基于树链剖分的动态规划

1/1基于树链剖分的动态规划第一部分树链剖分的概念与应用 2第二部分树链剖分的实现与复杂度分析 4第三部分基于树链剖分的动态规划思想 6第四部分计算树形结构中路径相关信息的技巧 9第五部分树链剖分在最长公共子序列问题中的应用 13第六部分树链剖分在最长公共子串问题中的应用 15第七部分树链剖分在最长上升子序列问题中的应用 18第八部分树链剖分在树上背包问题中的应用 20

第一部分树链剖分的概念与应用关键词关键要点树链剖分的基础

1.树链剖分的定义：一种将树形结构分解为不重叠路径的方法，每个路径称为一条“重链”。

2.重链和轻链的概念：重链是指经过最多节点的路径，而轻链则是与重链相连的较短路径。

3.树链剖分算法：利用深度优先搜索（DFS）计算重链和轻链，并对其进行连接，形成树剖结构。

树链剖分在动态规划中的应用

1.路径查询：树链剖分可以高效地查询树中两个节点之间的路径信息，如路径长度、路径上节点的权重和。

2.子树查询：树链剖分可以高效地查询树中某个节点的子树信息，如子树大小、子树中节点的权重和。

3.动态规划算法加速：树链剖分可以将动态规划算法在树形结构上的时间复杂度优化为O(logn)，其中n为树的节点数。树链剖分的概念

树链剖分是一种树形结构分解技术，它将一棵树分解为多个链，使得在这些链上进行动态规划运算更有效率。树链剖分的目标是将树的每个结点分配到一个链上，使得每个链保持平衡，并且每个结点最多属于一个链。

树链剖分的实现

树链剖分算法分两步进行：

1.重链剖分：通过计算树的重心来剖分树。重心是树中与其他结点最远的结点。将重心及其与父结点之间的边作为重链。递归地将剩余的树剖分为重链，直到所有结点都被分配到重链上。

2.轻边剖分：将重链之间未分配到重链的边称为轻边。将每个轻边与其端点中在重链上的结点相连接，形成轻子树。

树链剖分的应用

树链剖分在动态规划中有着广泛的应用，特别适用于在树形结构上解决区间查询和修改问题。以下是树链剖分的一些常见应用：

1.区间查询

在树链剖分后，我们可以使用链上二分法或线段树等数据结构对链上的区间进行高效查询。例如，我们可以查询某一区间内的结点的最大值或和。

2.区间修改

通过使用lazypropagation技术，我们可以对树链剖分后的链进行区间修改。例如，我们可以更新某一区间内所有结点的权重或标记。

3.最近公共祖先查询

树链剖分可以高效地计算两结点的最近公共祖先(LCA)。通过将两结点之间的路径分解为重链和轻边，我们可以快速找到LCA。

4.LCA问题动态规划

在树链剖分后的树上，我们可以使用动态规划解决一些LCA问题。例如，我们可以计算树中所有结点对之间的LCA。

5.树形动规

树链剖分可以将其应用于树形动规问题，例如最大团问题、背包问题等。通过将树剖分成链，我们可以使用动态规划来高效地解决这些问题。

树链剖分复杂度分析

树链剖分的复杂度主要取决于树的大小和剖分后的链的长度。

*预处理复杂度：O(nlogn)，其中n是树的结点数。

*查询复杂度：O(logn)，其中n是树的结点数。

*修改复杂度：O(logn)，其中n是树的结点数。

树链剖分优势

*有效率的区间查询和修改：树链剖分可以高效地处理树形结构上的区间查询和修改操作。

*LCA计算：树链剖分提供了快速计算LCA的方法。

*广泛的应用：树链剖分在动态规划、图论等领域有着广泛的应用。

树链剖分局限性

*仅适用于树形结构：树链剖分仅适用于树形结构，不能应用于其他类型的图。

*预处理消耗：树链剖分的预处理需要O(nlogn)的时间，当树很大时可能比较昂贵。第二部分树链剖分的实现与复杂度分析树链剖分的实现与复杂度分析

简介

树链剖分是一种经典的树形结构动态规划技术，它将一棵树划分为若干条链，使得每个节点只属于一条链。这种划分使得动态规划操作可以在部分链上进行，大大降低了时间复杂度。

实现

树链剖分算法通常采用深度优先搜索（DFS）进行。主要步骤如下：

1.重链剖分：从树根出发逐层进行DFS，寻找每条链上权值最大的子树，称为重子树。重子树的父节点所在链称为重链。

2.轻链剖分：对于非重子树，递归地继续DFS，将其划分为轻链。轻链上的节点都属于父节点所在重链。

3.链的编号：为每条重链分配一个编号，使其上的节点都具有相同的链号。

4.虚子树剖分：对于重链上每个节点，记录其子树中不属于重链的节点。这些节点称为虚子树。

复杂度分析

树链剖分的复杂度主要取决于树的结构和动态规划操作的复杂度。

时间复杂度：

*剖分时间：O(NlogN)，其中N为树的节点数。

*查询时间：O(logN)，对于每个查询，需要遍历O(logN)条链。

*修改时间：O(logN)，类似于查询时间。

空间复杂度：

*O(N)，存储树的结构和链信息。

优化

为了进一步降低复杂度，可以采用以下优化策略：

*启发式重链选择：使用启发式算法来选择权值更大的子树作为重子树，从而减少链的总长度。

*链上的并查集：将链上的节点用并查集维护，可以优化修改操作。

*在线剖分：在动态修改的情况下，采用在线算法逐步剖分树。

应用

树链剖分广泛应用于树形结构的动态规划问题中，例如：

*树上最长路径

*树上子树异或和

*树上距离问题

*树形DP

*树上维护序列

总结

树链剖分是一种高效的动态规划技术，通过将树划分为若干条链，可以显著降低时间复杂度。其实现基于深度优先搜索，并通过选择重子树和轻链来划分树。树链剖分具有广泛的应用，特别适用于树形结构的动态规划问题。第三部分基于树链剖分的动态规划思想关键词关键要点主题名称：树链剖分

1.将原树划分为若干条链，保证每条链上的所有节点都经过同一条最长路径。

2.将每条链上除端点外的节点保存到一个数组中，并维护数组中相邻节点间的最短路径。

3.对每条链应用线段树或树状数组等数据结构进行动态规划。

主题名称：动态规划

基于树链剖分的动态规划思想

引言

树形结构在计算机科学中无处不在，例如文件系统、XML文档和网络拓扑。解决树形问题的一种常见技术是基于树链剖分的动态规划，它是一种将树分解为链和重链的过程，以优化动态规划算法的时间复杂度。

概念

1.链和重链

*链：一条子树中所有节点深度连续的路径。

*重链：一条子树中儿子结点数最多的链。

2.树链剖分

树链剖分是一种将树分解为链和重链的过程，算法步骤如下：

*对树进行DFS，计算每个节点的子树大小和重儿子。

*从根节点开始，依次处理每个重链。

*在处理重链时，将重链上的所有节点添加到一条新的链中。

*重复步骤2和3，直到所有重链都被处理。

动态规划算法优化

基于树链剖分的动态规划可以将动态规划算法的时间复杂度从O(n²)优化到O(nlogn)。通过以下两种技术实现：

1.路径压缩

路径压缩技术将一个节点的祖先节点直接连接到根节点，从而减少了从一个节点到另一个节点的查询次数。

2.轻重链分解

轻重链分解技术将树分解为轻链和重链，轻链上的操作复杂度为O(logn)，重链上的操作复杂度为O(n)。

算法步骤

基于树链剖分的动态规划算法步骤如下：

*初始化：树链剖分树，计算每个节点的深度、子树大小、重儿子和轻重边。

*预处理：在每个重链上运行动态规划算法，计算重链上每个节点的状态和转移值。

*查询：给定两个节点v和u，通过路径压缩找到它们的最近公共祖先w。

*上升：从v和u沿重链向上遍历，计算每条重链上的状态和转移值。

*跨越：如果w不是v和u的最近公共祖先，则计算w的重儿子链上子树的贡献。

*下降：从w沿轻链向下遍历，计算每个轻链上状态和转移值。

*合并：合并v和u路径上的状态和转移值，得到最终结果。

应用场景

基于树链剖分的动态规划广泛应用于各种树形问题，包括：

*最长路径

*最短路径

*最大子树

*点权和

*区间求和

优点

基于树链剖分的动态规划具有以下优点：

*时间复杂度优化：从O(n²)优化到O(nlogn)。

*内存占用优化：仅需要存储树链剖分信息和重链上的动态规划状态。

*算法效率高：路径压缩和轻重链分解技术显著提高了算法效率。

局限性

基于树链剖分的动态规划也存在一些局限性：

*仅适用于树形结构。

*树形结构发生改变时，需要重新计算树链剖分信息。

*动态规划算法的复杂度可能会受到重链长度的影响。

总结

基于树链剖分的动态规划是一种优化树形问题的动态规划算法，通过将树分解为链和重链并采用路径压缩和轻重链分解技术，将时间复杂度从O(n²)优化到O(nlogn)。该算法广泛用于解决各种树形问题，具有时间复杂度优化、内存占用优化和算法效率高的优点。第四部分计算树形结构中路径相关信息的技巧计算树形结构中路径相关信息的技巧

前言

树形结构广泛应用于计算机科学和网络分析等领域，对其中路径相关信息的计算往往至关重要。基于树链剖分的动态规划是一种高效的算法，可解决此类问题。本文将深入探讨利用树链剖分计算树形结构中路径相关信息的技巧。

树链剖分

树链剖分将树划分为一系列链，称为重链，并记录重链的祖先节点和子树大小。重链的定义如下：

-重子节点：每个非根节点的子节点中，子树大小最大的子节点称为重子节点。

-重边：连接节点与其重子节点的边称为重边。

-重链：从根节点出发，依次连接重边形成的路径称为重链。

节点与链的编号

树链剖分对节点和链进行编号：

-节点编号：根节点编号为1，其他节点编号满足子节点编号大于父节点编号。

-链编号：每个重链分配一个唯一的编号。

存储重链信息

为了快速查询路径相关信息，树链剖分使用数据结构来存储以下信息：

-Parent[i]：记录节点`i`的父节点。

-Size[i]：记录节点`i`的子树大小。

-Chain[i]：记录节点`i`所在的重链编号。

-Top[i]：记录节点`i`所在重链的顶端节点。

-Depth[i]：记录节点`i`的深度。

查询路径信息

通过树链剖分，我们可以快速查询以下路径相关信息：

#1.路径上所有节点的信息

给定路径上的两个节点`u`和`v`：

-时间复杂度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重链。

2.如果重链相同，直接输出。

3.如果不同，先输出`u`到重链顶端的路径，再输出`v`到重链顶端的路径，最后输出重链顶端节点。

#2.路径和

给定路径上的两个节点`u`和`v`：

-时间复杂度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重链。

2.如果重链相同，直接输出从`u`到`v`的路径和。

3.如果不同，将`u`所在的重链和`v`所在的重链的顶端节点加入路径中，再计算路径和。

#3.路径信息更新

给定路径上的两个节点`u`和`v`：

-时间复杂度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重链。

2.如果重链相同，直接对路径信息进行更新。

3.如果不同，先将`u`所在的重链和`v`所在的重链的顶端节点加入路径中，再对路径信息进行更新。

#4.路径最大值/最小值

给定路径上的两个节点`u`和`v`：

-时间复杂度：O(logn)

-算法：

1.找出`u`和`v`所在的重链。

2.如果重链相同，直接在路径上查找最大/最小值。

3.如果不同，将`u`所在的重链和`v`所在的重链的顶端节点加入路径中，再在路径上查找最大/最小值。

应用

树链剖分算法广泛应用于计算树形结构中路径相关信息，包括：

-路径和

-路径最大/最小值

-路径上的节点总数

-路径上的边总数

-路径上的特定子树大小

-路径上的特定子树和第五部分树链剖分在最长公共子序列问题中的应用树链剖分在最长公共子序列问题中的应用

最长公共子序列（LCS）问题是指在给定的两个序列中找到最长的子序列，该子序列既出现在第一个序列中，又出现在第二个序列中。LCS问题在生物信息学、文本编辑和数据压缩等应用中有着广泛的用途。

树链剖分

树链剖分是一种算法技术，它将一个树分解为多个链条，这些链条在查询和更新操作中可以快速访问。它通过以下步骤进行：

1.重链分解：将树中的边赋予权重，权重为子树的大小。然后，从每个结点出发，沿子树权重最大的路径进行深度优先搜索（DFS）。这将树分解为一组链。

2.轻链重构：对于每个重链中的结点，将其连接到它在重链中父亲结点的子树中权重最大的子结点。这将创建一组轻链，它们连接重链。

LCS树链剖分

利用树链剖分可以高效地解决LCS问题：

1.预处理：将给定的两个序列表示为一棵树。每个序列中的字符作为一个结点，具有权重1。

2.树链剖分：对这棵树执行树链剖分，将树分解为重链和轻链。

3.动态规划：在重链上使用动态规划来计算LCS。对于每条重链，将其分解为路径，路径上的每个结点都存储其子树的LCS信息。

4.轻链合并：对于每条轻链，将其连接到其父亲结点在重链中的子结点。然后，根据父亲结点的LCS信息和轻链上的LCS信息合并LCS。

算法步骤：

1.对表示序列的树执行树链剖分。

2.对于每个重链：

-从顶部结点向下进行DFS，计算子树的LCS信息。

-从底部结点向上进行DFS，合并LCS信息。

3.对于每个轻链：

-将轻链连接到其父亲结点在重链中的子结点。

-根据父亲结点的LCS信息和轻链上的LCS信息合并LCS。

4.在树的根结点处，找到LCS的长度和内容。

复杂度分析：

树链剖分LCS算法的时间复杂度为O(Nlog^2N)，其中N是两个序列中字符的总数。

优点：

*对于稀疏树（即边数远少于结点数量的树），该算法非常高效。

*该算法可以处理具有动态变化的序列的LCS问题。

局限性：

*对于稠密树，该算法可能不太高效。

*该算法不能直接处理有重复字符的序列。

应用：

树链剖分LCS算法已广泛应用于生物信息学、文本编辑和数据压缩等领域：

*生物信息学：比较蛋白质或DNA序列以查找相似性和突变。

*文本编辑：识别文本块之间的差异。

*数据压缩：通过查找重复的子字符串来压缩数据。第六部分树链剖分在最长公共子串问题中的应用基于树链剖分的动态规划在最长公共子串问题中的应用

引言

最长公共子串（LCS）问题是计算给定两个字符串的最长公共子串的长度。这个问题在许多应用中都有重要意义，例如字符串比较、文本挖掘和生物信息学。

树链剖分

树链剖分是一种数据结构，它将树形结构分解为一系列链，方便快速查询树上的信息。每个链称为重链，它从根节点延伸到叶节点，包含树中最大的子树。通过连接重链的端点，我们可以形成一条从根节点到叶节点的路径，称为轻边。

LCS问题中的树链剖分

在树上解决LCS问题时，我们可以利用树链剖分来优化动态规划算法。通过将每个子树视为一条链，我们可以将问题分解为多个较小的子问题。

算法

我们首先使用树链剖分将树分解为重链和轻边。然后，我们使用动态规划算法为每条重链计算LCS结果。对于每条重链，我们定义一个二维数组`dp[i][j]`，其中`i`和`j`表示重链上两个节点。`dp[i][j]`中的值存储子树`i`到子树`j`的最长公共子串长度。

动态规划递推方程

对于每条重链，我们可以使用以下递推方程计算`dp[i][j]`：

```

dp[i][j]=max(

dp[i][p[j]],//查询重链上i到p[j]的LCS

dp[q[i]][j],//查询重链上q[i]到j的LCS

dl(i,j)//查询轻边上i到j的LCS

)

```

其中，`dl(i,j)`是轻边`(i,j)`上的LCS长度，`p[j]`是`j`在重链上的父节点，`q[i]`是`i`在重链上的子节点。

查询LCS

一旦我们计算了每条重链上的LCS结果，我们就可以使用树链剖分快速查询树上两点之间的LCS长度。对于给定的两点`u`和`v`，我们可以找到包含它们的重链`chain_u`和`chain_v`。然后，我们可以使用以下公式计算`u`和`v`之间的LCS长度：

```

dp[lca(chain_u,chain_v)][lca(chain_u,chain_v)]

```

其中，`lca`函数返回两条重链的最近公共祖先。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为`O(nlogn)`，其中`n`是树中的节点数。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为`O(nlogn)`，其中`n`是树中的节点数。

示例

考虑下图中的树：

```

1

/\

23

/\/\

4567

```

如果我们希望找到节点4和6之间的LCS长度，我们可以：

1.找到包含节点4和6的重链：`chain_4=(1,2,4)`和`chain_6=(1,3,6)`。

2.计算重链上LCS结果：`dp[(1,2,4)]=1`、`dp[(1,3,6)]=2`。

3.查询`dp[(1,3,6)]`，得到LCS长度为2。

结论

基于树链剖分的动态规划可以有效解决树上的最长公共子串问题。该算法具有`O(nlogn)`的时间复杂度和空间复杂度，使其适用于处理大规模树结构上的LCS问题。第七部分树链剖分在最长上升子序列问题中的应用关键词关键要点【树链剖分基本原理】：

1.树链剖分是一种在树型结构上进行预处理的技术，将树上的点拆分成多条链并用重链和轻链连接。

2.重链是子树大小最大的那条链，轻链是其他子树形成的链。

3.通过树链剖分，可以将树上的路径查询问题转化为链上查询问题，提高效率。

【树链剖分的DP应用】：

树链剖分在最长上升子序列问题中的应用

引言

树链剖分是一种数据结构，可用于对树形结构中的节点进行高效查询和修改。当应用于最长上升子序列（LIS）问题时，树链剖分可以显著提高动态规划解法的效率。

什么是LIS问题？

树链剖分算法

树链剖分算法将树分解为链的集合，称为重链。每个重链都由一组相邻的节点组成，这些节点具有相同的父节点。重链的长度定义为链中节点数的最大值。

树链剖分算法从树的根节点开始，通过以下步骤构建重链：

1.找到根节点的子节点中权重最大的子节点（即子树中节点个数最多的子节点）。

2.从根节点到该子节点的路径形成重链。

3.以该子节点为根节点，对剩下的子树重复步骤1和2。

LIS问题中的树链剖分

利用树链剖分，可以将LIS问题分解为一系列更小的子问题，每个子问题对应于树的一条重链。

子问题1：在重链上求最长上升子序列

这一步是LIS问题的核心。对于重链上的每个节点，计算以该节点结尾的最长严格递增序列的长度`lis[node]`:

```

lis[node]=max_val+1

其中max_val=在node的子树中，且在重链上位于node之前的节点的lis值

```

子问题2：在重链之间求最长上升子序列

这一步考虑重链之间的节点。对于重链之间的每个节点，计算以该节点结尾的最长不严格递增序列的长度`lns[node]`:

```

lns[node]=max(lis[node],lns[node.parent])

```

总LIS长度

树的根节点的`lns`值就是整个树的最长上升子序列的长度。

复杂度分析

树链剖分在最长上升子序列问题中的应用具有以下复杂度：

*预处理（树链剖分）：O(NlogN)

*查询（求LIS长度）：O(logN)

应用场景

树链剖分在LIS问题中的应用特别适用于具有层次结构的数据，例如文件系统或社交网络。它在这些情况下可以显著提高动态规划解法的效率。

结论

树链剖分是一种强大的数据结构，可用于高效解决LIS问题。它将问题分解为一系列更小的子问题，并允许通过动态规划在重链上快速计算出答案。对于具有层次结构的数据，树链剖分是一种非常有效的解决LIS问题的工具。第八部分树链剖分在树上背包问题中的应用关键词关键要点【树链剖分在树上背包问题中的应用】

主题名称：树链剖分简介

1.树链剖分是一种树形结构上的数据结构，将树形结构分解成一条条链。

2.分解方法：对树进行dfs，找到每条链上的重儿子，然后将重儿子作为子树的根，递归执行这一过程。

3.树链剖分可以有效地回答树形结构上的链查询问题，时间复杂度为O(nlogn)。

主题名称：动态规划状态定义

基于树链剖分的动态规划：树上背包问题中的应用

引言

树链剖分是一种经典的树形结构数据结构，可将树分解为一系列链或路径，称为重链。它在解决树上背包问题中发挥着至关重要的作用，该问题涉及在树中为每个节点分配一个权重，以最大化从根节点到树中所有节点的权重总和。

树链剖分

树链剖分将树分解为重链和轻链。重链是子树中边数最多的链，而轻链是子树中边数较少的链。通过以下过程构造树链剖分：

1.初始化：将根节点指定为一个重链，并将其子节点连接到该重链。

2.遍历子树：依次遍历根节点的每个子树。

3.选择重儿子：为每个子树选择具有最大子树大小的儿子，并将其连接到当前重链中。

4.递归：对每个重儿子递归执行步骤2和3。

树上背包问题

树上背包问题可以描述为：给定一棵树，其中每个节点具有一个权重，选择树中的一个子集，使得这些节点的总权重最大化，但子集中的节点不能在同一重链上。

基于树链剖分的动态规划

利用树链剖分，树上背包问题可以使用动态规划解决。

动态规划状态

```

dp[i][j]=最大权重和，其中i为当前节点，j为当前节点在重链上的位置

```

状态转移方程

考虑两个子问题：

1.选择节点：选择当前节点并将其权重添加到背包中：

```

dp[i][j]=dp[i][j]+weight[i]

```

2.不选择节点：不选择当前节点，并从其父节点的重链上继承最大权重和：

```

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[parent[i]][j-1])

```

其中，`weight[i]`是节点`i`的权重，`parent[i]`是节点`i`的父节点。

计算顺序

为了有效地计算动态规划状态，按照以下顺序遍历树：

1.从根节点开始，遍历每条重链。

2.对于每个重链，从链底向上遍历节点。

3.对于每个节点，使用状态转移方程计算`dp[i][j]`。

复杂度分析

树链剖分の复杂度为O(NlogN)，其中N是树中节点的数量。动态规划的复杂度为O(NlogN)，因为每个节点最多在每条重链上出现一次。因此，总的复杂度为O(NlogN)。

示例

考虑一棵具有以下权重的树：

```

10

/\

215

/\|

134

```

使用树链剖分，可以将树分解为两条重链，如下图所示：

```

10

/\

215

/\|

134

/-^-^-^-

/\

14

```

按照上述顺序计算动态规划状态，可以得到以下结果：

```

dp[1][1]=10

dp[2][1]=11

dp[2][2]=14

dp[3][1]=15

dp[4][1]=19

dp[4][2]=23

```

因此，树上背包问题的最大权重和为`dp[4][2]=23`，它对应于选择节点1、2、3和4。

结论

树链剖分在树上背包问题中提供了有效且高效的动态规划解决方案。通过将树分解为重链，它允许以O(NlogN)的复杂度解决问题。树链剖分广泛应用于其他树形结构问题，例如最长路径和欧拉回路。关键词关键要点【树链剖分的基础】

关键要点：

1.树链剖分是一种将树形结构划分为链条的算法，以便于在树形结构上进行动态规划。

2.剖分后的链条称为重链，而连接重链的链条称为轻链。

3.重链是树中最大的边权和子树，而轻链是树中次大的边权和子树。

【树链剖分的实现】

关键要点：

1.树链剖分可以通过深度优先搜索（DFS）算法实现。

2.DFS算法首先找出重链，然后递归地将子树划分为链条。

3.剖分后的树形结构可以用一种称为树链剖分树（简称SPT）的数据结构表示。

【树链剖分的复杂度分析】

关键要点：

1.树链剖分的预处理复杂度为O(nlogn)，其中n为树中节点数。

2.查询复杂度为O(logn)，其中n为树中节点数。

3.因此，树链剖分是一种高效的算法，可以在树形结构上进行动态规划。

【树链剖分的应用】

关键要点：

1.树链剖分可以用于解决许多树形结构上的动态规划问题。

2.典型的应用包括最长路径问题、最短路径问题和最大子树和问题。

3.树链剖分可以显著降低这些问题的复杂度，使其可以在较大的树形结构上有效解决。

【树链剖分的扩展】

关键要点：

1.树链剖分可以扩展用于解决带权树形结构上的问题。

2.通过引入权重和修改算法，树链剖分可以用于解决诸如最小生成树和最大权独立集等问题。

3.扩展后的树链剖分算法可以高效地解决具有附加约束条件的树形结构上的动态规划问题。

【树链剖分的趋势和前沿】

关键要点：

1.树链剖分算法的并行化是当前研究的一个热点。

2.研究人员正在探索使用多线程和并行数据结构来提高树链剖分的性能。

3.树链剖分算法的进一步扩展和优化也备受关注，以解决更复杂和具有挑战性的树形结构上的问题。关键词关键要点主题名称：树上差分

关键要点：

1.将路径信息分解为子树信息和子树间的差分信息，从而转化为对子树和差分信息的动态规划。

2.通过子树信息的递推和差分信息的更新，高效计算两点之间的路径信息。

3.适用于计算路径和、路径长度、路径最大值等路径相关信息。

主题名称：树上启发式合并

关键要点：

1.采用启发式策略对树形结构进行预处理，合并相邻的子树形成更大的子树。

2.通过合并子树，减少子树的个数，降低动态规划的时间复杂度。

3.适用于子树信息之间具有关联关系的场景，如计算子树中节点的祖先数、子树中节点的子树大小等。

主题名称：轻重链剖分

关键要点：

1.将树形结构剖分为重链和轻链，重链表示子树中最长的路径，轻链表示子树中较短的路径。

2.通过轻重链剖分，将动态规划问题分解为重链上的动态规划和轻链上的区间查询。

3.适用于计算跨越多个重链的路径信息，如计算树形结构中两点之间的距离、两点之间的路径中经过的节点数等。

主题名称：动态树

关键要点：

1.将动态规划问题与树形结构的动态更新相结合，实时维护树形结构上的路径信息。

2.通过维护树形结构的动态修改，实现路径信息的快速更新，避免重新进行全局的动态规划。

3.适用于处理树形结构频繁修改的场景，如计算树形结构中动态添加或删除边后两点之间的距离、路径等。

主题名称：圆方树

关键要点：

1.将树形结构转化为圆方树结构，其中圆点表示子树，方点表示连接子树的边。

2.通过在圆方树上进行动态规划，解决原树形结构上的路径查询问题。

3.适用于处理树形结构中频繁查询子树间路径信息的场景，如计算两子树的