2022-2023学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集。={123,4,5,6,7,8},集合4={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合4n

5=（）

A.[2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.（2,3,5,6,8）

2.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,

事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视

力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是.（）

A.简单随机抽样B.按性别分层随机抽样

C.按学段分层随机抽样D.其他抽样方法

3.下列函数是黑函数，且在定义域内为增函数的是（）

A.y=x2B.y=x3C.y—D.y=2X

4.若复数z满足z（l+i）=l-i（i是虚数单位），则z的共规复数2=（）

A.~iB.—V2iC.iD.V2i

5.设4=R,B={x\y=tanx）,则4是8的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为8钮，则圆台

较小底面的半径为（）

A.7B.6C.5D.3

7.已知a6（一（0）,cosa=则tan?=（）

A.3B.-3C.gD.-g

8.在△ABC中，AB=4AD,则而=（）

A.荏V前B.荏+gmC,1AB-ACD.>+

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某运动员10次射击成绩（单位：环）为7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,则下列关于这组

数据说法正确的是（）

A.众数为7和9B.极差为7C.中位数为7D.方差为4.8

10.如图，在长方体4BCQ-4B1QD1中,441=AB=4,M,

N分别为棱GDi，BiG的中点，则下列说法正确的是()

A.四点M,N,B,。共面

B.直线DM,直线BN,直线CCi交于一点

C.直线OM与直线BBi所成的角为60。

D.直线DM与平面ADD遇1所成的角的正切值为：

11.函数/(x)=4s讥(3%+(p)(常数A>0,3>0)的部分图

象如图所示，下列结论正确的是()

A.7(0)=1

B./(x)=-/(y-x)

C.函数/(x)在［一招,0］上单调递增

D.将函数f(x)的图象向左平移着个单位长度所得函数是偶函

数

12.已知函数f(%)的定义域为［0,+8),且满足当xe［0,4)时,/(%)=2—归一2|,当4之4时,

/(x)=A/(x-4),4为非零常数，则下列说法正确的是()

A.当2=1时,/(2023)=1

B.当;1<0时，函数/(%)在［2020,2022)单调递增

C.当;I=2时，记函数仪为=2殍的图象与函数f(x)的图象在［°，16］上的m个交点为

%%)。=1.2,...,m),则29式%+%)=62

D.当;1<一1时,函数f(x)在［0,8n］(neN*)上的值域为［2；1271T,2储"2］

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.数据5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的第90百分位数为.

14.已知向量，与向量各的夹角为今向=\b\=2.则瓦的值是.

15.在直三棱柱4BC-&B1C1中，AC1BC,AAr=AC=1,四棱

锥B-4ACC1体积为右则直三棱柱ABC-4出。1的外接球的体积

为

16.已知a,b,c分别是△ABC的内角4B,C的对边，写出“使满足b=2,4=奇的448。

唯一”的a的一个取值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五=(一3,1),6=(1,-2).m=(l,/c-3)(fce/?),且向量沅与2方+方共线.

(1)求实数k的值；

(2)求向量沆在向量石上的投影向量，.

18.(本小题12.0分)

在△48C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin24=asinB.

(1)求A的值；

(2)若a=2,在下列三个条件中任选一个作为条件，求b,c的值.

①而•前=2;②△ABC的面积为C；③边8C上的中线长为

19.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=sinxcosx+V_3sin2x-孑当xeR.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若函数g(x)=/(%)-a在g,汨上有零点，求实数a的取值范围.

20.(本小题12.0分)

仲华人民共和国节约能源法》要求各行各业须采取技术上可行、经济上合理以及环境和社

会可以承受的措施，从能源生产到消费各个环节，降低消耗，减少损失，制止浪费，有效合

理利用能源.某家庭积极响应，采用节水龙头以降低家庭用水量，并记录了使用节水龙头后50

天的日用水量数据(单位：m3),得到频数分布表如表：

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,04)[04,0.5)[0.5,0.6)

频数151310165

(1)据以上数据，作出使用了节水龙头50天的日用量数据的频率分布直方图；

(2)若该家庭使用节水龙头前，每年的用水费用支出约为674.5元，且某地居民用水费用为3.09

元/根3,据此估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少用水费用？(一年按365天计算，

同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

21.(本小题12。分)

在平面四边形4BCD中(如图1),AB//CD,CD1DE,BE=2CD,E是4B中点，现将△力DE沿

DE翻折得到四棱锥A-BCDE(如图2),

图I图2

(1)求证：平面AED，平面AEB；

(2)图2中，若F是EB中点，试探究在平面4ED内是否存在无数多个点P,都有直线CP〃平面

ADF,若存在，请证明.

22.(本小题12.0分)

己知函数/'(x)=2X+m-2r的图象关于原点对称.

(1)判断函数/"(X)在定义域上的单调性，并用并调性的定义证明；

xx

(2)设函数g(x)=loga[4+4~+2-af(x)](a>0且a*1)在[0,log23]上的最小值为1,求a

的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了交、补混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

由全集U及B,求出B的补集，找出4与B补集的交集即可.

【解答】

解：•••全集U={1,2,3,4,5,67,8},

集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},

•••加={2,5,8},

则AnQuB={2,5}.

故选:A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属于基础题.

若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.

【解答】

解：该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：对于4y="是基函数，定义域为R,在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递

增，故4错误；

对于8,丫="，定义域是R,且在R上单调递增，故B正确；

对于C,y=不是幕函数，故C错误；

对于D,y=2*是指数函数，不是幕函数，故。错误.

故选：B.

根据幕函数，指数函数的概念及性质逐项判断即可.

本题主要考查基函数，指数函数的概念及性质，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：z(l+i)=1-i,

3_(1T)(1T)__.

-2--l,

z的共粗复数2=i.

故选：C.

由z(l+i)=1-i,得到z=M=-i,由此能求出z的共拆复数2.

本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题.解题时要认真审题，注意共规复数的概念的灵

活运用.

5.【答案】B

【解析】解：A=R,B=[x\y=tanx]=[x\x+kn,kEZ],

・•.B是4的真子集，贝妹是B的必要不充分条件.

故选：B.

求出集合B,再根据充分条件与必要条件的定义判断.

本题考查集合的包含关系、充分条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：设上底面半径为r,

因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84兀，

所以兀(「+3r)Z=8471,解得r=7,

所以圆台较小底面的半径为7.

故选：A.

设上底面半径为r,由圆台的侧面积公式列式求解即可.

本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了圆台的几何性质的应用，圆台侧面积公式的应用，

考查了逻辑推理能力、空间想象能力，属于基础题.

7.【答案】D

cos2^-sin211-tan?与4

【解析】解:因为cosa=

cos2^+sin21而福=隶

所以整理可得taM/g,

因为（一10），

n/，

则tan垓=-g.

故选：D.

利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan2^=J,可求范围慨€（-%0）,

即可求解tan三的值.

本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转

化思想，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：在△4BC中，AB=4AD，如图所示:

直接利用向量的线性运算求出结果.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：因为10次射击成绩（单位：环）从小到大排列为：2,4,7,7,7,8,8,9,9,9,

选项A,因为这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9,故选项A

正确；

选项8,这组数据中最大的数为9,最小的数为2,故极差为7,故选项B正确：

选项C,易知中位数为竽=7.5,故选项C错误；

选项。，因为或=击(2+4+7+7+7+8+8+9+9+9)=7,

所以方差为52=*](2—7/+(4—7>+0+0+0+(8—7产+(8—7)2+(9-7)2+(9-

7)2+(9-7)2]=4.8,故选项。正确.

故选：ABD.

利用众数、中位数、极差、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

本题主要考查了众数、中位数和平均数的计算，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4连MN,BD,因为BBJ/CDi，BB1=DDX,

所以四边形BBiDW为平行四边形，所以81DJ/8D,

又因为M,N分别为棱GDi，BiG的中点，所以MN〃B]Di，

所以MN〃B。，所以四点M,N,B,D共面，故A正确；

对于8,由4知，四边形80MN为梯形，延长OM,BN,必交于一点，设为G,

因为DM,DMu平面DCGDi，所以GC平面。。加5，

同理得G€平面BCC/i，又平面。CGDifl平面BCC/i=CG，所以G6CG，

所以直线DM,直线8N,直线CG交于一点，故B正确；

c

对于C,因为BB//DD1，所以直线DM与直线BB1所成的角为ND1DM,

因为tan/DiDM=鬻=J彳所以4D】DM片60。，故C错误；

对于0,因为MD]_L平面4。。14,所以直线。河与平面4。。14所成的角为

由C知，tanZ.^DM=故。正确.

故选：ABD.

对于4,推出B1D//BD,可知A正确；对于B,推出DM,BN的交点在CC】上，可得B正确；对于

C,根据BB//DC1，求出tan/Di。”=赛=2=37后，可得C错误；对于。，根据1平

面4DD14,得直线DM与平面ADD14所成的角为ND1DM,计算可得£)正确.

本题主要考查棱柱的结构特征，异面直线所成角的求法，直线与平面所成角的求法，考查运算求

解能力，属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：由函数/(x)=4sin(3尤+0)(常数4>0,3>0)的部分图象可知，A=2,

由力=工一(一看)=与，即7=0=兀,则3=竿=2,

根据“五点法作图”可得2x(-5+6=0,.•・s=%

・•・/(x)=2sin(2x+9

对于选项4由于/(0)=2sing=q,故A错误；

对于选项B：由fg—%)=2sin[2(y-%)+§=2sin[2n-(2%+^)]=—/(%),故B正确;

对于选项C：当xe［-工期时，2乂+“［一枭勺，函数f(x)在［—*0］上单调递增，故C正确;

1Z3乙〉1Z

对于选项D：,：/(%+,=2sin［2(x+3)+§=2sin(2x+争,

.•・将函数f(x)的图象向左平移着个单位长度，所得函数不是偶函数，故。错误；

故选：BC.

根据给定的函数图象，求出/'(X)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.

本题主要考查根据函数y=4sin(3x+s)的部分图象求函数的解析式，正弦函数的图象和性质，

属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：若a=1,当x24时，/(x)=f(x-4),

所以f。+4)=fix'),函数f(x)的周期为4,

/(2023)=f(505X4+3)=/(3)=2-|3-2|=1,故4正确;

当4<0时，当xC[2020,2022),%-2020e[0,2),

/(X)=A/(x-4)=A2/(x-8)=…=A505/(x-2020)=2505(x-2020),函数/'(x)单调递减,

故8错误；

因为当xG[0,4)时，/(x)=2-|x-2|={:=2,当％之4时，/(%)=2/(x-4),

函数简图如图所示：

根据图象以为=2牛与f。)的图象交点分别为Q2)，(6,4),(10,8),(14,16),共4个交点,

故)71=4,+%)=62,C正确；

，・,当x>411寸，/(%)=2/(%-4),

••・f(x+8n)=A/(x+8n-4)=A2/(%4-8n-8)=A2n/(x),

A<-1,函数/Xx)简图如图所示:

根据图象知，函数在［8n-8,8n-6］和［8n-2,8n］上单调递增，在(8n-6,8n-2)上单调递减，nE

N*,

现考虑x轴上每8个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最

后一段即可，

2n1n2

f{x}max=/(8n-6)=/l2("T)f［87i-6-8(n-1)］=A(-)/(2)=2^-,

2n2

f(x)min=f(8n-2)=T(nT)H8n-2-8(n-1)］=MSFf⑹=A--2/(2)=25I,

故值域为［2MnT,2Mn-2］,。正确.

故选：ACD.

确定函数周期为4,计算得到A正确；

计算得到f(x)=AS05(x-2020),从而得B错误;

结合函数的图象计算函数的交点，相加得到C正确；

由题意得f(x+8n)="nf(x),根据函数的图象及单调性，计算最值得到值域，得到答案.

本题考查了抽象函数的周期、单调性及数形结合思想，属于中档题.

13.【答案】13.5

【解析】解：因为10x90%=9,

所以第90百分位数为竽=13.5.

故答案为：13.5.

根据百分位数的定义求解.

本题主要考查了百分位数的计算，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：•••向量日与向量挪夹角为茅m=C，曲=2,

2

...|3-K|=J（a-K）

=Ja2—2a-b-kb2

—J3-2xy/~~3x2x—+4

=1.

故答案为：1.

由向量数量积的性质，把模转化成向量的数量积运算求解即可.

本题考查向量数量积的性质，属基础题.

15.【答案】?兀

【解析】解：因为三棱柱ABC-ABiG为直三棱柱，所以CG_L平面ABC,

因为acu平面ABC,所以cqiAC,

因为AC1BC,CC^AC=C,CG，ACu平面4遇CQ

所以8c1平面B—414CC1，

11

得

解Dcc

c=-=-o

故%-44CGsc33

因为AC1BC,所以球心在平面2BC的投影位于4B的中点H,

如图，球心。位于与A%的交点处，

其中AB=V1+1=<7，

故外接球半径R=VOH2+HB2=J（今2+（殍¥=殍,

故三棱柱ABC-41当6的外接球的体积为^兀/?3=?7r.

故答案为：年小

证明线面垂直，由四棱锥体积求出BC=1,作出辅助线，找到球心的位置，得到半径，求出体积.

本题主要考查多面体外接球问题，考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】（答案不唯一，满足a=，号或a>2即可）

【解析】解：.•”=2,A=*bsinA=2sin^=yT3,

二当a=加讥4或a26,即。=/3或。22时，△ABC唯一.

故答案为：，可(答案不唯一>满足a=，马或aN2即可).

根据题意，利用正弦定理求解.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

17.【答案】解:(1)va=(-3,1),b=(1,-2)，

[2a+b=(-5,0)<

•••向量沅与2五+E共线，二(一5)*(4-3)=0*1,解得k=3.

(2)•••m=(1,0),m-b=lxl+(-2)x0=1-\b\=V-5，

.7—理^fA')—1Afl-2)

,C历I(历P5b=(5，5〉

【解析】(1)根据向量共线的坐标表示列式求解；

(2)根据投影向量的定义求解.

本题主要考查投影向量的求解，属于基础题.

18.【答案】解：(1)若bs讥24=asinB,由正弦定理得，2sinBs讥4cos4=sinAsinB,

vsinBH0,sinA。0,:.cosA=

v0<>1<7T,•••A=•

(2)若选①，由福•前=2，得bccosA=2,则be=4,

又余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA,即炉+c2=8,

・••联立解得b=c=2.

若选②，由△力8C的面积为，得:besi/M=即be=4,

222

又余弦定理得Q2=h+c—2bccosA,即/+c=8,

・••联立解得b=c=2.

若选③，设边BC上的中点为D,

A

则而=；(而+硝,

1

索

宿2

-+

4-=［（482+而+2荏.硝=（女）2,

-(b2+er?+2bccosA)=3,BP62+c2+he=12,

又余弦定理得小=b2+c2-2bccosA,即Z)2+c?—be=4,

・••联立解得b=c=2.

【解析】(1)由正弦定理化边为角即可得解；

(2)若选①，由数量积运算和余弦定理列式求解；若选②，由三角形面积公式和余弦定理得列式

求解；若选③，设边BC上的中点为。，则而=*荏+前)，两边平方，由数量积运算和余弦定

理列式求解.

本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴因为f(%)=sinxeos%+I5sin?%——=^sin2x——cos2x=sin(2x—»

所以T=y=7T.

(2)函数g(x)=/(x)-a在/扪上有零点，可转化为Q=/(%)在g,可上有解，

由⑴知f(x)=sin(2x-》因为xe百可，所以勿_江借，争,

由y=s讥x图像与性质知，当2x*6笆卷］,即少€碍,炒时,/(x)=sin(2x-今单调递减，

当2x—江卷片］,即xe［矍,扪时,当x)=sin(2x-今单调递增,

又照)=siny=?，/(需)=siny=-1,f(n)=sin：=一?，

故函数g(x)=/'(x)-a在g,可上有零点时，则ae［一1,?卜

【解析】(1)由二倍角公式降幕，由两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然

后可求周期；

(2)将题设转化为a=f(x)在g,扪上有解，确定f(x)在生扪上的单调性，即可求出实数a的取值范

围.

本题主要考查三角恒等变换，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)频率分布直方图如下：

，频率/组距

3.2....................j—1

2.6--------|»i

2.0....................

|.0***T*"",•••,••••,•••---

0.2|-1IIIII_

o0.10.20.30.40.50.611用水量/n?

⑵易知使用了节水龙头50天的日均用水量1=象1x0.05+5x0.15+13x0.25+10x0.35+

16x0.45+5x0.55)=0.35m3,

则使用了节水龙头1年的平均用水量为365x0.35=127.75m3,

因为居民用水费用为3.09元/63,

所以1年能节省674.5-127.75x3.09=279.7525元.

【解析】(1)由题意，根据频率分布表所给信息以及频率分布直方图的概念进行作图；

(2)结合频率分布直方图求出日均用水量，再列出等式求解即可.

本题考查频率分布表，考查了数据分析和运算能力.

21.【答案】解：(1)证明：由图知DELAE,DE1BE,

而4EnBE=E,

所以4E_L平面AEB,

又因为4Eu平面ACE,

所以可证得：平面AED1•平面力EB；

(2)解：BE=2CD,F是EB中点，所以四边形CDFB为矩形，

【解析】(1)由。E14E,DE1BE,可得DE_L平面4EB,进而得出结论；

(2)延长与BC交于点G,在平面AED内过G作GH〃力D,且=AD,可证得平面CGH,DF/

/平面CGH,从而平面4D/7/平面CGH,由题意，可得点P在直线GH上，可求得结论.

(1)证明见解析；

(2)存在，证明见解析.

.【答案】解：(因为函数+巾-的图象关于原点对称，

221)f(x)=2*2-*XER,

所以“X)是R上的奇函数，

所以/(0)=1+m=0>

解得m=-1,