2022年湖南省长沙市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022年湖南省长沙市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级：姓名:考号:

、单选题(30题)

没用“也用饺印角.则

(A)coso<0<Jltan>0(B)cosa<0.fltana<0

(C)cosrr>0(Iltuna<0(D)cosa>0.fltana>0

复数(『)‘+(")"的值等于

1-114-1

(A)2(B)-2

2.(0。(D)4

3.圆x2+y2=25上的点到直线5x+12y-169=0的距离的最小值是

（）

A.A.9B,8C.7D.6

4.抛物线y=ax2（a<0）的焦点坐标是（）

〜'*4a

D.（一孑,0）

A.A.AB.BC.CD.D

6.已知角a的顶点与直角坐标系的原点重合始边在X正半轴上，终边

经过点（"-1），则sina的值是（）

A.A.-1/2

8

B.

C.1/2

豆

D.

7.两个盒子内各有3个同样的小球，每个盒子中的小球上分别标有1,

2,3三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个球，则取出的两个球上

所标数字的和为3的概率是（）

A.A.1/9B.2/9C.l/3D.2/3

.复数（匕尸+（曰尸的值等于

8)

A.2B.-2C.0D.4

9.从2、3、5三个数中，任取两个数，可组成（）个真分数

A.2B.3C.4D.5

10.若方程』-“♦2»+2y=0*示两条直线.Um的取值是A.lB.-lC.2D.-2

11.不等式字V＞0的解集是

儿卜,＜一£或工＞外

C,印丛）D.|x|x>-|)

函数/（X）=1cosX的最小正周期是

（A）-（B）n(C)-it(D)2K

12.22

13.

第7题从5个男学生和4个女学生中选出3个代表，选出的全是女学

生的概率是（）

A.4B.24C.l/21D.1/126

任选一个小于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是()

A,0.3

D.；

14.

(5)Atty>/TTT;T的定义域是

(A)|xl«>1|(B)1«,•<H

15.(C)|xlX>Il(D)*<・I或*KH

16.设甲:a>b;乙:|a|>|b|贝！)()

A.甲是乙的充分条件B.甲是乙的必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲

不是乙的充要条件

函数y»4-rin22x的最小正周翔是

17.

A.A.471B.2TIC.7iD.7i/2

18.某人打靶的命中率为0.8,现射击5次，那么恰有两次击中的概率

为()

A.A.一、‘

B.023

C.C$0.81x0.25

D.J。、X’■()2:

19.已知空间向量a=(6,-4,2),b=(x,2,3),且aJ_b,则x=

()

A.A.

B.

C.3

D.

20.已知点A(1,1),B(2,1),C(—2,3),则过点A及线段BC中点的直线方

程为()。

A.x-y+2=0B.x+y-2=0C,x+y+2=0D.x-y=0

21.

若向量a=(x,2),b=(-2,4),且a,b共线，则x=()

A.-4B,-1C.lD.4

22.下列函数的图像向右平移-个单位长度之后，与y=f(x)的图像重合的

是()

A.y=f(x+1)B,y=f(x-1)C.y=f(x)+1D,y=f(x)-1

(II)(/♦1)*的展升式中的常效鹏为

(A)6(B)I2(C)I5(D)3O

24.不等式IX-3|>2的解集是

A.{x|x>5或x<1}B.{x|x<1}C.{x|I<x5}

(II)函数y=v'l式/7-1)的定义域是

(A)x-1}(R)|TI土W21

25.(C»晨I工W-1或N弃21{D}空集

26.为虚数单亿则i•r-iJ-i*-is的值为（）

A.A.lB.-lC.iD.-i

27.

第11题设0<a<1/2,则()

A.loga(l-a)>l

B.cos(l+a)<cos(l-a)

C.a“<(1/2尸

D.(l-a)<a

28.设复数'』一'一।满足关系那么z=。

A.-3/4+iB.3/4+iC.-3/4-iD.3/4-i

29.函数y=lg(x2-3x+2)的定义域为()

A.A.{x|x<1或x>2}B.{x|l<x<2}C.{x|x<1}D.{x|x>2}

函数一1T-2）的反质数的图像经过点

X42

<c>(咽<D>同)

二、填空题（20题）

31.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球的体积

的比为_______

32.

已知tana—cota=l,那么tan2a+cot2a=,tan3a一cot3a=.

33.平移坐标轴，把原点移到O'(-3,2)则曲线"+6工》一“=°，在新

坐标系中的方程为

在5个数字12,3,4,5中,隔机取出三个收字,则离下两个数字是奇数的概率是

34.

35.若a=(l-t,1-t,t),b=(2,t,t),贝(J|b-a|的最小值是.

36.设某射击手在一次射击中得分的分布列表如下，那么&的期望值等于

e123

P0.40.10.5

——-j—《-=]

37.已知椭圆及16上一点p到椭圆的一个焦点的距离为3,则点P到另

一焦点的距离为

38.已知a=(6,2),b=(-4,1/2),直线i过点A(3,-1),且与向量a+2b垂

直，则直线i的一般方程为

39.曲线y=x2-ex+l在点(0,0)处的切线方程为。

40.

(工―展开式中的常数项是一-------------,

41.方程

A,+Ay?+Dx+Ey+F=O(A:/：O)满足条件()十(2A)A

它的图像是

42.某运动员射击10次，成绩(单位：环)如下

8、10、9、9、10、8、9、9、8、7

则该运动员的平均成绩是环.

43.设f(x+l)=z+2v'.r，1,则函数f(x)=

44.*长为a的正方体ABCD-A'B'C力'中,异面直线9与DC的距离为一

45.

函数y=3~*+4的反函数是.

47.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之积为偶数

的概率P等于

48.已知双曲线的离心率是2,则两条渐近线的夹角是

49.

50.设i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,则

a,b=__________

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分12分)

已知数列|a.l中=2.a..(=ya..

(I)求数列Ia.I的通项公式；

(H)若数列la」的前"项的和S.=3，求”的值・

52.

(本小题满分12分)

△A8c中，已知as+c1-is=%且logtsinA+lo&sinC=-1，面积为万由‘，求它二

出的长和三个角的度数・

53.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求d的值；

(H)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项?

54.

(本题满分13分)

求以曲线2一+」-4x-10=0和/=2*-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在x轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

55.(本小题满分12分)

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

。)求数列｛an｝的通项公式；

(2)当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值.

56.

（本小题满分13分）

如图，已知桶BUG：*+，'=1与双曲线G：\-y

⑴段分别是，的离心率,证明；

eg%Ge,e:<1

（2）设4H是G长轴的两个端点/（与,九）（1/1>a）在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线尸名与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

57.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

（1）过这些点的切线与x轴平行；

（2）过这些点的切线与直线y=x平行.

58.

（本小题满分13分）

巳知函数人工）&

（I）求函数y=的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

（2）求函数y在区间［0,4］上的最大值和最小值.

59.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。现采取提高售出

价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10

件，问将售出价定为多少时，赚得的利润最大？

60.（本小题满分12分）

已知鸟,吊是椭圆近+［=1的两个焦点.尸为椭画上一点,且4乙呜=30。,求

△PF\F、的面积.

四、解答题ao题)

61.已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex(x,aWR).

(I)当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(l,f(l))处的切线方程;

(II)当a=-5/2时，求函数f(x)的极小值.

62.设A,B为二次函数y=-3x?-2x+a的图象与x轴的两个不同的交点，点P为抛物线

的顶点，当^PAB为等腰直角三角形时，求a的值.

63.在△ABC中，AB=2,BC=3,B=60°.求AC及4ABC的面积

设函数人刀・一［o.yl

⑴求/嗜h

(2)求人e)的■小值.

64.

2sin0cos0♦-

IT

设函数八8)=,0[0,

sin0♦cos#e2*

(1)求稣);

(2)求〃8)的最小值.

65.

66.在边长为a的正方形中作-矩形，使矩形的顶点分别在正方形的四条边上,

而它的边与正方形的对角线平行，问如何作法才能使这个矩形的面积最大？

已知△.43C中，4=30。.BC=\,AB=43AC.

(I)求48；

(II)求△48C的面积.

67.

已知等差数列；a.I中,5=9,%=0,

(I)求数列la.l的通项公式.

(2)当n为何值时，数列的前n项和S.取得最大值,并求出该最大值.

69.海关缉私船在A处发现一只走私船在它的北偏东54。的方向，相距15海里的B处向正

北方向行驶，若缉私船的时速是走私船时速的2倍，

(I)问缉私船应取什么方向前进才能追上走私船；

(II)此时走私船已行驶了多少海里.

70.设直角三角形的三边为a、b、c,内切圆直径为2r,外接圆直径为2R,若

a、b、c成等差数列，

求证：(I)内切圆的半径等于公差

(II)2r、a、b、2R也成等差数列。

五、单选题(2题)

71.长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别为4,8,18,则此长方体的体积

为

A.12B.24C.36D.48

7马过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为

六、单选题(1题)

73.以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的方程为()o

A.(z—=1B.x24-(y-l)2=2

z

C.J+(y—1尸=4D.+(j-D=16

参考答案

1.B

2.A

3.B

QOV+y1=25的Iffl心为坐标原点（0,0）,半径r-5.

0B心（0・0）到直线5x4-I2y-169-0的距离是‘''。号涔与］阻1=⑶

V5+12

则B8Jr3+，=25上的点到直线5r+12>-169=0的距离的最小值是

13—5=8.（答案为B）

4.C

y=az*即为下=*.；•焦点坐标为（0,1）.（答案勺

U,•£}

5.D

本题属于读图题型，在寻求答案时，要着重讨论方程的表达式。

Vy|=-J-・

•；⑴当.r>0时・

6.A

7.B

8.A

9.B

从2、3、5中任取两个数，大数做分母，小数做分子，两个数组成的分数是真

分数形式只有一种，所以所求真分数的个数为C=3种

10.A

A♦就:为用用分・方(一力”小其龙示南条有段俺什•因式•过当时原方

程可分解-7♦2)(**y)*0.表小息条直抵”-y+2=0匐4♦，-0，

11.B

A【解析】)(3x4-1)>0.

:(-8.--^)U(+・+8).

12.D

13.C

14.B

B公式P(A)一必，试验中等可能HI现的结果

H

”=Ci.事件A包含的结果，，，一壮

所以%)=.一普=

【分析】本地者查等可能事件粒率的求法，是历

年考试的内容.

15.D

16.D

所以左不等于右，右不等于左，所以甲不是乙的充分必要条件。

17.D

18.C

19.D

因为Qjjh则。・b=(6.-4.2)•023)-6工一4X2+2X3=O,则/=孑,(答案为D)

20.B

该小题主要考查的知识点为直线方程的两点式.【考试指导】

线段比的中点坐标为(号2,L±J),

22

即(0,2),则过(1,1),(0,2)点的贪奴方程为

—-1_x-1.,

』=口"+、-2=o.

21.B

22.A图像向右平移一个单位长度后与y=f(x)的图像重合，即求y=f(x)向左平移-个单位的函

数表达式.由y=f(x)图像向右平移|c|个单位，得y=f(x+c)(c<0)图像，向左平移c个单位，

得:y=f(x+c)图像，向上平移c个单位，得:y=f(x)+c图像，向下平移|c|个单位，得:y=f(x)+c(c

<0)图像,反之：由：y=f(x+c响右平移c个单位得:y=f(x)的图像.

23.C

24.A该小题主要考查的知识点为不等式的解集.【考试指导】|x-3|>2=>x-3>2或x-3v-

2=>x>5或x〈1.

25.C

26.D

i•i2•i,•9二i"""'-L(等案为D)

27.B

28.B

设2=R).

则N=yi.|z1=Jf.

由题意得・”+yi+J7+，=2-i.

根据复数相等的条件有

fx+/x24-y2=2

y=_]

所以z--7—i.

4

29.A

由x2—3x+2>0,解得xVl或x>2.（答案为A）

30.A

31.

32.

33.答案：x'2=y'解析：

1r'二1一hI=x+3

<即4・

将曲钱，/+6工-3+11=0配方・使之只含有

(工+3)、(y—2)、常数三项.

即/+6/+9-(1y—2)—9—2+11=0.

(l+3)'=(y—2),

即1”=/.

34.

H折J个数字中共有三个即£若■下苒个是奇数,1)・法为◎的取GC；种，咐所求假

碟噂一看

35.

【解析】fr—«=(1+r.21—1,0)1

b-a-y(14-t):+(2t-l)i4-0,

=H-2/+2

ST-Q挈

36.

37.答案：7解析：由椭圆定义知，P到两焦点的距离为Za,anS"aMlO.CkZa-

BMlOYM7

38.

2x-3y-9=Q【解析】直线上任取一点尸(工，

y)»则PA=(3—x»—1—y).因为a2b=

(一2,3),由题知就・(a+2b)=0,即一2(3—

<x)+3(—1—?)=0,整理得2z—3y—9=0.

39.

x+y=O

本题考查了导数的几何意义的知识点。根据导数的几何意义，曲线在（0,0）

k=,y==1*

处的切线斜率LQ,则切线方程为y—O-l•（X-0）,化简

得：x+y=0o

40.

由二项式定理可樽•常数项为=—畿装=~84.（井案为一84）

41.

【答案】点（-左请）

人T,+人》2+01+£¥+尸=0,①

将①的左边配方.得

万q程e①小只有实数解JZA.

"会

即它的图像是以（-叁，-同为回心”=。

的圜.

所以表示一个点（-枭-4）.也称为点圆

42.8.7

【解析】本题主要考查的知识点为等比数列。

X=&+10+9+9+10+8+9+9+8+7

~~io

=87

【考试指导】•,

43.设x+l=t,则x=t-l将它们代入

入/(x+l)=x+2\/x+l中,得

人力=/—1+2—\+1=(+21.则

界面直线BC与DC的距.高为正方体面对角线的一半.即为尊a(答黑为考公

45.

由，-3'+4,科(9)二,一4♦即上一log十(厂4)・

即函数y=3"+4的反函数超y—logi(l4)(£>4).(答案为产logt(x—4)(x>4))

46.

47.

120°【解析】渐近线方程)=士？zN±ztana,

离心率，=£=2.

a

即e=jWZ力1+(立)，2,

故(纣=3,/=土质

则tana=6,a=60°,所以两条渐近线夹角

为120°.

49.

50.答案：0【解析】由向量的内积坐标式和坐标向量的性质得：i2=j2=k2=L

i•j=j,k=i,0,Va=i+j,b=-i+j-k,得a•b=(i+j)(-i+j-k)=-i2+j2=-

1+1=0.【考点指要】本题考查考生对向量坐标的掌握情况.

51.

(1)由已知得。.#0,今：=/，

所以la.l是以2为首项.十为公比的等比数列.

所以,即4=占.

(U)由已知可得"=」二^~".所以传)=(十)，

*'7

解得“=6.

52.

ji1J।

24.解因为，+/-群=*所以七^-=万

即cosB="，而8为△48C内角，

所以B=60°.又log48m4+lo^sinC=-1所以sirt4•»inC=­.

1,-1

则爹［CO6(4_C)-cos(4+C)1=彳.

所以coa(A-C)-a»120°=y,l^co«(4-C)=0

所以4-C=90°或4-C=-90°.又4+C=120°,

解得4=105℃=15°;或4=15°<=105°・

因为SA诋=l-aA«inC=2片siivkinBsinC

_加.4+也一.瓦--2=%?

4244

所以如S所以犬=2

所以a=2/hia4=2x2xsinl05°=(.+")(cm)

b=2/?sinB=2x2x»in600=27T(cm)

c=2R»inC=2^2x»in!5°=(76-v5)(cm)

或a=(而6=2"(cm)c=(^+^)(cm)

.二由长分别为(m+^)cm.2J3cm.(区-A)cm.它们的对角依次为:©°仞°.⑹：

53.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dtQ,Q+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a2+(a-d)2.

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d-\.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=1.

(11)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

an=3+(n-l),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100项为102.

54.

本题主要考查双曲线方程及综合解翘能力

tlx1-4x-10=0

根据期意,先解方程组h/、

得两曲线交点为广=：［=3

17=2,ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条宜线'=

这两个方程也可以写成《-4=0

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为忌=0

944k

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

9*=6’

所以*=4

所求双曲线方程为4-2=1

55.

(1)设等差数列I的公差为d,由已知%+，=0,得

2a,+9d=0.又已如5=9.所以d=-2.

数列S.I的通项公式为a.=9-2(n-l).R|a.»ll-2a

(2)数列|a.I的前n项和

S.=-^-(9+1—2n)=—n3+lOn=—(n-5)3+25.

当。=5时.S.取得最大值25.

56.证明：（1）由已知得

将①两边平方.化简得

（xj,+a）3y?=（.t）+a）J7o.④

由②3）分别得*=斗（芸-°2）.y：=1（。'-m：）.

aa

代人④整理得

a-阳3-aa'

-----=------,即unx--•

a4x2«o+a----------x0

同理可得巧二

与

所以凡=心，0.所以3?平行于，轴.

57.

(1)设所求点为(q・y0)・

4=-6父+2，=-6x©+X

由于工轴所在有线的斜率为0,则-6&+2=0.与=/.

因此汽=-3・(/尸+2・»4岑

又点(表号)不在*轴上，故为所求.

(2)设所求为点(%.%).

由(l),y'=-6x+2.

•・N0

1

由于的斜率为1,则-6%+2=1.与二.

1|17

因此治=-3•祈+2.至+4=不，：

又点(高帘不在直线>=工上•故为所求.

58.

(i)f(x)=1-}.令八w)=0,解得x=l.当xe(0.l)./(x)<0;

当Me(l.+8)/(x)>0.

故函数人工)在(01)是减函数，在(1.+8)是增函数・

(2)当x=l时4幻取得极小值.

又/(0)=0,川)=-1•<4)=0・

故函数/CG在区间［0,4］上的最大值为0.或小值为-L

59.

利润=惜售总价-进货总俳

设期件提价工元(hMO),利润为y元，则每天售出(100-Kk)件,销售总价

为(10+幻•(IOQ-IOK)元

进货总价为8(100-1(h)元(OWHWIO)

依题意有：,-(10+*)•(100-10%)-8(100-!0x)

=(2+x)(100-10s)

=-I0xj+80x+200

y=-20父+80,令y'=0得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时，・得利涧最大，最大利润为360元

60.

由已知.棚圈的长轴长2a=20

设由椭圆的定义知,m+n=20①

又」=100-64=36,c=6,所以F,(-6,0),入(6,0)且1储51=12

Jao3

在APF\F)中,由余弦定理得m+n-2mnc(M30c12

m'+n1-■jimn=144②

rn'+2mn+n2=400,③

③-②.得(2+5)mn=256,mn=256(2~-/3)

因此.的面枳为3•mnsinMP=64(2-G)

61.

[#*««](1)当a=0时，/⑺=3-2*.

/(工)=，(/十2x+2),/(D=3e,/(D=5e.

所以雨数/(工)的图象在点处的切线

方程为y—3e-5eQ-I)•即5ex—y—2e=0.

(H)当a・一■时,/(x)"(JT2—■^*+2)/.

y-y)e».

令/(工)-0.得Jc——•^或工=1.

令/(x)>0.fl|r<一"或x>l.

令,CrXO.得一十<X1.

所以/Cr)在*=】处取得极小值/(1)=号,

62.

设两个交点横坐快分别为了,.4.则4，力为二次方程-2-2x+a

=0的两个根.由根与系数的关系.得r,+xr=一等.可•z严一拳

从而得IABI=Ixi-xt\=>/（.x\4-zj）,—4x）X|*=-1-/1+3«.

尸为抛物线0（点.坐标为《一!.a+g）.PC垂直于z轴，|PCI=!a+Ml.

由APAB为等腰直角三角形可知|AB|-2|PC|.

2「11

即争4\+3a=2|a+R|•蹲a=0或a=一彳.

JS5

因为抛物线与工轴有两个交点，则

△=4+12aX),解得4-彳.故a=0.

63.

【答案】由余弦定理得

AC1=AB2+BC：-2AB•BC・cosB

=7.

故AC=Q.

△ABC的面积S=4AB・BC•sinB

=yX2X3X^=挈.

64.

1-r2sinMvuU9-等(fiinff十cobA)'♦

由U已知HeO=

♦，■藤6♦«i«4>

令x,A6.

由此M求得H言）最小值为点.

3

142sin^cos^+5

解由题已知4。)=—.AZ

sin。+cwd

3

(sin^+cosd)2^~2

sin®+cos^

令x=sin夕♦cos©,得

八&

〃e)=-m=H+/=[4-得『+24•得

匹氯“

65由此可求得/后)=4/(6)最小值为气

66.

ABCD越日归为.*0%M,FFGHq■件的现修.

做HD,，/0<jr<・)

・AH・・r・

南巳MM〃BOL

；・M£”与△<)，传■■号■-能彩，

下*'》•

用不■♦立・飘・.j

■,7i皇•«《•一■》--++“—f1T■

xoov■.工■4―：川•——:・

可知正方形各边中点连得的矩形（即正方形）的面积最大，其值为£/2

67.

解；(I)由余弦定理BC2=AB2+AC1-2xABACcosA.

4分

又已知4=30。.BC=\,AB=gC.得/C'l,所以/C=l.从而

AB=G.......8分

(11)△/(BC的面枳

S^-