2020年中考数学人教版复习：三角形 教学案设计

2020年中考数学人教版专题复习：三角形

【本课简介】

我们将所学习的几何图形按照由简到繁的顺序，对各部分知识进行整合，进行模块式

复习，今天我们复习线，角和三角形。

考试内容和考试要求细目表

考试要求

考试内容

ABC

会用尺规作图；作一个角等于已知会识别角并会表

角，作已知角的平分线；会用角平示：认识度、分、

角

分线的性质解决简单问题；结合图秒，并会进行简单

与形认识角与角之间的数量关系换算；会度量角的

大小及进行简单

角

的计算；会比较角

平的大小，能估计一

个角的大小；了解

分角平分线的概念

并会表示

线

图

图

形

与

的

图了解补角、余角、对顶角，知道等会用三角尺和直

认

形角（同角）的余角相等、等角（同尺过已知直线外

识相交

角）的补角相等、对顶角相等；了一点画这条直线

线与解垂线、垂线段等概念，了解垂线的平行线；会用三

段最短的性质，理解点到直线的距角尺或量角器过，

平行

离的意义；了解线段垂直平分线及一点画一条直线

线其性质；知道过直线外一点有且仅的垂线；会用线段

有一条直线平行于已知直线；知道垂直平分线的性

过一点有且仅有一条直线垂直于己质解决简单问题；

知直线；理解两条平行线之间距离掌握平行线的性

的意义，会度量两条平行线之间的质与判定

距离

三角形了解三角形的有关概念；了解三角会用尺规作给定

形的稳定性；会按边或角对三角形条件的三角形；掌

进行分类；理解三角形的内角和、握三角形内角和

外角和及三边关系；会画三角形的定理及推论；会按

主要线段，知道三角形的内心、外要求解决三角形

心和重心的边、角的计算问

题；能用三角形的

内心、外心的知识

解决简单问题；掌

握会证明证明三

角形的中位线定

理，并会用三角形

中位线性质解决

有关问题

等腰了解等腰三角形、等边三角形、直能用等腰三角形、会运用等腰

角三角形的概念，会识别这三种图等边三角形、直角三角形、等边

三角

形；理解等腰三角形、等边三角形、三角形的性质和三角形、直角

形与直直角三角形的性质和判定判定解决简单问三角形的知

角三角题识解决有关

形问题

全等三了解全等三角形的概念，了解相似掌握两个三角形会运用全等

角形三角形与全等三角形之间的关系全等的条件和全三角形的知

等三角形的性质；识和方法解

会应用全等三角决有关问题

形的性质与判定

解决有关问题

【知识精讲】

知识点一、三角形的概念及其性质

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的分类

(1)按边分类:

「不等边三角形

三角形.底与腰不等的等腰三角形

等腰三角形

.等边三角形

(2)按角分类:

'锐角三角形

斜三角形

三角形钝角三角形

〔直角三角形

3.三角形的内角和外角

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个

和它不相邻的内角.

4.三角形三边之间的关系：

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

5.三角形内角与对边对应关系：

在同一个三角形内，(大边对大角，大角对大边)；在同一三角形中，等边对等角，等角对

等边.

6.三角形具有稳定性.

知识点二、三角形的“四心”和中位线

三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.

1.内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

2.外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离

相等.

3.重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

4.垂心：三角形三条高线的交点.

5.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.

中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

知识点三、全等三角形

1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.性质：

(1)对应边相等(.2)对应角相等(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等

(4)周长、面积相等

3.判定：(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS)

(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)

知识点四、等腰三角形

1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2.性质：

(1)具有三角形的一切性质；

(2)两底角相等(等边对等角)；

(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；

(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60。。

3.判定：

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；.

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.

知识点五、线段垂直平分线和角平分线

1.线段垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线.

线段垂直平分线的定理：

(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。

2.角平分线的性质：

(1)角的平分线.上的点到角的两边的距离相等；

(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；

(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合。

【典例剖析】

例1.三角形的三边分别为3,l-2a,8,则a的取值范围是()。

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.2<a<5D.a<-5或a>-2

答案：B

解析：《，选B。

1—2a<8+3

小结：本题考查的是三角形三边关系，三角形任意一边小于其它两边之和，大于其它两边之

差。

例2.如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是()。

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

答案：C

解析：ZA+ZB+ZC=180°,不妨设NA+NB=NC,代入可求出NC=90°。选C。

小结：本题考查三角形内角和180。，及用方程思想的运用。

例3.如图，已知aABC中，ZA=58°,如果：

(1)0为外心；⑵0为内心.；分别求NB0C的度数.

解：(1)0为外心时，以0为圆心，0B为半径的圆是AABC的外接圆

ZB0C=2ZA=116°。

(2)0为内心时，OB,0C分别为NABC和NACB的角平分线,

ZB0C=180°-(N0BC+/0CB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA)

22

=90°+-ZA=119°。

2

小结：内心和外心代表了三角形与圆的不同，位置关系，在解题时可以借助圆的相关概念计

算，内心是三角形三条角平分线的交点，题目中涉及内心，往往要关联角平分线的定理。

例4.如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF,AD=FB,要使△ABCgZ\FDE,

还需添加一个条件，这个条件可以是：o(只需填一个即可)

解：要判定△ABCgZkFDE,已知AC=FE,AD=BF,则AB=CF,具备了两组边对应相等，故添

加夹角NA=/F,利用SAS可证全等；或添加AC〃EF得夹角/A=NF,禾U用SAS可证全等;

或添加BC=DE,利用SSS可证全等。

小结：在用“边角边''定理证明三角形全等时，必须要保证角是两边所夹的角。

例5.如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm,BC=8cm,将AABC折叠，点B与点A

重合，折痕为DE,则DE的长为()A

7，D.5J

A.2行B.右C.

7D1

/

/

答案：B

解析：-BD-AC=-AB-DE

22

小结：折叠前后的两个图形是全等形。

例6.已知：如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,CD1AD,AD2+CD2=2AB2.

(1)求证：AB=BC;

(2)当BELAD于E时，试证明：BE=AE+CD.

B

/、

Z

A:?--

(1)证明：连接AC。

VZABC=90°,AB2+BC2=AC20

VCD±AD,，AD2+CD2=AC2。

B

AAB2+BC2=2AB2C/

VAD2+CD2=2AB2,

AED

，AB=BC。

(2)证明：过C作CF_LBE于F。

VBE1AD,，四边形CDEF是矩形。，,CD=EF。

VZABE+ZBAE=90",/ABE+NCBF=90°,AZBAE=ZCBFO

又：AB=BC,NBEA=NCFB,/.ABAE^ACBF(AAS)。，AE=BF。

.♦.BE=BF+EF=AE+CD。

小结：四边形问题经常通过连接对角线转化为三角形问题来解决。

例7.如图(1),1b12,13,U是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度.，

正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上.过点A作AFJJ3于点E交

12于点H