如何应对高考数学函数单调性解析

如何应对高考数学函数单调性解析函数单调性是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中的常见考点。掌握函数单调性的性质、判定方法和应用对于解决高考数学题目具有重要意义。本文将从以下几个方面解析如何应对高考数学函数单调性解析。一、函数单调性的定义和性质1.1定义函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。具体来说，如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)（函数单调递增），或者当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)（函数单调递减），那么我们就称函数f(x)在定义域上具有单调性。1.2性质（1）如果函数f(x)在定义域上单调递增，那么对于定义域上的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)。（2）如果函数f(x)在定义域上单调递减，那么对于定义域上的任意两个实数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≥f(x2)。（3）如果函数f(x)在定义域上具有单调性，那么它的一阶导数f’(x)在定义域上非零。（4）如果函数f(x)在定义域上具有单调性，那么它在其单调区间内连续。二、函数单调性的判定方法2.1图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的单调性。如果函数图像随着x的增大而逐渐上升，则函数单调递增；如果函数图像随着x的增大而逐渐下降，则函数单调递减。2.2导数法利用函数的导数判断函数的单调性。如果函数f(x)在定义域上可导，且导数f’(x)>0（f’(x)在定义域上非零），则函数f(x)单调递增；如果导数f’(x)<0，则函数f(x)单调递减。2.3闭区间上的单调性定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在区间内部可导，那么f(x)在该区间上单调递增或单调递减的充分必要条件是f’(x)在该区间上非零。三、函数单调性的应用3.1求函数的最值如果函数f(x)在定义域上单调递增，那么函数的最小值出现在定义域的左端点；如果函数f(x)在定义域上单调递减，那么函数的最大值出现在定义域的右端点。3.2解不等式对于不等式f(x)>0或f(x)<0，可以通过分析函数的单调性来求解。如果函数f(x)在某个区间上单调递增，那么在该区间上f(x)>0或f(x)<0的解集为一个区间；如果函数f(x)在某个区间上单调递减，那么在该区间上f(x)>0或f(x)<0的解集为两个区间的并集。3.3函数的复合如果函数f(x)和g(x)在某个区间上单调性相同，那么函数(f°g)(x)在该区间上单调递增；如果函数f(x)和g(x)在某个区间上单调性相反，那么函数(f°g)(x)在该区间上单调递减。四、高考数学函数单调性解析策略4.1熟悉基本函数的单调性掌握基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的单调性，对于解决高考数学题目具有重要意义。4.2学会使用导数法判断单调性在高考数学题目中，导数法是判断函数单调性的常用方法。熟练掌握导数法，能够快速准确地判断函数的单调性。4.3注意函数单调性与其他知识点的结合在##例题1：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+27的单调递增区间。（1）求导数f’(x)=3x^2-6x-9；（2）令f’(x)>0，解不等式3x^2-6x-9>0，得到x<-1或x>3；（3）函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞)。例题2：求函数f(x)=ln(x^2-4x+3)的单调递增区间。（1）令t=x^2-4x+3，求导数t’=2x-4；（2）令t’>0，解不等式2x-4>0，得到x>2；（3）因为y=ln(t)，所以当t>1时，y单调递增；（4）函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞)。例题3：已知函数f(x)=x^2+ax+b在区间[-1,1]上单调递减，求a的取值范围。（1）求导数f’(x)=2x+a；（2）因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减，所以f’(x)在区间[-1,1]上非正；（3）解不等式2x+a≤0，得到a≤-2；（4）所以a的取值范围为a≤-2。例题4：已知函数f(x)=x^3-6x+9在区间[0,+∞)上单调递增，求f’(x)的最小值。（1）求导数f’(x)=3x^2-6；（2）因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以f’(x)在区间[0,+∞)上非负；（3）当x=0时，f’(x)取得最小值-6；（4）所以f’(x)的最小值为-6。例题5：求函数f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2在区间[1,2]上的单调性。（1）展开函数f(x)，得到f(x)=2x^2-6x+5；（2）求导数f’(x)=4x-6；（3）令f’(x)>0，解不等式4x-6>0，得到x>3/2；（4）因为1≤x≤2，所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减。例题6：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的最小值。（1）配方，得到f(x)=(x-2)^2-1；（2）因为函数在区间(-∞,2]上单调递减，在区间[2,+∞)上单调递增，所以函数的最小值出现在x=2；（3）代入x=2，得到函数的最小值为-1。例题7：已知函数f(x)=2x^3-3x^2-x+1，求函数在区间[-1,1]上的最大值。（1）求导数f’(x)=6x^2-6x-1；（2）令f’(x)=0，解方程6x^2-6x-1=0，得到x=(3±√19)/6；（3）因为函数在区间[-1,1]上单调递减，所以函数的最大值出现在x=-1；（4）代入x=-1，##例题8：（2019全国卷II）已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)在区间[-1,1]上的单调性。（1）求导数f’(x)=3x^2-3；（2）因为f’(x)=3(x^2-1)，所以f’(x)在区间[-1,1]上小于0；（3）所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减。例题9：（2018全国卷I）已知函数f(x)=ln(x)-x^2+1，求f(x)在区间(0,+∞)上的单调性。（1）求导数f’(x)=1/x-2x；（2）因为f’(x)=(1-2x^2)/x，所以f’(x)在区间(0,+∞)上小于0；（3）所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减。例题10：（2017全国卷III）已知函数f(x)=x^3-6x+9，求f(x)在区间[-1,+∞)上的单调性。（1）求导数f’(x)=3x^2-6；（2）因为f’(x)=3(x^2-2)，所以f’(x)在区间[-1,+∞)上非负；（3）所以f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增。例题11：（2016全国卷II）已知函数f(x)=x^2+2ax+a^2-1，求f(x)的单调递增区间。（1）求导数f’(x)=2x+2a；（2）令f’(x)>0，解不等式2x+2a>0，得到x>-a；（3）函数f(x)的单调递增区间为(-a,+∞)。例题12：（2015全国卷I）已知函数f(x)=ln(x)-x，求f(x)在区间(0,1)上的单调性。（1）求导数f’(x)=1/x-1；（2）因为f’(x)=(1-x)/x，所以f’(x)在区间(0,1)上大于0；（3）所以f(x)在区间(0,1)上单调递增。例题13：（2014全国卷II）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在区间[-1,1]上的单调性。（1）求导数f’(x)=3x^2-6x+2；（2）因为f’(x)=3(x^2-2x+1)，所以f’(x)在区间[-1,1]上小于0；（3）所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减。例题14：（2013全国卷I）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的最小值。（1）配方