2023年江西省宜春市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年江西省宜春市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.从6位同学中任意选出4位参加公益活动，不同的选法共有

A.30种B.15种C10种D.6种

（10）设ae（o.yj.co*a»y.M»•«»2a■

（A）^（B）§（D）§

3.

(2)函数y=5*±I(-x的反函数为

(A)y三bg,(1一打/力<1)(B)y=54*1,(-*<x<^<»)

(C)y»l>g5(*1)J>>1)(D；y=5^+1,(-*+

4.若,/xAcmJ.lh的取值抵用是

儿|xl2Jhr-:w<%<2iir♦:wZ|

B.|*I2AV♦:<x<2i-wZ|

C.11lAir-y-<s<4ir-►eZ1:

44

4a

5.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数数字和两个奇数数

字组成一个无重复数字的三位数，总共有。

A.9个B.24个C.36个D.54个

6.设函数人工十2）=2'T_5,则f（4）=

A.-5B.-4C.3D.1

已知Ial=-5原则a与b的夹角＞等于（）

（A）年（B）竽

（C）竽（D）甘

7.46

8.函数Y=f(x)的图像与函数Y=2x的图像关于直线Y=x对称，则f(x)=

()

A.A.2xB.log2X(X>0)C.2XD.lg(2x)(X>0)

9.将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书

恰好在两端的概率为（）o

A・4B•吉

C—

21D-n

10.若函数y=f(l)的定义域是I—1,1),那么f(2x-l)的定义域是()

A.[0,l)B.[-3,l)C.[-l,l)D,[-l,0)

11.8名选手在有8条跑道的运动场进行百米赛跑，其中有2名中国选

手.按随机抽签方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道的概

率为0

A.l/2B.l/4C.l/8D.1/16

12只如向・(2.-3.1),*-(2,0.3).c.(0.04).­(>♦<)=

A.8B.9

D.质

函数y=｛动的图像与函数y=2'的图像关于直线y=工对称，则/b)=()

(A)2-(B)lofcx(x>0)

13.(2(D)lg(2z)(x>0)

14.已知anp=a,b_L0在a内的射影是b\那么b，和a的关系是()

A.b7/aB.b，_LaC.b，与a是异面直线D.b，与a相交成锐角

15.

sinl50cosl50=()

A.14

I

B.

,A

C.4

D.

16.设sina=l/2,a为第二象限角，则cosa=(

A.A.-V3/2B.«2/2C.l/2D.也/2

17.以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的方程为()o

A.(x-l)z4-/=1B.z?+(y-=2

C.，+(y-1尸=4D.x2+(j-l)2=16

18.

第14题已知圆的方程为X2+y2+2x-8x+8=0,过P(2,0)作该圆的切线，则

切线方程为()

A.7x+24y-14=0或y=2

B.7x+24y-14=0或x=2

C.7x+24y+14=0或x=2

D.7x-24y-14=0或x=2

19已知sina=卷,cos产一H♦其中a.耸住.，,则COS(L①的值为

A.-63/65B.63/65C.-33/65D.33/65

20.

x=1+rcos。，

(15)圆(r>0,6为参数)与直线一”0相切，则”

j=一1+rsin。

(A)&(B)A

(C)2(D)4

21.从1,2,3,4,5……9中任取两个数，使它们的和为奇数，则不同

的取法共有

A.20B.26C.36D.60

■■(\

A.A.lB.-1C.252D.-252

23.下列函数()是非奇非偶函数()

A.f(x)=x

B.f(x)=x2-2|x|-l

C.f(x)=2|x|

D.f(x)=2x

24.在的△血中.巳知C=90°方=751=4.U5等于

卜.R.nB、显.盘

C.2&.2D.2J5-2

25.函数为A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非

奇非偶函数

26.某同学每次投篮投中的概率为2/5.该同学投篮2次，只投中1次的

概率为()o

儿HB.言

C.条D.f

27.过点P(2,3)且在两条坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=5B.3x-2y=0C.2x-3y=0或x+y=5D.x+y=5或3x-2y=0

28］为虚数单位，则复数；一：、胃的虚部为()

二

A.A.!,i

互

B.

王

C.Ji

DJ

29.函数：y=log2(x+2)的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函

数为0。

A.y=log2(x+1)B.y=log2(x+3)C.y=log2(x+2)-lD.y=log2(x+2)+l

30.

(12〃为正方体的一条棱所在的直线，则该正方体各条梭所在的直线中，与I异面的共有

(A)2条(B)3条

(C)4条(D)5条

二、填空题(20题)

31.已知ij,k为单位向量且互相垂直响量a=i+j,b=-i+j-k,则axb=

32.圆心在y轴上，且与直线x+y-3=0及x-y-l=0都相切的圆的方程为

33.(17)函敷y•的导致y'・___________.

34.已知直线3x+4y-5=0,x2+y2的最小值是.

35.

36.已知球的球面积为16n,则此球的体积为

37.已知随机应量，的分布列是:

则喏=

38:数(i+i'+i'Xl-i)的实部为

39.已知直线3x+4y-5=0,/上9的最小值是.

40E如"“，1…2.G，)I…

已知时机变ffltg的分布列是

-1012

£

P

3464

41产

已知tana-cota=1，那么tan2a+cot2a=.tan'a-cot1a=

42.

43.检长为a的正方体ABCD-A'B'e力中,异面直线BC/与DC的距离为_

设正三角形的一个顶点在原点，关于“轴对称，另外两个顶点在抛物线丁=2厚

44.上.则此三角形的边长为_____.

45.各棱长都为2的正四棱锥的体积为

46.不等式(2x+l)/(L2x)的解集为.

47.设某射击手在一次射击中得分的分布列表如下，那么自的期望值等

£123

P0.40.10.5

于

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下,(单位:克)

76908486818786828583

则样本方差等于.

49.向量a=(4,3)与b=(x,-12)互相垂直，贝IJx=.

(18)从T袋装食品中抽取5袋分别麻直.结果(单位如下：

98.6.100.1.101.4,99.5,102.2,

决样本的方差为(/)(精•到0.।/).

50.

三、简答题(10题)

(23)(本小题满分12分)

设函数/(x)=『-2?+3.

(I)求曲线y=/-2/+3在点(2,11)处的切线方程;

p(D)求函数八工)的单调区间.

52.(本小题满分12分)

巳知点4(孙，泉)在曲线y=-T±

(I)求内的值；

(2)求该曲线在点,4处的切线方程.

53.(本小题满分12分)

椭圆2x2+y2=98内有一点A(-5,0),在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

54.

(本小题满分12分)

已知数列中=2.a..|=ya..

(I)求数列Ia.I的通项公式；

(II)若数列山的前“项的和S.4,求”的值•

55.

(本小题满分12分)

已知参数方程

x-/(e'+e")co»d,

y=-y(e*-e-,)sinft

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若伙"竽#eN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点♦

56.

(本小题满分12分)

△ABC中,已知a1+c2-b1=ac,SLlog*-+lo&sinC=-I,面积为6cm'.求它二

出的长和三个角的度数.

57.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

58.（本小题满分12分）

设数列满足％=2,<»门］=3%-2（n为正响数）.

（1）求竽_，；

（2）求数列ia」的通项•

59.

（24）（本小题满分12分）

在△48C中,4=45。,8=60。,48=2,求4加。的面积.（精确到0.01）

60.

（本小题满分13分）

已知08的方程为f+/+ax+2y+J=0,一定点为4（1,2）.要使其过会点做1,2）

作圆的切线有两条.求a的取值范闱.

四、解答题(10题)

61.

已知等比数列的各项都是正数必=2.前3项和为14.

(1)求《呢》的通项公式；

(II)设儿=1。心明.求数列也)的前20项和.

已知等比数列用」的各项都是正数，,=2,前3项和为14.

(1)求I。」的通项公式；

(2)设6.=lofc4,求数列也｝的前20项的和.

63.

已知等差数列匕.)中=9.。3+a.=0,

(I)求数列的通项公式：

(II)当n为何值时，数列＜/｝的前〃项和S.取得地大值，并求出该最大值.

64.在边长为a的正方形中作一矩形，使矩形的顶点分别在正方形的四

条边上，而它的边与正方形的对角线平行，问如何作法才能使这个矩

形的面积最大？

65.已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，长轴长为8,焦距

为2万.

(I)求E的标准方程；

(II)若以O为圆心的圆与E交于四点，且这四点为一个正方形的四个

顶点，求该圆的半径.

66.在AABC中，A=30°,AB=3,BC=1.

(I)求C；

(11)求^41^：的面积.

已知函数〃x)=(x+a)e'+；x:且/'(0)=0.

(1)求a；

iID求/(x)的单调区间，并说明它在各区间的单调性：

，一(10)证明对(E.€UcR,都有

67.

68.从0,2,4,6,中取出3个数字，从1,3,5,7中取出两个数字，共能组成

多少个没有重复的数字且大于65000的五位数？

69.如右图所示，已知四棱锥P—ABCD,它的底面是边长为a的菱

形，且NABC=120。，又PC上平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.

⑴求证：平面EBD上平面ABCD；

⑵求点E到平面PBC的距离；

(3)求二面角A-BE-D的正切值.

70.

(本小题满分12分)

在AABC中，A=30°,AB=2,BC=A。求：

(l)sinC;

(2)AC

五、单选题(2题)

已知有两点4(7,-4),8(・5,2),则线段48的垂直平分线的方程为()

(A)2x--3=0(B)2x-y+3=0

71.(C)2x+y-3=0(D)2«+y+3=0

72.过点P(2-3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是

A.x+y+l=O或3x+2y=0

B.x-y-1或3x+2y=0

C.x+y-1或3x+2y=0

D.x-y+1或3x+2y=0

六、单选题(1题)

73.已知

i3也成等差数列，且仇也为方程2工-31+1=0的两个根，则仇+3

为方程的两个根则b2+b3的值为

A.l/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

参考答案

LB依题意，不同的选法种数为

C：=C：=答=15.

考生要牢记排列组合的基本公式及计算方法.

【解题指要】本题主要考查排列组合的相关知识.

2.D

3.C

4.D

T）IBS1*11知，0rm2i<O.BFUUw♦学<2«<2hr♦AH得

in♦-j-w.4*：1.

5.D

从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一【考点指要】本题考查排

列、组合的概念，要求考生会用排列组合的数学公式，会解排列、组

合的简单应用题.个儡数数字“c种可能;选出两个奇数数字行

c：种情况,由一个偶数数字和两个奇数数字组成

无重复数字的三位数.有A和情况.这是分三个

步骤完成的•故应用分步计算原理,把各步所得结

果乘起来,即共有C•A；=3X3X6=54个

三位数.

6.B

方法一是利用凑配法，就是将函数的解析式写成关于（x+2）的函数式

方法二是常用的换元法，然后求函数值

方法一：:/(h+2)=2"-2—5=2<，+2>-4—5

A/(O=2,-4-5,

则/(4)=24-4-5=2°—5=-4.

方法二：令1+2=人则x=t—2,

f4

y(z)=2*-2-2-5=2--5,

/(4)=24-4-5=2O-5=-4.

7.D

8.B

9.C

该小题主要考查的知识点为随机事件的概率.【考试指导】

2本数学书恰好在两娓的概率为

E,R=5X4X3X2X1X2X1_1

P；7X6X5X4X3X2X1=2\'

10.A由已知，得-£2x-l<1,0<2x<2,故求定义域为Ogx<1.

11.B

B【解析】总样本为A：种.2名中国选手相邻

为A；A：种,所以所求概率为？=笑=}.

12.B

B・新:••(>*2»9,

13.B

14.Banp=a,b±p,Vb±a,又Ta包含于a,•••由三垂线定理的逆

定理知，b在a内的射影b\La

15.A

16.A

17.C

该小题主要考查的知识点为圆的方程.【考试指导】

由题意如，R=-J0~1-3|

，G/5"一+(一])

2.则园的方程为工+(y-])2=4.

18.B

19.B

cos之一•所以cosQ--j-.sin$=高刻

4

cosQ-fJ-cosa•cos§+sina•sin6二—X

【解析】因为“W(：.x).且sma=^.(一音)+卷、,=爵+羔嚏.

本题主要考查各象限内的角的三角函数值的符号、同角三角函数间的

关系、两角和与两角差的三角函数公式，考查考生的运算能力

20.A

21.A

&鳏折；如黑.若和为奇依，则只值取1%为今故，另4数为倜我刻不奸的取族为=20.

22.D

7>+1=&•Gr1严一•(一］)"=(-IK•CJi・令20—3尸=5,得r=5,

所以TL《一»•6•工'=一252?.(答案为》)

23.D：A,f(-x)=-x=-f(x)为奇函数.B,f(-x)=(-x)2-2卜x|-l=f(x)为偶函数.C,

f(-x)=2卜刘=2闵=3)为偶函数.D,f(-x)=2-¥-f(x)#f(x)为非奇非偶函数.

24.A

AI•杭：ftE纥定局，》|知二^„•一4«»75».«

auW「MH753

bs44«(4Sk+»*)=4(：♦、：)♦低

25.A

AH析油/(-z),k(+17)=k乜(，),--(♦】♦X)—/[«),

q04I♦皂

是奇函数.

26.A

该小题主要考查的知识点为随机事件的概率.【考试指导】只投中1次

的概率知卷

27.D

如图,

尹……(2,3)代入得

2_&一

求在两条坐标轴上截距相等的方程［一1"—>'

设截距式方程为在x轴，y轴上截距为。又因为直线过点(2,3)所以

直线x+y=5和直线3x-2y=0都为过点P(2,3)且在两条坐标轴上截距相

等的直线方程.

28.D

2-忌1=您)窸缥—支电方2卷i・虚都为一高《答案为D)

29.D

本题考查了函数图像的平移的知识点。

函数y=log2(x+2)的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函数为

y-l=log2(x-0+2),即y=log2(x+2)+lo

30.C

31.0由向量的内积坐标式,坐标向量的性质得i2=j2=k2=l,ixj=jxk=ixk=0,

Va=i+j,b=-i+j-k得:axb=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-l+l=0.

32.答案:

解析：

设81的方粗为（jr-OV+ly-gK

■姬田）

IC/AI=.即

IO+7Q-31,|0->to-l|

+11―yr+(-i)?

Ig—31=|一“一11=>”=1•

世十i-3/=0=z=a

/F+K41a

"+(y-l*=2.

33.(17)e・f

34.1

*.*3x+4y-5=0^y=-3/4x+5/4,x2+y2=x2+(-3/4x+5/4)2=25/16x(x2-15)

/8x+25/16-a=25/16>l,又,当x=-b/2a时，y=4ac-b2/4a=l,是开口向

上的抛物线，顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a),有最小值1.

35.

Jn方

sin(45*-a>cosa+00^(45^»)$1110=!4111(450—a+a)=sin45a*-2'.j&y)

36.

由S=4W=l6x.得R=2.V；W=T*X2=普*.(答案为警小

37.

38.

39.答案:1

Ur+4>~5=0=>v=—^"工+年•

44

义当了=一/时'

.2525_.15

4aLy4XVT6yXi6-<Tv)

，乂25

4XT6

是开口向上的抛物线，顶点坐标（一方

多汽，有最小值1.

40.

12H析；I。M■(tfb),■|a1-Z<'AP?16-2*44>4^12.

41.

3

34

42.

43.

异面支线BC与DC的距离为正方体面对角线的一半.即为考a.（答案为号a）

12

44.

4,

46.{x|-l/2<x<1/2}

红±-+>。[2x4-1<0

l-2x^H-2x>01*'U-2x<03

<x|—^-<x<-1-}U0=={Jr,一-

47.

48.132

49.

50.(18)1.7

(23)解：(I)/(4)=4/-4%

51.八2)=24,

所求切线方程为y-ll=24&-2),即24~尸-37=0.……6分

(口)令/(幻=0,解得

X]=-1,x2=0,x3=1.

当X变化时/(x)J(x)的变化情况如下表：

X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

r（x）一00-0

2Z32

/（X）的单调增区间为（+8）,单调减区间为（-8,-1）,（0,

1）.……12分

52.

（1）因为；=37・所以q=1•

4X0*rI

（2）力-小，二=1

曲线y=、在其上一点（I.；）处的切线方程为

X4-12

即x+4y-3=0.

53.解

设点8的坐标为Q,,)，则

\AB\=/(X,+5),+y,x①

因为点8在椭BH上,所以2婷+y「=98

y」=98-2x/②

将②代人①，得

3I

I4fil=y(x,+5)+98-2X1

=y-(x?-10x,+25)+148

…"+148

因为-(4-5)‘W0,

所以当x,-5时，-(«,-5),的值最大，

故1481也最大

当孙=5时.由②.得y产士46

所以点8的坐标为(5.4万)或(5.-48)时以川最大

54.

nA”.tJ.

(I)由已知得。..0,:1二爹，

所以la.l是以2为首项,方为公比的等比数列.

所以a.=2(^j.即4=疝万

(D)由已知可嘘二匕*"，所以(打=由，

1———

2

12分

解得n=6.

55.

(1)因为“0,所以e'+eT»*O,e'-e-yo.因此原方程可化为

-cwe①

e+e

丁%=siM②

,e-e

这里0为参数.①1+②1,消去参数8.得

J12

4x4y*,„nxy,

+/_,*=I.即/j二丁¥+厂产K=1•

(e+e)(e-e)(e+e)(e'-e")

4―7―

所以方程表示的曲线是椭网.

(2)由“”入N.知Z"0.sin'"0.而r为参数，原方程可化为

［占=e，e\①

CfW

%=e'-e，②

Ism。

ay-②1.得

±t-44=(e'+e-*)，-(e，-e-')2.

cos。sin0

因为2e<e<=2/=2,所以方程化简为

急一3L

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(I)知，在椭圆方程中记工〃=.丁);

则c'=1-6,=1,c=1，所以焦点坐标为(±1.0).

由(2)知，在双曲线方程中记J=88%.M=sin、.

'则J=a'+b、l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(1)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

56.

24.解因为1+/-力=叭所以上右支=)

ZOCL

即cosB=y,fl5B为△48C内角，

所以B=60".又1崛曲14+log4sinC=-!所以sin/l•sinC=:.

则y[c<»(4-C)-coe(X+C)]=-^-.

所以cos(4-C)-a»120°=y.BPc<»(4-C)=0

所以A-C=90°或4-C=-90。.又4+C=120。，

解得4=105。,C=15。；或4=15。,C=105。.

因为4k=・；-oAZnCxZ^HiivlsinBsjnC

=2/y’.近拉•卓•区乎=如

4244

所以务2=6所以R=2

所以a=2/?sirvl=2*2xsinl05°=(用+力乂加)

b=2RmnB=2x2xsin60°=2"(cm)

c=2RMIIC=2x2xsinl50=(^-v5)(cm)

或a=(而-左)(cm)6=24(cm)c=(J6+^2)(cm)

誉.二也长分别为(R+&)cmN乐n、(而-而cm.它们的对角依次为:105°.60。,15。.

57.

(1)设等差数列Ia.|的公差为d,由巳知%+,=0,得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2

数列la1的通项公式为a.=9-2(n-I).即a.=11-2a

(2)数列|a1的前nl«和

S.=?(9+1-2n)=-n5+10n=-(n-5)3+25.

当。=5时.£取得•大值25.

58.解

(*)«.♦!=3a.-2

°..i~•=3a.-3=3(a.-1)

a.-ls3

(2)|a.-11的公比为q=3,为等比数列

=(5_】)g…ng-1=3*T

/.a.=3'~'+1

（24）解：由正弦定理可知

BC

，则

sinAsinC

2x亨

ABxsin45°

BC==鼻=2（且1）.

sin750

4

SAxac=—xBCxABxsinB

=)x2(4-1)x2x：

=3-6

59.-1.27.

60.

方程/+『+a+2y+/=0表示圈的充要条件是:『+4-4a1>0.

即•.所以-率"力

4（1.2）在|«外,应满足：1+21+a+4+a,>0

SO«?+a+9>0.所以oeR.

除上,a的取值范围是（-空，罕）•

61.

CI）设等比数列（aj的公比为的由超汝可行2+2什27-14,即娟，<;一6

所以3=2.仇=一3（金去）.该数列的通项公式为6.-2*.

CD）因为a」lo&a■-to&2・〃，

设-4+&+―+%=1+2+…12CyX20X（2i）+D-210.

解(D设等比数列｛a.I的公比为g,则2+%+“'=14.

即q2+9*6=0,

所以夕1=2,%=-3(舍去)..

通项公式为aa=2\

(2)6.=log2a.=log22*=nt

1

设7ao=6,+&+63a

=1+2+…+20

=yx20x(20+l)=210.

62.1

63.

（I）设等差数列的公叁为4

由已知”,+o«=0得2al+9d=0.

又巳知仰=9,所以d=-2.

稗数列（oj的通可（公式为a.=9-2（n-l）,

即《»二11-2m

（【I）数列®》的前“项和S产点（9+11-2"）——/+]0”=_（”_5）"+25.

则当n5时.S.取得最大值为25.

64.ABCD是边长为a的正方形，EFGH是要作的矩形

F“设HD=x,(0<x<a)则AH=a-x由已知EH〃

BD,HG/7AC,所以AAEH与△DHG都是等腰三角形

于是HG=V2x.HE=#(a-x).

用丁表示矩形的面积.

则y=戊工•72(a—x)=-2工？+2ax

V0<x<a.

：•当工■时，%>«=勺.

可知正方形各边中点连得的矩形（即正方形）的

面枳最大,其值为

4

65.

（I）由题知2a=8.2c=2".

故a=4,c=々.b=•>/a2—c2=/16—7=3•

因此椭圆方程为=1.

ioy

（口）设圆的方程为/+y=R2,

因为圜与椭圆的四个交点为一正方形的顶点，设其在第一象限的交点为A.

则有CM=R,A点到工轴与y轴的距离相等.

可求得A点的坐你为（考R.岑R）,

JR2£

而A点也在椭圆上，故有%+g=1.

解得R=丝更.

66.

(I)由正弦定理得1=绊.

sinAsinC

即4=乌，解得sinC=§,

1sinC2

~2

故C=60°或120'.

(D)由余弦定理得cosA-田/伊；比，=3+斤】=冬

2AB-AC273AC2

解得AC=1或AC=2.

当AC=1时,S△w=-^-AB•AC,sinA

当AC=2时,S3=y.AB•AC•sinA

L1乙

67.

解；(I)/'(x)=(x+a+De*+x.

由/'(O)=0得l+a=O，所以a=-L.......4