2020-2021学年北京市101中学高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市101中学高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分)

1.已知两个集合4={%€/?"=71=3口},8={%|=20}则408=()

A.AB.BC.{-1,1}D.0

2.2或标25。-1的值为()

sin20℃os20°K7

A.-1B.-2C.1D.2

3.8.下列命题为真命题的是

A.已知Wl,则“”是“LS1”的充分不必要条件

B.已知数列a为等比数列，则“1x।”是“日”的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面目，3,若两条异面直线0满足I一1且日〃耳，日〃因，则

a//3

D.I—I,使Ix।成立

4,Jsini1200等于()

A.土走B.走C.一走D.-

2222

5.已知y=/(%)是奇函数，当％>0时，/(%)=%(1+%).那么，当x<0时，/(%)的解析式是()

A.x(l4-%)B.x(l-x)C.-x(l4-x)D.-x(l-%)

6.方程(log3%)2=2-Iog9(3x)的解集是()

A.{3,V3)B.{3净C.{3}D.{e

7.若sin(7r—a)=—多且a6(兀,当，则sin(,+.=()

8.将函数y=2sin(2x—”的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为()

A.y=2sin(2x-7)B.y=2sin(2x—

6

C.y=2sin(2x+g)D.y=2sin(2x-

9.已知角。为钝角，cos(^+0)=则tan(7r—2。)=()

A.立B.2C.V2D.这

237

10.调控房价关系民生，为了更好地调控房地产市场，政府要对房价进行统计与预测，某城市通过

对今年1〜5月份的房价统计发现：第X个月的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与月份X之

间近似满足y=500sin(tox+9)+3000(3>0),已知第3和第5两个月的平均单价如表所示，

则预测该城市7月份房价的平均单价大约是()

X357

y35003000?

A.3500B.3000C.2500D.2000

二、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.已知向量五=(-2,1),K=(l,m)平行，则?n=.

12.在0。到360。范围内，与角-60。的终边在同一直线上的角为.

13.易函数的图象一定不经过第象限.

14.在正方形4BCC中，M、N分别是BC、CD的中点，若前=4宿+〃而，则4+4=

15.以下五个命题中：

①若］<a<0<；兀，则a—夕的取值范围是一？<a—*

②不等式a--2ax+1>0,对一切xeR恒成立，则实数a的取值范围为0<a<1；

③若椭圆［+［=1的两焦点为居、尸2，且弦4B过F1点，则△ABF2的周长为16；

④若常数m>0,a,b,c成等差数列，则mJmb,成等比数列；

⑤数列｛｝的前项和为2则这个数列一定是等差数列.

anriSn=n+2n-l,

所有正确命题的序号是.

⑴卜=_(1)_；

(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_(2)一分

钟人方可进入房间.

四、解答题(本大题共4小题，共48.0分)

17.已知函数/(%)=|x+2|——1|

(1)求该函数值域；

(2)设g(x)=a]?x+3(a>0),若Vse(0,+8),Vt6/?,恒有g(s)2/(t)成立，求实数a的取值范

围.

a3TF123

18.20>己知,(尸<a<—j-,cos(^—jff)=—,sin((^4-切=——,求sin2cHxos2a

19.已知函数f(x)=lg警(a>0)为奇函数，函数g(x)=g+b(b6R).

1—X*

(I)求生

(11)若6>1,讨论方程g(x)=ln|x|实数根的个数；

(W)当x6®巾时，关于x的不等式/(1一为式加。)有解，求b的取值范围.

20.已知公差不为0的等差数列｛斯｝的前n项和为S“，且S5=25,a2是药和的等比中项.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)设数列｛5｝满足垢=2以，证明数列｛%｝是等比数列，并求｛,｝的前ri项和7；.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：由4中y得到1一/20,

解得：—1WXW1,即4=[—1,1],

由B中不等式变形得：(x+1)(%—1)S0,且X—1N0,

解得：一1Wx<1,即B=[-1,1),

则408=[-1,1)=B,

故选：B.

求出A中x的范围确定出4求出B中不等式的解集确定出8,找出4与B的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：B

解析：解："2sin225°—1=—cos50°=—sin40°,

sin20°cos20°=|sin40°,

.2或标25。-1=-SM40。=_2

加20。皿2。。聂n40。

故选:B.

逆用二倍角的余弦与二倍角的正弦即可求得答案.

本题考查二倍角的余弦与二倍角的正弦，考查三角函数的化简求值，属于中档题.

3.答案：C

解析：

故答案为C.

4.答案：B

解析：

本题主要考查诱导公式的应用；由120。是第二象限角，得出sinl20。>0,先将原式开方化成sinl20。,

然后直接写出结果或者用诱导公式化成锐角再写出结果.本题的易错点是忽视二次根式本身的符号

问题

解：原式=w1/1120。|=sinl20。=2!—.

2

故选8.

5.答案：B

解析：

本题考查奇函数的解析式，学会转化定义域是关键，是基础题.

解：设x<0,可得-x>0,

故可得f(-X)=-x(l-x),

又y=/(x)是奇函数，

则-/(%)=/(-X)=-x(l-X),

故可得/(x)=x(l—x)，

故选8

6.答案：B

解析：

本题主要考查了对数的运算性质，考查了换元法的应用以及解一元二次方程，是中档题.

利用对数的运算性质原方程(10g3%)2=2-log9(3x),可化为(，。。3刀)2+夕。。3%-|=0>再利用换

元法即可求出X的值，从而得出方程的解集.

解：因为(10g3X)2=2-10g9(3x),所以(10g3X)2=2-“0。3(3%)，

所以(log3X)2=2-|(ZO^33+log3x),

2

IP(Z053X)+1log3x-1=0,

令t=10g3X,则方程可化为/+]—1=0,解得t=i或t=—|,

所以x=3或X=3"4，即X=3或％=小

所以方程。。g3%)2=2—Iog9(3x)的解集是｛3,弓｝,

故选:B.

7.答案：B

解析：

已知等式利用诱导公式化简求出sina的值，根据a的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa

的值，再利用二倍角的余弦函数公式求出cos^的值，所求式子利用诱导公式化简，将cos^的值代入

计算即可求出值.

此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键.

解：sin(7r—a)=sina=且ae(乃泮)，

:.cosa——V1—sin2a——Jl—(—y)z——|5

vcosa=2cos2--1,-£

22v247

all+cosa|-1+1V6

•.・==-J--T

则sin('+巴)=cos-=——.

、22，26

故选B.

8.答案：B

解析：

本题考查三角函数图象的平移、三角函数的周期的求法，属于中档题.

利用三角函数的图象的平移以及周期变换，转化求解即可.

解：函数y=2s讥(2x-%)的最小正周期为兀，贝4个周期为京

即将函数y=2sin(2x-9的图象向右平移冷单位，则所得函数为y=2sm[2(x一$一勺=

ooJo

2sin(2x—由.

故选用

9.答案：D

解析：解：,••角。为钝角，cos(^4-0)=—sinO=—-sinO=cos0——V1—sin20=~~~f

仆sineV2

tand=——-=---，

cos04

则tan(7i—20)=—tan29———2mn：—越，

'Jl-tan207

故选：D.

由题意利用同角三角函数的基本关系求得汝几。的值，再利用诱导公式、二倍角的正切公式，求得要

求式子的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.

10.答案：C

解析：解：由题意可得：3500=500s出(3侬+0)+3000(3>0),3000=500s讥(53+?)+

3000(3>0),

化为：sin(3a)+口)=l(co>0),sin(5co+,)=0,

可得：33+0=2自兀+1,5侬+0=2七ns七,k2EZ.

取3=(攵2-k])7t—取—上1=1.

则3=斗，取9=

44

y=fix)=500sin(yX+$+3000(a)>0),

/(7)=500sin(yx7+$+3000=2500.

故选：C.

由题意可得：3500=500sin(3<o+")+3000(“>0),3000=500sin(5w+8)+3000(3>0),

化为：sin(3o>+s)=l(o»>0),sin(5a>+R)=0,可得：33+“=2k1ir+],5a)+cp=2k2n,kr,

七ez.即可解出.

本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法，考查了理解能力与推理能力，是中档题.

11.答案：一：

解析：解：向量W另=(l,m)平行,

可得一2m=1,解得m=

故答案为：一1.

直接利用斜率的平行列出方程求解即可.

本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力.

12.答案：120。和300。

解析：解：••,与一60。角终边相同的角为：a=k-360。一60。，(keZ),关于原点对称的终边的角为:

a=k-360°+120°,(keZ),

v0°<a<360°,

k=1时，a=300。.与a=120°

故答案为:120。和300。；

利用与a终边相同的角度为k-3600+a(kGZ)以及关于原点对称的终边的角，即可得到答案.

本题考查与a终边相同的角的公式，考查理解与应用的能力，属于基础题.

13.答案：四

解析：解：对于嘉函数f(x)=xa,%为自变量，a为常数，

则当x>0时，/(x)=xa>0恒成立，

故它的图象不可能经过第四象限，

故答案为：四.

由题意利用幕函数的定义和性质，得出结论.

本题主要考查某函数的定义和性质，属于基础题.

14.答案：i

解析：

本题考查了平面向量的基本定理的应用，属于基础题.

建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出4+

解：以4B,4D为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为2,71(0,0),M(2,l)；C(2,2),

N(l,2),AC=XAM+fiAN，

可得：(2,2)=4(2,1)+“(1,2),

可得:｛之父2%

•••1+M=^.

解析：解：①若]<。<6<：兀，则a—/?的取值范围是一W<a—S<0,因此不正确；

②对a分类讨论：a=0时，不等式化为：1>0,成立；a。。时，不等式a/-2ax+1>0,对一

切XWR恒成立，贝斗：>224/n，解得0<a<1.综上可得：实数a的取值范围为0Wa<1，

因此不正确；

③若椭圆著+\=1的两焦点为6、F2,且弦AB过6点，则△ABF2的周长=4a=20力16,因此不

正确；

④若常数m>0,a,b,c成等差数列，则2b=a+c,=ma+c~2b=m0=1,ma-mc=(mb)2.

因此mb,m。成等比数列；

222

⑤数列｛即｝的前n项和为Sn=n+2n—1,n>2时,an=Sn-Sn-i=n+2n-l—[(n-l)+

2(n-1)-1]=2n+1；n=1时，ar=Sx=2.an=>2,则这个数列一定不是等差数

列.

所有正确命题的序号是④.

故答案为：(4).

①利用不等式的性质即可得出a-夕的取值范围，进而判断出正误；

②对a分类讨论：a=0时，不等式化为：1>0,成立；a*0时，不等式a/-2ax+1>0,对一

切X6R恒成立，可得,/C，解得a范围，即可判断出结论.

③利用椭圆的定义即可得出△ABF2的周长=4a,进而判断出正误；

④若常数m>0,a,b,c成等差数列，可得2b=a+c,判断需=1是否成立即可得出结论；

⑤nN2时，an=Sn-Sn-i；n=1时，的=Si，再利用等差数列的通项公式即可判断出正误.

本题考查了不等式的性质、椭圆的定义、等差数列与等比数列的通项公式及其性质、不等式恒成立

问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

16.答案：2

40

解析：解：(1)由图象可知，当时，y=l,

-=1,

k

:・k=2；

2t,0<t<-

{ii2，

当t*时,y=卷，令y<0.75得，t>|,

•r、2

,,f>?

・••在消毒后至少经过|小时，即40分钟人方可进入房间，

故答案为：2,40.

(1)把点G，1)代入函数解析式，即可求出k的值；

(2)当时，y=擀，令y<0.75得，t>|,所以在消毒后至少经过|小时，即40分钟人方可进入房

间.

本题主要考查了函数的实际运用，是中档题.

—3,xV—2

17.答案：解：(l);/(x)=2x+l,-2WxWl,.•./(;<)€[-3,3]...(5分)

3,x>1

(2)g(x)=I"=QX+：-3,s6(0,+8),g(s)=as+1-3>2y/3a-3,当且仅当as?=3时，

等号成立，

VSe(0,+oo),tGR恒有g(s)>/(t)Og(s)min2

则2商一323,；•a23...(10分)

解析：(1)利用绝对值的意义，得出分段函数，即可求该函数值域；

(2)Vs6(0,+oo),teR恒有g(s)>/(t)=g(s)min>f(t)max,即可求实数a的取值范围.

本题考查绝对值函数，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

解：因为2<£<0<乎，

24

所以0<a-S<2,?r<a+X工，

42

54

由已知可得sin(a-£)=—,cos(a+£)=-->

135

18.答案：、5412356

所以sin2a=sin[(a_£)+(4♦£)]=—x(—)+—x(--)=--,

13513565

、r/4/Z12,4、5,3、33

cos2a=cos[(a—£)+(a+J3)]=—x(--)----x(--)=-——，

13513565

89

所以5由20：+(：0520：二一一

65

解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系式和两角和与差的正弦公式和余弦公式，熟记公式是

解题的关键.

先由已知求出a+/?>«-3的范围，再求出sin(a-/?)和cos(a+/?)的值，利用2a=(a—夕)+(a+夕)

求出sin2a、cos2a的值即可.

19.答案：解:(1)由/。)=恒警缶>0)为奇函数得：/(-x)+/(x)=0,

日口11-ax,[1+ax[l-a2x2

即Ig^+lg弓=lg/B=A°,

所以宅手=1,解得a=1(负值舍去).

(II)当b>1.时，设九(%)=g(x)-ln|x|=~+&-ln|%|,

则九(%)是偶函数且在(0,+8)上递减

又八(1)=2+b>0,h(e2b)=高一b<0

所以h(x)在(0,+«>)上有唯一的零点，方程g(x)=ln|x|