2021-2022学年湖南省长沙市四校联考高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年湖南省长沙市四校联考高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）

1.（5分）已知复数2=-"（3-力，其中i是虚数单位，则复数|z|等于（）

A.3B.2V2C.10D.Vio

2.(5分)已知A(m,0),B(0,1),C(3,-1),且4,B,C三点共线，则机=（)

A.3R2p3D.2

2323

3.（5分）在△ABC中，若AB=3,BC=3A/2-NB=45°,则△ABC的面积为（)

A.2V2B.4C.工D.1

22

4.（5分）某校有高一年级学生990人，高二年级学生920人，高三年级学生847人，教职

工243人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的

方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为（）

A.99B.100C.90D.80

5.（5分）设a,0是两个不同的平面，/,m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若a_L0,/ua,则/L”

B.若/La,/±p,a〃B

C.若a±p.则机〃a

D.若（1〃0,且/与a所成的角和根与0所成的角相等，贝h〃相

6.（5分）已知某圆锥的侧面积为遥兀，该圆锥侧面的展开图是圆心角为2叵L的扇形,

5

则该圆锥的体积为（）

A.—7TB.—C.2nD.—jf

333

7.（5分）如图，在正方体ABC。-A5CU中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则异面直

线AD与EF所成角的余弦值是（）

B

AF

A.迎B.近C.D.A

3322

8.（5分）对于函数/（x）和g（x）,设ae{x|/（x）=0},能{也（x）=0},若存在a,0,

使得|a-BR1,则称/（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数/（x）=/〃（x-1）

+x-2与g（x）=/-⑺-“+8互为"零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）

A.[#•,y]B.[4,y]c-[-y,3]D.[2,4]

二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）

（多选）9.（5分）在锐角AABC中，A,B,C为三个内角a,b,c分别为A,B,C所对

的三边，则下列结论成立的是（）

A.若A>8,则sinA>sin8

B.若A$，则8的取值范围是（0,5）

C.sin/4+sinB>cosA+cosB

D.tanBtanO1

（多选）10.（5分）一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白

球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）

A.若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为3

5

B.若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为W

10

C.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为上

2

D.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为卫

125

（多选）11.（5分）在正方体ABC0-481C1D1中，棱长为1,点P为线段A1C上的动点

（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A.当不=3升时，。1尸〃平面5£>Ci

B.当尸为AC中点时，四棱锥尸-44。。的外接球表面为且打

2

C.AP+PDi的最小值为Z逅

3

D.当A]P=应时，点P是△ABifh的重心

（多选）12.（5分）钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的

宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体.如图，已知某钻石形状的几何

体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台ABCDEF-AiBCiDiEiFi（上、下底面均

为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥尸-A8CDEF,其中正六棱台的上

底面边长为小下底面边长为2a,且P到平面481。的距离为3小则下列说法正确的

是（）

（台体的体积计算公式：v△（S]+S.+JsI$2）h，其中Si,S2分别为台体的上、下

A.若平面%FJ_平面4FF14,则正六棱锥P-ABCOEF的高为更义运a

2&

B.若PA=2j5a，则该几何体的表面积为a&型巨2

2

C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为迎兀a3

81

D.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8,则该几何体的体积为受应23

22

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.（5分）（文）若正数x,y满足x+y+盯=8,则犯的最大值为.

14.（5分）己知向量之=（-2,1）-b=（q.1）-且：在E上的数量投影等于-1，则q

15.（5分）已知菱形ABCD的边长为2,ND4B=60°.将△ABO沿BD折起，使得点A

至点P的位置，得到四面体P-BCQ.当二面角P-BO-C的大小为120°时，四面体P

-BCD的体积为；当四面体P-BCD的体积为1时，以P为

球心，PB的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线在△BCO内部的长

为.

16.（5分）三棱锥P-ABC中，顶点P在底面A8C的射影恰好是△A8C内切圆的圆心，若

三个侧面的面积分别为12,16,20,底面ABC的最长边长为10,则点A到平面P8C的

距离为；三棱锥P-ABC外接球的直径

是.

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.若.(请从①sidA+sidB

-sin2C=sirL4sinB；②2a=V^csinA+acosC；③(2sinA-sin8)a=2csinC+(sirt4-2sinB)

b这三个条件中任选一个填入上空)

(1)求角C；

(2)若c=6时，求△ABC周长的最大值.

18.(12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为

整数)分成六段［90,六0),［100,110),…，［140,150)后得到如下部分频率分布直方

图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求分数在［120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)估计本次考试的第50百分位数；

(3)用分层抽样的方法在分数段为［110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将

该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段［120,130)内的概率.

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0

19.(12分)如图所示，已知在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是边长为2的菱形，ABAD

=60°,侧棱%=PC=3,PB=PD,过点A的平面与侧棱P8,PD,PC相交于点E,F,

M,且满足：PE=PF,PM=1.

(1)求证：直线8C〃平面以力；

(2)求证：直线PCJ_平面AEMF；

(3)求平面与平面AEMF所成二面角的正弦值.

p

20.（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上

转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱.游

客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一

周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

（图1）

（1）经过，分钟后游客甲距离地面的高度为H米，己知”关于f的函数关系式满足H（t）

=Asin（3/+（p）+B（其中A>0,3>0,|。|《看）求摩天轮转动一周的解析式H

⑺；

（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？

（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程

中，记两人距离地面的高度差为万米，求力的最大值.

21.（12分）平行四边形ABCQ中，AB=2AD=2,DB=J§，如图甲所示，作于点

E,将△AOE沿着。E翻折，使点A与点P重合，如图乙所示.

图甲图乙

(1)设平面FEB与平面POC的交线为/,判断/与CO的位置关系，并证明；

(2)当四棱锥P-BCDE的体积最大时，求二面角尸-BC-O的正切值；

(3)在(2)的条件下，G、H分别为棱QE,CD上的点，求空间四边形PGH8周长的

最小值.

22.(12分)已知区间。，若两个函数y=/(x)和尸g(x)对任意在。都有"9>k(其

g(x)

中％>0,g(x)W0),则称函数y=/(x)是y=g(x)在区间。上的超/倍函数.

(1)已知命题“区间。=(1,5],函数f(x)=2/-4x+3是g(x)=x-l在区间。

上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，

请举反例；

(2)若函数/(x)ue为+e-1',是g(x)="+/*在R上的超k倍函数，求实数A的取值

范围；

(3)已知区间。="，2],常数c>l,若函数F(x)=c2x-/2x是GJ)在

区间力上的超4倍函数，求实数c的取值范围.

2021-2022学年湖南省长沙市四校联考高一(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意)

1.(5分)已知复数2=-尸(3-力，其中i是虚数单位，则复数|z|等于()

A.3B.2&C.10D.V10

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

【解答】解:,:z=-i*(3-I)=-1-3i,

IzI=V(-l)2+(-3)2=V10-

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

2.(5分)已知A(m,0),B(0,1),C(3,-1),且A,B,C三点共线，则m=()

A.3B.2C.-J.D.上

2323

【分析】由向量的坐标运算求出瓦，BC.由A,B,C三点共线，可得耗力皮，利用

向量共线的坐标表示可得关于m的方程，即可求解m的值.

【解答】解：由A(m,0),B(0,1),C(3,-1),

可得标=(-m,1),BC=(3,-2)1

因为A,B,C三点共线，所以无力灰，即(-,*)X(-2)-1X3=0,

解得苣.

故选：A.

【点评】本题主要考查三点共线问题，考查向量共线的坐标表示，考查方程思想与运算

求解能力，属于基础题.

3.(5分)在△ABC中，若4B=3,BC=3&，/B=45°,则△ABC的面积为()

A.272B.4C.1D.9

22

【分析】根据三角形的面积公式求解即可.

【解答】解：在AABC中，若AB=3,BC=3圾，/B=45°,

SaABC9ABBCWB得X3X3&*率号

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的面积公式，属于基础题.

4.（5分）某校有高一年级学生990人，高二年级学生920人，高三年级学生847人，教职

工243人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的

方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为（）

A.99B.100C.90D.80

【分析】先求出全校师生的总人数，再结合分层抽样的定义，即可求解.

【解答】解：全校师生的总人数为990+920+847+243=3000人，

设应抽取高一年级学生的人数为n,

则由分层抽样的定义可知，30°=n,解得“=99.

3000990

故应抽取高一年级学生的人数为99人.

故选：A.

【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

5.（5分）设a,0是两个不同的平面，/,m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若a_L0,/ua,znup,则/

B.若/邛，a〃0

C.若,a±p,则机〃a

D.若。〃0,且/与a所成的角和，”与0所成的角相等，则/〃山

【分析】A,根据面面垂直的性质定理判断；B,根据线面垂直的性质定理判断；C,根

据面面垂直的性质定理判断；。，根据面面平行的性质定理判断.

【解答】解：A选项，若aJ_0,/ua,mu。，/与"?可能相交、平行、异面，所以A错误;

B选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以8正确；

C选项，若〃?J_0,a±p,则〃?ua或m〃a,所以C错误；

。选项，若。〃0,且/与a所成的角和川与0所成的角相等，/与，"可能相交、异面、

平行，所以。错误.

故选：B.

【点评】本题考查空间中直线、平面之间的位置关系，是基础题.

6.（5分）已知某圆锥的侧面积为泥兀，该圆锥侧面的展开图是圆心角为迷工的扇形,

5

则该圆锥的体积为（）

A.—JrB.—JiC.2irD.—K

333

【分析】设该圆锥的母线长为/,底面圆的半径为r,由圆锥的侧面积为灰兀，该圆锥

侧面的展开图是圆心角为色叵上的扇形，列方程求出1=粕，r=l,由此能求出该圆锥

5

的体积.

【解答】解：某圆锥的侧面积为遥兀，该圆锥侧面的展开图是圆心角为迷工的扇形,

5

设该圆锥的母线长为/,底面圆的半径为，，

由春又火|工三泥兀,得

25

因为2冗r=2"兀X遥，所以r=l,

5

所以该圆锥的体积为工x7TXA/5-I=2”.

33

故选：A.

【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的结构特征、侧面积、侧面展开图、体

积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.（5分）如图，在正方体4BC。-AEC77中，E、尸分别为棱CC、AB的中点，则异面直

线A7J与EF所成角的余弦值是（）

A，

41k

m

AFB

A.坐.B.喙C.喙D..1

2

【分析】取CD的中点M,连结ME,FM,可证明4。〃/M,从而得到即为异

面直线4。与£尸所成角，在三角形中，利用边角关系求解即可.

【解答】解：取C。的中点M,连结ME,FM,

因为RM分别为AB,QC的中点，所以FM〃A£>,

又A'O'〃A。,

所以〃尸M,

则NEFM即为异面直线4。与EF所成角，

不妨设正方体的棱长为2,

则FM=2,£M=Vl+i=V2，

所以EF二疹后彳二胡,

在Rt^EFM中，cos/EFM=El=_^Ni,

EFV63

所以异面直线A'。与EF所成角的余弦值是近.

3

故选:A.

【点评】本题考查了异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线得到异面直线所

成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

8.(5分)对于函数/(x)和g(x),设a6{x|f(x)=0},06{x|g(x)=0},若存在a,p,

使得|a-0|Wl,则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，若函数f(x)=ln(x-1)

+x-2与g(x)=/-办-n+8互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是()

Cg，3]

A.耳，|]B.[4,1]D.[2,4]

【分析】求出/(X)的零点，从而得出g(X)的零点的范围，再根据二次函数的性质得

出。的范围.

【解答】解：f(x)的定义域为(1,+8),

x

f(x)=——+|=>0,

x-1x-1

：.f(X)在(1,+8)上单调递增，

又f(2)=0,

：.f(x)只有一个零点x=2.

若f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)在［1,3］上存在零点.

二A=d_4(8-a)20,解得心4或“W-8.

(1)若△=0,即a—4或a--8时，g(x)只有一个零点x——,

2

显然当。=4时，A=2G［1,3］,当•=-8时，3的1,3］,不符合题意；

22

(2)若△>(),即〃>4或“V-8,

①若g(x)在［1,3］上存在1个零点，则g(1)g(3)WO,

即(9-2a)(17-4a)WO,解得卫

42

­•^<a<f

［g(l)>0

②若g(x)在［1,3］上存在2个零点，则<g(3))0,

l<y<3

，4<4W卫.

4

综上，。的取值范围是：{4}U［』Z,2］U(4,工］=［4,2］.

4242

故选：B.

【点评】本题考查了函数的零点与函数单调性，二次函数的性质，属于中档题.

二、多项选择题(每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分)

(多选)9.(5分)在锐角△4BC中，A,B,C为三个内角a,b,c分别为4,B,C所对

的三边，则下列结论成立的是()

A.若A>3,则sinA>sinB

B.若A号，则B的取值范围是(0,子)

C.sinA+sinB>cosA+cosB

D.tanBtanO1

【分析】利用三角形的性质，正弦定理，即可解出.

【解答】解：因锐角△ABC,

若A>B,即2L>A>B>0,

2

正弦函数〉=4联在(o,2L)上单调递增，

2

AsinA>sinB,故选项A正确;

若A=2L,B+C=2±,而8,c均为锐角，故三<B〈匹，故选项B错误;

3362

由匹<A+BVTT,

/.0<--A<B<—,

22

TT

/.sinB>sin(-----A)=cosA,

2

同理sinA>cosB,

.,.5n7?A+sinB>cosA+cosB.故项C正确;

VJ2L<B+C<H,

cos(B+C)<0,即cosBcosC<sinBsinC,

VcosBcosC>0,

AtanBtanO1,故选项D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了解三角形，正弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题.

（多选）10.（5分）一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白

球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）

A.若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为3

5

B.若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为W

10

C.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为上

2

D.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为卫

125

【分析】根据给定条件，用古典概型的概率公式判断A8D,用条件概率公式判断C即可.

C2c1

【解答】解：对于A,若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为一"=3,

煌5

故A正确；

对于8,若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为3,故2错误；

5

对于C,若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为2

4

,故C正确；

2

对于Q,若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为3x3乂2=卫，故。

555125

正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查古典概型的概率公式及条件概率公式，属于基础题.

（多选）11.（5分）在正方体A8CD-4B1C1O1中，棱长为1,点P为线段41c上的动点

（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A.当甲=3野时，。记〃平面80cl

B.当P为AC中点时，四棱锥P-44101。的外接球表面为目兀

2

C.AP+PD｝的最小值为&Z巨

3

D.当A[P/冬时，点P是△4B1Q的重心

【分析】利用等体积法求出点4到平面的距离与4c的关系，利用面面平行的性

质定理，即可判断选项A,当A”=应时，AiP即三棱锥4-QIABI的高，即可判断选

项。，当点2为4（7的中点时，四棱锥P-AA1D。为正四棱锥，求出外接球的半径，

即可判断选项B,由等面积法即可判断选项C.

【解答】解：对于A,连接ABi,B\D\,

XXx

则VA_AiB：Di4fH'SAAB：Di4V2xV2Xsin60°=^~

AiCS，

设点Al到平面ABIDI的距离为/i,则解得所以

32©

则当不=34时，P为AC与平面ASDi的交点,

又AD\〃BC\,4£>|0平面8。。，BCiu平面BOCi,所以AD1〃平面8。。,

同理可证A8i〃平面BOCi,AD]QAB\^A,AD\,A8iu平面ABiOi,

所以平面481。|〃平面BDCi,OPu平面AB1C1,所以。1P〃平面BDCl,

对于B,当点尸为4C的中点时，四棱锥P-AA1O1D为正四棱锥，

设平面AA\D\D的中心为0,四棱锥P-AAiDiD的外接球半径为R,则

（R~y）2+（2y-）2=R2-解得R4，

所以四棱锥P-AA\D\D的外接球表面积为更L,

4

对于C,连接4C,DiC,则RtZ\Ai4ORtZ\AiQiC,所以AP=DiP,

由等面积法可得，AP的最小值为AA「AC=Y£所以AP+PCi的最小值为2医，

A[C33

对于£>,由以上分析可得，当A]pqg时，AiP即三棱锥A1-PAB1的高，

所以AiPL平面OiABi,又三棱锥4-QIABI为正三棱锥，所以点尸是△A81O1的重心,

故选：ACD.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面的位置关系，外接球面积

的计算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.

（多选）12.（5分）钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的

宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体.如图，己知某钻石形状的几何

体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台A8CQEF-A出1C1AE1F1（上、下底面均

为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥尸-A8CDEF,其中正六棱台的上

底面边长为。，下底面边长为2”，且尸到平面48cl的距离为3a,则下列说法正确的

是（）

（台体的体积计算公式：（s1+S2+yjsjS2）h,其中Si，S2分别为台体的上、下

底面面积，/?为台体的高）

P

A.若平面抬尸，平面AFF1A1,则正六棱锥P-ABCCEF的高为亚

2

B.若PA=2&a，则该几何体的表面积为3'巧+21、/72

2

C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为迎兀a?

81

D.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8,则该几何体的体积为巨巨a?

22

【分析】分别取AF,AiFi,CiDi,C£>的中点Q,R,S,T,连接RS,RQ,TS,TQ,

得到Q,R,S,T四点共面，且点P,M,N均在该平面上，连接PM,则N在PM上，

进而得到NPQR为二面角P-4/-4的平面角，进而判定力错误；连接RW,则

3a,结合截面PORST,利用表面积公式可判定B正确；连接产例，设外接球半径为R,

连接040A\,OD,0D\,求得外接球的半径，可判定C错误；设该几何体上、下两部

分的体积分别为口，V2,结合」=工，可得也=2加，利用1/=力+丫2,可判定O正确.

V28

【解答】解：设M，N分别为正六棱台上、下底面的中心，

对于选项A，如图1,分别取AF,AiFi,CiDi,CD的中点。，R,S,T,

连接RS,RQ,TS,TQ,则RS=Fa，QT=2«a，

可得Q,R,S,T四点共面，且点P,M,N均在该平面上，

连接PM,则N在PM上，得如图2所示的截面PQR5T,四边形。RST为等腰梯形，

且NPQR为二面角P-AF-4的平面角，即NPQR=90°,

过点R作RL_LQT交QT于点L则/RQL=/QPN,可得巫

LQNP

2

即NPRL=LQQN=^a«a=|-a>而NP+RL=MP=3a,

^NP(3a-NP)-1a2>解得NP=(3±,)a,故A错误；

对于选项8,如图3为截面24Al£>0，依题意得AiOi=2a,AD=4a,

连接PM,则PM=3m又PA=2亚a，所以PN=2a,MN=3a-2a=a,

22

如图4为截面PORST,从而RQ=Ja+(^-a)=^5_a,

PQ=V(V3a)2+(2a)2=V7a'

故该几何体的表面积

232,

S=6X^y-a+6Xy-(a+2a)--y-a+6Xy-2a-V7a=--~a故B正确;

对于选项C,如图5所示的截面抬4力1。，

连接依题意可知Ai£h=2a,AD=4a,PM=3a,

若该几何体存在外接球，则外接球球心.在上，

设外接球半径为R,连接OA,OAi,OD,ODi,得0A=04=0P=R,3a-R=M0=VR2-a21

解得R=1a，

又OA+OQ=2RV4q=OA,矛盾，

故该儿何体不存在外接球，C错误；

对于选项。，设该几何体上、下两部分的体积分别为Vi,V2,MN=ln,PN=h2,

则/A'（明2+函a2j叫2.通洱亭y2

22

V2-yX&>/3aXh2=2V3h2a）

V,

由」-=工7，可得协=2加，

V28

结合加+〃2=3〃，可知加=m%2=2。,

33

因此该几何体的体积V=V+V-I^a+4«a二名近-a3,故。正确.

1222

故选：BD.

4M

图4

RMS

Ai

A4

【点评】本题考查了台体的体积、表面积以及外接球问题，属于中档题.

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.（5分）（文）若正数x,y满足x+y+xy=8,则xy的最大值为4.

【分析】由题意和基本不等式可得J热的不等式，解不等式可得.

【解答】解：•.•正数X,y满足尤+＞刈=8,

.'.8-xy—x+y^lyfxy,

（Vxy）2+2Vxy-8WO,

解得-

故xyW4,当且仅当x=y=2时取等号.

的最大值为4

故答案为：4

【点评】本题考查基本不等式，涉及不等式的解法和整体思想，属基础题.

I4.（5分）已知向量；=（一2,1），b=（q.1），且之在E上的数量投影等于一1，则4=

~3~'

【分析】利用向量的坐标运算以及投影的定义建立方程，由此即可求解.

【解答】解：因为向量之=（-2,1）,b=（q.1），且:在E上的投影等于-1，

所以4=0（舍去）或者q=£

故答案为：1

3

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，涉及到向量的投影，考查了学生的运算能

力，属于基础题.

15.（5分）已知菱形ABCD的边长为2,ZDAB=60a.将△48。沿BD折起，使得点A

至点尸的位置，得到四面体P-BCD.当二面角P-BO-C的大小为120°时，四面体P

-BCO的体积为叵；当四面体尸-BCE）的体积为1时，以P为球心，尸8的长为

一2一

半径的球面被平面BC。所截得的曲线在△BCQ内部的长为—.

一3一

【分析】画出图形，求出四面体P-BCD的高，从而求出四面体P-BCQ的体积；通过

分析得到PF7巧，QF=70P2-PF2=V3<=01即°，尸两点重合，画出图形，得到落

在△BCD内部的长为半径为1的圆周长的一半，从而求出答案.

【解答】解：如图1,过点P作PF_LCO交CO的延长线于点F,则/POF=60°,

P

B

图1

因为菱形ABC。的边长为2,NDAB=60°,

所以「0=近，PF=POsin60°等

故四面体入皮刀的体积为-^^况产卜二工义工*2*^X—=^-；

33222

当四面体P-BCD的体积为1时，此时_LS.DBCPF;工X—X2X^3XPF=1»

332

解得：PF=V3»OF=VOP2-PF2=<73-3=0,即。，尸两点重合，

即POJ_底面BCD如图2,

p

以P为球心，PB=2的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线为以0为圆心，半径

为《pB2-P02=1的圆，

落在△BC。内部的长为圆周长的工，所以长度为工x2兀X1」匚

663

故答案为：近，2L.

23

【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等

题.

16.（5分）三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC的射影恰好是AABC内切圆的圆心，若

三个侧面的面积分别为12,16,20,底面ABC的最长边长为10,则点4到平面PBC的

距离为三棱锥P-ABC外接球的直径是_汉亘

―3一

【分析】依题意作出图形，设S"BC=12,5AR4C=16,S△用B=20,即可得到BC：AC：

AB,从而求出BC、ACAB,利用等体积法求出点到平面的距离，最后再求外接球的直径;

【解答】解：不妨设SMBC=12,S△用C=16,S/\PAB=2Q,

设P在底面ABC的射影为H,分别作“£)_LBC于点。，"EJ_AB于点E,"FLAC于点

F,贝ijPDLBC,PEYAB,PFrAC.

依题意，H为AABC的内心，贝IRtZ\PQHwRtZiPF/rRtZ\PE〃，故PD=PF=PE,又

S&BC卷BCFD，SZAC卷ACPF，5&＞知十BPE，

所以SAPBC：S△%c：SAPAB=BC：AC-AB=12：16：20=3：4：5,所以NACB=90°,

令BC=3x,AC=4x,AB=5x.底面ABC的最长边长为10,可得AB=5x=10,解得x

=2,所以BC=6,AC=8,AB=10.

设△ABC内切圆半径为r,则/(BC+AC+AB)r=

因为S△处C^ACBC=24,即，'X(6+8+10)r=24,解得厂=2,故，。=2,

由S^PBC寺CPD=12，8c=6,得尸£>=4,LUPH=VPD2-HD2=2\/31

所以Vp-ABC4S△ABCPH=|X24X他=ie^'

设点A到平面PBC的距离为d,由VP-ABC=VA-PBC，SAPBC=12,所以

Sd=16,

VA-PBc4^BC^3所以d=4«；

'：ZACB=90°,.•.点C在以AB为直径的圆上，取A8中点为G,则以A8为直径的圆

的圆心为点G,

设三棱锥P-ABC的外接球球心为点O,连接OG,易知OG,平面ABC,又尸“，平面

ABC,则OG//PH,

过点O作ONHGH交PH于点N,

平面ABC,G”u平面ABC,：.PHLGH,即/GHP=^-，

工四边形G，NO为矩形，则。G=N”，GH=ON,

在平面ABC上建立如图所示直角坐标系，则B(6,0),A(0,8),H(2,2),G(3,

4），0N=GH=Vl+22=V5;

设GO=x,若点N在线段PH上，

则PN=2«-x，0A=0B=0P=VGB2-K)G2=^25+X2，

在直角△CWP中，0解+可产=。尸即(泥)2+(2百_X)2=25+X2,

解得x=」退•<()，故点N在线段P"的延长线上，贝i」PN=2«+x，

3

同理可得(泥)2+(2相+*)2=25+*2,解得X*，

所以三棱锥P-ABC的夕卜接球半径为OA=OB=OP=V25+X2亶画-，

3

三棱锥P-ABC的外接球的直径为则应.

故答案沏电；零1

P

【点评】本题考查儿何体的外接球的表面积的求法，空间点、线、面距离的求法，是中

档题.

四、解答题（共70分）

17.（10分）已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.若.（请从①sidA+sidB

-sin2C=sirL4sinB；②2a=V^csinA+acosC；③（2sinA-sin8）a=2csinC+（sirt4-2sinB）

b这三个条件中任选一个填入上空）

（1