2024届黑龙江省大庆市高三下学期第三次教学质量检测数学试题及答案

大庆市2024届高三年级第三次教学质量检测数学2024.04注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的､姓名准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.U2,3,4,5,6,A4,B4,5，则AðB1.已知集合（）UC.A.1,33,4D.43，则B.ziz2.在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A.2B.D.2C.333.已知等差数列的前项和为，若aS5S，则（12）annSn25A.30B.32C.36D.404.小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（）A.100B.105C.110D.120x,x02fa，若，则实数的取值范围是（）fx5.已知函数f6a2ax3x0A.,2B.3C.,3D.26.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，yxyx,y“中x记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件A“为偶数”，事件BxyP∣B有偶数且”，则（）21342A.B.C.D.3457.已知函数fxx2有2个零点，则实数的取值范围是（k）1111e,C.0D.,0A.B.3e3e3e3x22y228.已知椭圆C:，若经过的弦满足ab0)的左､右焦点分别为F,F,BbF121ab2，则椭圆C的离心率是（）3366A.B.C.D.3434二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.P2是双曲线C:3x2y21上一点，过P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为9.已知点,B，则下列说法正确的是（）A.双曲线的浙近线方程为y3xB.双曲线的焦点到渐近线的距离为11PAPBC.33D.PAB的面积为ABCDABCDPAD为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（110.设正方体的棱长为）1111A.B.BP∥平面CB1D1πC.设BP与CD所成的角为，则的最大值为4APAB体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为12πD.当棱锥1112fxsinx0)11.如图，函数y,B,C相交，是相邻的三个交点，红的图象与直线）πBCAB，则下列说法正确的是（3A.22ππ3217B.若,gx2fx3fxg，则的最大值为3ππ7π3ππ,fx,C.若，函数在上单调递减，则266πfπgxfx是偶函数，则的一个可能取值为D.若6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.14123的展开式中，含x4项的系数是__________.12.在：2xx中，ABACBAC60，若边上的两条中线13.在ABCBC,ACAM,BN相交于点P，则BNCA__________；cosMPN__________.fx14.已知二次函数有两个不相等的零点b,ccb，其中.在函数图象上横坐标为的点处作fx1的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到：一直继续下去，得fxx2213nbncx,x,,xxcnan,11，则a前6项的和是__________.n到，其中.若12n四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）a,bRfxax22xxb，且.，函数f14已知（1）求的单调区间；fx（2）若fx0恒成立，求b的取值范围.16.（本小题满分15分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分.（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分X服从正态分布，要求满足X为达标.N60,100现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数.（结果四舍五入保留整数）24（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影35响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列与数学期望.0)，则XN,2P(X)0.683，附：若P(X)P(X)0.99717.（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC,BAD90,AD2BCAB2，PA22,PAO，且O是AD的中点.（1）求证：平面POC平面ABC；PB与平面PAD所成角的余弦值.（2）若二面角PADB的大小为，求直线18.（本小题满分17分）已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线yP1,0E.（1）求曲线E的方程；（2）设点T是圆C:(x2)2y3上的动点，曲线E上有四个点,B,M,N，其中M是的中点，2N是的中点，记的中点为D.①求直线TD的斜率：②求TAB面积的最大值.19.（本小题满分17分）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：①当ABC的三个内角均小于时，满足OAOBBOCCOA120的点为费马点；②当ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用以上知识解决下面的问题：已知ABC的内角cos2Acos2Bcos2C1.所对的边分别为，点ABC的费马点，且,B,Ca,b,cM为（1）求C；（2）若c4，求的最大值；tt，求实数的最小值.（3）若大庆市高三年级第三次教学质量检测数学答案及评分标准一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BDACDBDA1.B【解析】ðB2,3,6，所以AðB1,3.故选：B.因为UU2.D【解析】z因为复数对应的点的坐标是izi233，所以z2，所以.故选：D.3.A【解析】a2ad2a31设等差数列的公差为，由d2，得1，解得，所以anS55110d5d15121112123130.故选：A.24.C【解析】因为880%6.4，由图可知8次成绩由小到大排序，第7个位置的数是110，所以这8次成绩的第80百分位数是110.故选：C.5.D【解析】函数的图象如下，由图可知在上单调递增.因为，所以f6a2fxfxRfaa6a2，解得3a2.故选：D.6.B【解析】nΩ66nB36333nABA6由已知23614P∣B则.故选：B.247.D【解析】已知函数fxx2x2yx有两个根，即函数与有2个零点，所以方程y2的图象有两个公共点.1（1）当0x1时，fxxx,fx.若直线y2与曲线相切，设切fxxx1Px,x点坐标为，则曲线在点处的切线方程为y1.又因为切线过点2，xx1P111112x0x，解得x1ke所以，即.111e1fxfxx与曲线（2）当x1时，xx,fx.若直线y2相切，设切点坐标x1Qx,x，则曲线在点Q为yxxx.又因为切线过点2，所以2处的切线方程为2222112x0xe3k，即3x2，解得.222eyxy2的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时综上，结合函数与函数1ek,0.故选：D.38.A【解析】aAF12AFAF2aBFBFa122a2，解得.法一：由题可知，所以12AFa2122a2a(2c)2222a(2c)a2cosAFFcosBFF0由得0，整理得a2c2，1212a2a2c22c2c3所以e.故选：A.a3aAF12AFAF2aBFBFa122a2，解得.法二：由题可知，由已知得12AFa21BFAEBF，所以.2记中点为E，因为22aa2a24c21c2213在1BF和AEB中，由得2，解得，cosFBFcosABE2122a2a3a2c3所以e.故选：A.a3二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABD【解析】题号答案91011ABDBCDAD3因为双曲线的方程为C:3x2y21，所以a,b1，所以双曲线的渐近线方程为3byx3x.故A正确.a2332,0y3xd1.故B正确.双曲线的右焦点到渐近线的距离为2323214由点到直线的距离公式可得.故C错误.PAPB223，所以和90中，，如图，因为KOAAOx60.在PAD，所以，所以APD11BOD60133SPAPBsin60，故D正确.224216故选：ABD.10.BCD【解析】如图（1P与D重合时，BP与AD所成的角是45.故A错误.DBCADB1BP∥平面CB1D如图（2∥平面，所以.故B正确.111如图（3∥CD，所以BP与CD所成的角为PBA.因为AB平面A，所以11PAABAP，所以tanPBA，当点P与（或AD重合时tanPBA最大，此时PBA最大，易1ABπ得PBA.故C正确.4如图（3VP，所以当点P与D重合时三棱锥1APAB体积最大，此时三棱锥的外1111接球即为正方体的外接球.设外接球半径为R，则(2R)2222222，所以R3，所以该三棱锥外接2球的表面积为12π.故D正确.故选：BCD.11.AD【解析】1212π2πsinxx11212165πAx,,Bx,,kZ，设，则，所以12sin222π62π2π12π1xxABxxT.因为T所以，所以，所以21213333211π2πBCABTTT，所以Tπ，所以2.故A正确.3333π2ππ2π2π当时，gx2fx3fx2x2x33333277212sin2x3cos2x7sin2xcos2x7sin2x，7π277217（其中cos,sin）.因为时gx有最大值，所以2π,kZ，所以x2π2π2212πsin.故B错误.7π3π2π2x2π,kZysin2x法一：当时，是单调递减函数，所以22π3ππ7π3的减区间为π,πkZ.因为函数fx在ysin2x,上单调递减，4242ππππππππ423,kZ2π2π,kZ.因为.故所以，得，所以3π7π63263π4212C错误.法二：因为π7π2π7πππx2x5π，所以.又因为，所以31236222πππ2π5π2π7ππ7π323,fx,.因为函数在上单调递减，所以，解63636337ππ62ππ得.故C错误.63πfπT0fx的一条对称轴方程是，所以ππ因为x，所以时，66412是偶函数.故D正确.故选：AD.gxfx三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.（13小题第1问2分，第2问3分）712.24；13.1；14.63.1412.【解析】14x4rxr124r.令124r4得r2，所以含x4项x2x3的展开式中，r1C4r2x31C4r24r在的系数是C242224.13.【解析】法一：在ABC中，由余弦定理得||14212cos603，所以23.AC|AB||BC|222ABC90，建立平面直角坐标系，如图，则因为，所以313B0,0,A0,1,C3,0,N,,M,0，所以222BNCA3131,3,11，2222313,1,所以cosAM,BNAMBN2122317.AMBN341444112BNCABAANACABACACABACAC1法二：.22121AMABAC,BNABAC因为所以，21121ABACABACAMBN72cos114AMBNABACABAC2214.【解析】fxaxbxc不妨设，则fxa2xbcfx，所以na2xbc.nxxyfna2xbcxx所以在处的切线方程为：.nnnax2xbcfnn2abcx2nbcnn令y0，则xn1.a2nbca2nbc2nbcbcxbcb2nbcxn2nbcnbxcn2xxn1bcnbnc2n2n2n22n1n1n1因为a，所以，x2nbcc2xbcx2n1262a是首项为1，公比为2的等比数列，前6项和为a，所以63.故的前6an即n1nn12项和是12663.12三､解答题15.（本小题满分13分）1）的定义域为，fx4fx2ax2由已知得，x因为4，所以2a244，解得a1.f142x22x4令fx2x2，解得x1x2.012xxx0,2时，fx0xfx0.时，当；当所以的单调递减区间为2，单调递增区间为.fx（2）因为在2上单调递减，在上单调递增，fx所以当x2时，有极小值fx.f2444ln2bb4ln2因为在上只有一个极值，所以f(x)b4ln2.fx因为fx0f(x)0，即b4ln20，得b4ln2.恒成立，所以所以b的取值范围是4ln2,.16.（本小题满分15分）1）因为X服从正态分布N60,100，所以60,10.10.683700.1585PX…70因为，所以，2所以10000.1585158.5159.因此，进入面试的人数约为159.（2）由题意可知，Y的可能取值为2,3,4,5122435则PY011；75224352PY11;7523448121；PY21C557524416;12PY3Y41;357522432PY535.75所以Y的分布列为：YP01234512816322905821816EY012345所以.757575757575751517.（本小题满分15分）1）因为PA22,PAO45，由余弦定理得PO2AO2AP22AOAPPAO4，所以2.22AO2，所以90，所以ABCO为平行四边形，所以OCAB2ADPO.因为因为∥因为AO,，所以四边形.AOC90AD.BAO90，所以，即POCOO,PO,CO因为平面，所以平面.因为平面ABC，所以平面POC平面ABC.（2）在平面内，过点O作，交于E.因为平面POC平面ABC，平面POC平面ABC，所以OE平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,D2,0,0,B2,0.由（1）可知POC为二面角PADB的平面角，即120，所以30，由2，可得P3..PB2,3,3,4,0,0,PA3所以x0ymAD0mx,y,z，则设平面PAD的一个法向量为，即，mPA03z.m3令z3，则y3，所以平面PAD的一个法向量为mPB3设直线PB与平面PCD所成角为，则sin,PB4mPB134所以直线PB与平面PCD所成角的余弦值为.18.（本小题满分17分）1）设动圆圆心x,y，当x0时，由已知得|x|2122，即2y2x；(xy当x0时，点C的轨迹为点0，满足2y2x.综上可知，点C的轨迹方程为2y2x.（2）设.Tx,y,Ax,y,Bx,y001122xxyy2yy01由题意得，的中点M01,01在抛物线上，即E012.2222y212y212xx1y212yy4xy200，又，将代入得1010y222yy4xy200同理可得，0201