分数函数y=1.x(21x-1)性质及函数图像画法步骤

分数函数y=eq\f(1,x(21x-1))主要性质归纳主要内容：介绍分数函数y=eq\f(1,x(21x-1))的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间，综合函数性质画出该函数图像的示意图。函数定义域及值域：因为y=eq\f(1,x(21x-1))，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量应满足：x≠0且21x-1≠0，即：x≠eq\f(1,21)≈0.047，所以函数的定义域为:(-∞，0)，(0，eq\f(1,21))，（eq\f(1,21)，+∞）。由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。函数的单调性：由y=eq\f(1,x(21x-1))，对x求导得：eq\f(dy,dx)=-eq\f((21x-1)+x*21,[x(21x-1)]2),eq\f(dy,dx)=-eq\f(42x-1,[x(21x-1)]2),令eq\f(dy,dx)=0，则42x-1=0,即x=eq\f(1,42)≈0.023.判断函数的单调性如下：(1)当x∈(-∞,0)，(0,0.023)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数y为增函数。(2)当x∈[0.023,0.047),(0.047,+∞)时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数y为减函数。函数的凸凹性：由eq\f(dy,dx)=-eq\f(42x-1,[x(21x-1)]2)，再次对x求导得，eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(42[x(21x-1)]2-2(42x-1)[x(21x-1)](21x-1+21x),[x(21x-1)]4)=-eq\f(42[x(21x-1)]-2(42x-1)(21x-1+21x),[x(21x-1)]3)=-2*eq\f(21x(21x-1)-(42x-1)2,[x(21x-1)]3)=2*eq\f(1323x2-63x+1,[x(21x-1)]3),对g(x)=1323x2-63x+1,其判别式为：△=632-4*1323*1<0,即g(x)图像与x轴无交点，则g(x)>0,可知，eq\f(d2y,dx2)的符号取决于分母，此时有：(1)当x∈(-∞，0)，（eq\f(1,21)，+∞）时，eq\f(d2y,dx2)>0，此时函数y为凹函数；(2)当∈(0，eq\f(1,21))时，eq\f(d2y,dx2)<0,此时函数y为凸函数。函数的极限:Lim(x→-∞)eq\f(1,x(21x-1))=0，Lim(x→0-)eq\f(1,x(21x-1))=-∞，Lim(x→0+)eq\f(1,x(21x-1))=+∞，Lim(x→+∞)eq\f(1,x(21x-1))=0，函数的奇偶性因为f(x)=eq\f(1,x(21x-1)),所以f(-x)=eq\f(1,(-x)[21(-x)-1])，即：f(-x)=-eq\f(1,x(-21x-1))≠-f(x)，且f(-x)≠f(x)。所以函数既不是奇函数也不是偶函数。函数五点图表x-0.004-0.009-0.019-0.028-0.038x(21x-1)0.00430.01070.02650.04440.0683y232.5593.45737.73522.52214.641x0.03800.03090.02380.01420.0047x(21x-1)-0.007-0.010-0.011-0.009-0.004y-142.8-100-90.90-111.1-250x0.05710.06660.07610.08570.095