd

oJo

制(1+cos2，)d，

=a+*n26)1=字.

82Io4

积分区域D如图所示的边界=i.^+y

=4用极坐标表示分别为「1，/2,故积分区域D在极坐标

系下为

{(r>0)|0&6&2冗，14r42},

故

「2<lrdy=jd'jr2cos2^dr

I)

cosr0dO\r*dr

2

cos2Odd

cos2Odd

4Jo

8J.2cos2夕由

(1+cos20)d0

8Jo

2

=^(6+Jsin2。)«=15K

oLo-丁・

方程两边关于上求导•得

/(x)=2*+sin2x+«r•cos2x•2+—sin2x)•2

=2*+21COS2JT.

「《工、=2+2cos2工+2”•《—2sin2幻

=2(1+co»2x)-4xsin2x.

69所以(手)=2(1+COS-y)-4Xy-XSin-y=2JT.

方程两边关于上求导,得

/(x)u2*+sin2r+x•cos2x•2+高(—sin2x)•2

=2*+2XCOS2JT,

八JT>=2+2cos2ar+2”•《一2sin2外

=2(1+co»2x)-4xsin2x.

所以/(»=2(1+cos1)—4X-T-Xsin=2一4.

44L

「ln(l+2x)v1+2]

lim■........=hm-----：-------------

iz-3*-1*__x(_3)

26-31

4-31____4

70.3(1T2X>=—?

将微分方程改写为孚+4》=L

dxjrlnjrx

这是一阶线性微分方程,我们用公式法求解.

y=己一）七&[J}J±"cLr+C

=土（1口包+。）

将y（e）=1代人,解得C=}.所以特解为

歹T（后+亡卜

将微分方程改写为半+--»=L

dxjrlnj"x

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

y=e~J七祈[J§J比"d*+C

=亡（1口"+。）

T"+高

将y（e）=1代人,解得C=/.所以特解为

7（,nj+hb）-

1&工42,

先沿3方向积分•区域D可表示成:，1力则

7

J£drdy=「&工

=f

=/•1/+!•工-，1「=红

(6十121儿64,

72.

J《工42,

先沿y方向积分,区域D可表示成/1,则

工_,,办公

27

原式，=/同:上

+1)dr

If1

8J(2-ZJC)dr

「4—组A(4—A)=Z,旦=i

a8383

73.3

原式，=J同二公

=亮J(1—x2—x2+1)dr

3(2—2/也

8

8]

=J-T4-—(4—A)=2L

8838

74.解设F((x,y,X)=f(x,y)+Z(x+2y-4)=x2+y2+xy+k(x+2y-4),

zx+y+A=0,

①

令<—=2y+x+2A=0,②

—=x42y-4=0,③

由①与②消去入,得x=0,代人③得y=2,所以/(0.2)=4为极值.

J!n(l+-/x)djr=xln(l4-5/T)|-

=In2-1j■-

2Jo1+/F

由于IB系/=J：出市(令…向

1,7+告)市

=[彳»-，+In|1+/I]|

u-J+卜2.

故|ln<1+iZr)dr=In2+4■—In2=

75.J©LL

fln(14-\/x)d.r=xln(1+y/x)I—《j-

J。I。2Jo]+石

(1f*y[xj

=In9Z--rrI----^ckr

2J»1+G

由于7£普/=£后山(令…向

市

=弓•-/+InI1+zII|

=~-y+ln2.

c»

故jln(14->/jr)cLr=In2+-y—In2=y.

76.

两边对i求导•得l+2e”•y--2e"•（》+»'）•于是

注意到节1=1时,有l+广=l-2e、.可求得y=0.即曲线了=I处的切线斜率为।

k=-5.切线方程为小=-4（上一1八即工+4，-1=0.

44

2k'+1

rI+2e”•

两边对求导.得y=-2e"••于是炉=21+2xe0，

注意到当』=1Bj.有1+产=4-2e',可求得y=0,即曲线工=I处的切线斜率为i

.切线方程为：y=-4（上一D,即工+4、一1=0.

4

77.

,:嘉=2_re—/)e…士^21•「为=⑵+y)e

_L_1i

dz2ye-2-(x2+y1)e[+g•(―)=(2>-.r)e,Tt,''^,

dy人十/JT

Adz=e­»f[(2x+y)(Lr4-(2y-x)djy],

蠹=e7—(2—77Z-<i)=三洋产一

••dz

*a?

dz2-(j-2+y1b一2呼(2»—-吟，

dyye

dz=ei吟[(21r+y)dr+(2y-H)d<],

--=e皿吟_(2x+y)e

dj-dy二+y

78.解法1等式两边对x求导，得

eyy'=y+xy\

解得

y'=-h-

p-r

解法2等式两边求微分,得

d(/)=d(xy),

e'dy=ydx+xdy,

解得虬上.

dxNT

,要1rdy=］：管dy^cLr

=f-/My

Joy

=Jcosydy-Jycosydy

二siny|-jyd(siny)

=sinl-sinl-cosyI=

1-cosl.

79.

,要LdyJ管叱dx

=f-y1)d>

J。y

=Jcosydy-Jycomydy

—Jyd(sin>)

=1-cosl.

z=«ry/(上)■令u=卫•之=xyf(u).

空u”(“)+u)空

OX"ox

=yf(u)xyff(u)•(一/)=y/(ir)—亍/"(“)•

乎=j/(K)+*3/’(“)盥

dydy

=//(“)+工>/'(〃)•y=*/(“)+

因此上翌+3除.xyf(u)—(w)+xyftu)

=2xyflu)=2*yf(j).

80.

z=«ry/(X)•令u=

李u+xyf,iu)学

OJTdx

=”《"》+jry/'(M)・(一3)二y/(u)-

生=xf(M)+Q/'(“)熟

dydy

=j/(14)+«ry/，(“〉•--=x/(«)+3/(14).

因此J翌=xyf(u)-y/^(M)+xyf(u)y2f(u)

o-Toy

=2xyflu)=2"r”(2).

首先画出积分区域D.把它看做y型.则

jj(xz+y2)dzr=Jdyj(x2-f-yz)<Lr

+_y'z)dy=14/.

81.J•oy-«

首先画出积分区域D.把它看做y型.则

jj(xz4-yz)dzr=Jd>J(x2+y2)dx

=j+/x)

原式二物之鸟守2