2018-2019学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4={尤仔Nl},B={-1,0,1},则（）

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.{x|xNl}

2.（5分）已知复数z满足z+z”=2（其中i为虚数单位），则］=（）

A.1+zB.1-iC.-1+zD.-1-z

3.（5分）已知命题p：关于机的不等式log27"<l的解集为{5|机<2}；命题0函数/（x）

=/+/-1有极值.下列命题为真命题的是（）

A.p/\qB.p/\Lq）C.C-'/?）/\qD.Lp）ALq）

4.（5分）如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=3,三角形内的空白部分由三个

半径均为1的扇形构成，向AABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）

\B

A

-TB.Tc.—D.i_2L

44

5.（5分）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）

I—/\

主视图左视图

G

俯视图

A.5B.牛C.6D.8

6.（5分）若将函数f（x）=cos（2x+^）的图象向左平移着个单位长度，得到函数g（x）

的图象，则下列说法正确的是（）

A.g（x）的最小正周期为4n

B.g（无）在区间［0,上单调递减

C.g（无）图象的一条对称轴为X—

12

D.g（x）图象的一个对称中心为（二詈，Q）

2

7.（5分）函数y=2--in|x|的图象大致为（）

8

8.（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥

得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知

两个圆锥的底面半径为1,母线长均为2,记过圆锥轴的平面ABC。为平面a（a与两个

圆锥面的交线为AC,BD）,用平行于a的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即

为双曲线r的一部分，且双曲线r的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线r的离

A.2V1B.72C.V3

D.2

3

9（5分）已知|a1=Ib1=2,且；c=^"（软+bAI三二I二&,则信I的取值范

围是（）

A.[0,2721B.[0,2]C.[0,V21D.[0,1]

10.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a,b,c依次为

（sina）s5\（$壮<1尸。5\其巾。6（左，子），则输出

的尤为（）

A.(cosa)C0SaB.(sina).aC.(sina)C0SaD.(cosa)sina

11.（5分）过抛物线（p>0）的焦点厂作直线/,交抛物线于点N,交抛物线

的准线于点P,若而=2百5，则直线/的斜率为（）

A.±V2B.±2C.±272D.±4

，/+10

12.(5分)已知函数f(x)=,'，若对任意xE[-1,1],不等式/[(1-2a)x

-x

,e,x>0

-4a+2]2|/(7)]。恒成立，其中。>0,则a的取值范围是()

A.(0,B.虎，400）C.[申，400）

O

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）（X2」）6展开式中常数项为.

x

'x》0

14.（5分）若实数x,y满足约束条件，3x+4y<3，则z=4x+3y的最大值为.

.y>0

15.（5分）我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知

某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼

楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得

该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°,则该小区的住宅楼楼间距

实际为米.

16.（5分）已知球。的半径为3,该球的内接正三棱锥的体积最大值为口，内接正四棱锥

的体积最大值为以，则±1的值为

v2

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第

17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分

17.（12分）已知数列｛即｝是递增的等差数列，满足〃2+43+44=15,〃2是和45的等比中

项.

（1）求数列｛坳｝的通项公式；

（2）设b=~--，求数列｛为｝的前〃项和S,.

nanan+l

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面42c。为正方形，E4_L平面4BCDE为

的中点，AC交BE于点、F,G为△PC。的重心.

（1）求证：尸G〃平面PAD；

（2）若点"在线段尸。上，且PH=2HD,求二面角X-FG-C的余弦值.

19.（12分）某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试

用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让

客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计,

决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户

多10人，“对性能不满意”的客户中恰有2选择了退货.

3

（1）请完成下面的2义2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产

品性能满意之间有关”.

对性能满意对性能不满意

购买产品

不购买产品

合计

（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层

抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张

印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖

金.6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖

金为X元，求X的分布列和数学期望.

附：K2=7-----、,----其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（烂之公）0.1500.1000.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

22

20.（12分）已知椭圆E：（a>6>0）过点儿（1,3）,左焦点为尸（-1,0）.

a2b22

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线（20）与椭圆E相交于8,C两点，线段8C的中点为N,点A在

椭圆E上，满足质=2而（。为坐标原点）.判断△ABC的面积是否为定值，若是，求出

该定值；若不是，请说明理由.

21.（12分）已知函数f（x）（a+1）e、+ax，

（1）讨论无）的单调性；

（2）若/（x）有两个零点，求。的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题记分.

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos2e=sin。，直线/的参数方程为，（/为参

数)，其中。>0,直线/与曲线C相交于M,N两点.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若点尸(0,a)满足J^=4，求。的值.

|PM||PN|

23.已知函数f(x)—|3x+3|+|x-a\,

(1)当〃=2时，求不等式/(x)>4的解集；

(2)若/(x)>3x+4对任意的xW(-L+°°)恒成立，求〃的取值范围.

2018-2019学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4={#?21},B={-1,0,1},则AAB=（）

A.{1}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.

【分析】求出集合A,B,由此能求出ACB.

【解答】解：：集合A={x|/21}={x|x2l或尤W-1},0,1},

.\AnB={-1,1}.

故选：B.

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

2.（5分）已知复数z满足z+z”=2（其中，,为虚数单位），则^=（）

A.1+;B.\-iC.-1+zD.-1-z

【分析】根据复数的运算法则，先计算z,然后根据共辗复数的定义进行求解即可.

【解答】解：由z+z」=2得z=’一=—"工-i——=2Ll-jj=1-i,

1+i（l+i）（l-i）2

则z=l+i，

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关

键.

3.（5分）已知命题p：关于机的不等式log2机＜1的解集为{m|机＜2}；命题q：函数/（x）

=/+/-1有极值.下列命题为真命题的是（）

A.p/\qB.p/\Lq）C.C-'/?）/\qD.Lp）ALq）

【分析】判断命题p,q命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

【解答】解：由log2〃z＜l得0＜机＜2,即命题p是假命题，

函数/（x）的导数为（x）=37+2r,则判别式△=4＞0,则/（x）=3?+2x有两

个不同的实根，则/（%）存在极值，故命题q是真命题

则Lp）八q为真命题，

其余为假命题，

故选：C.

【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，判断命题D4的真假是解决本题的关

键.

4.（5分）如图，在△ABC中，NC=90°,BC=2,AC=3,三角形内的空白部分由三个

半径均为1的扇形构成，向△ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）

【分析】根据几何概型的几何意义，该点落在阴影部分的概率，等于阴影部分面积三角

形的面积比，由此可以计算.

【解答】解：由题意，题目符合几何概型，

△ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=3,面积为工><2X3=3,

2

阴影部分的面积为：三角形面积-工圆面积=3-2_,

22

兀

所以点落在阴影部分的概率为二^=1-

36

故选:B.

【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事

件的集合，由概率公式解答.

5.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

A.5C.6D.8

B居

【分析】根据三视图知该几何体是底面为左视图的直五棱柱，根据图中数据求出该几何

体的体积.

【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为左视图的直五棱柱，

且五棱柱的高为2,底面积为S=2X1+LX2X1=3,

2

所以该几何体的体积为V=3X2=6.

故选：C.

【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，有三视图得出几何体的结构

特征是解题的关键.

6.（5分）若将函数£6）=.5（2乂哈）的图象向左平移看个单位长度，得到函数g（X）

的图象，则下列说法正确的是（）

A.g（x）的最小正周期为4TT

B.g（x）在区间［0,5］上单调递减

C.g（龙）图象的一条对称轴为x?

12

D.g（x）图象的一个对称中心为■需，Q）

【分析】利用函数y=Asin（3x+<p）的图象变换规律求得g（无）的解析式，再利用三角

函数的周期性、单调性、图象的对称性，得出结论.

【解答】解：将函数f（x）=cos（2x*|-）的图象向左平移专个单位长度，得到函数g（x）

=cos（2X+-2L.+_ZL）=COS（2尤+工_）的图象，

1243

故它的最小正周期为”=n,故排除A；

2

在区间［0,—1±，2x+-e［2L,里L］,故g（X）=cos（2x+-l）没有单调性，故

2J3333

排除脱

当》=工时，g（%）=0,故排除c；

12

当尤=了"时,g（无）=0,故£）正确，

12

故选：D.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（3x+（p）的图象变换规律，三角函数的周期性、单

调性、图象的对称性，属于基础题.

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，结合特殊值的符号是否一致，利用排除法进行求

解即可.

【解答】解:函数的定义域为{RxWO},

/\22

则/（-%）=1x1_-in\-X\=2L--ln\x\=f（x）,则函数/（%）是偶函数，图象关于y

88

轴对称，排除

当Xf+8时，yf+8,排除A,

V/（2）=鱼-伍2=!-伍2<0,

82

函数在x>0时，存在负值，排除C,

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的识别和判断，利用函数奇偶性和图象对称性的关系，利用

特殊值法以及排除法是解决本题的关键.

8.（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥

得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知

两个圆锥的底面半径为1,母线长均为2,记过圆锥轴的平面A8C。为平面a（a与两个

圆锥面的交线为AC,BD）,用平行于a的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即

为双曲线「的一部分，且双曲线「的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线r的离

A.B.V2C.V3D.2

3

【分析】求得圆锥的高，可得矩形A8CD的对角线长，即有AC,8。的夹角，可得两条

渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值.

【解答】解：两个圆锥的底面半径为厂=1,母线长均为/=2,

可得圆锥的身为〃=4]22=

四边形ABC。为矩形，对角线AC,的长为。4+12=4,

可得直线AC,2。的夹角为60°,

由双曲线「的两条渐近线分别平行于AC,BD,

由双曲线的渐近线方程为y=土三，

即有t=返,

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运

算能力，属于基础题.

9.（5分）已知|a|=|b|=2,且二短0,c-1（a+b）-|d-c|=^则RI的取值范

围是（）

A.[0,2&]B.[0,2]C.[0,&]D.[0,1]

【分析】由题意，由于两向量垂直，所以可以将两向量放到坐标系内，如图可令

；=(2,o),b=(0,2)，从而转化为坐标情况下向量问题的研究，问题易解

【解答】解：由题意，G|=£|=2,且之吊=0，

所以可将两向量放到坐标系内，如图可令7=(2,o),t=(0,2)，

c(a+b)=(1，1)，

令岸(X,y)，因为|d-c1=72,所以向量7的终点在以(L1)为圆心，以正为半径

的圆上，

又圆到原点的距离是证,所以|五|的取值范围是[0，2J5],

故选：A.

求

【点评】本题考查向量的模的求法，以及向量的模的几何意义，向量的坐标表示，根据

题意，灵活选用基向量法与坐标法可以大大降低解题的难度

10.(5分)执行如图所示的程序框图，若输入的a,b,c依次为

(sinQ)Sma，(sina)cosa,Rosa尸皿。，其中aC4，；)，则输出

的尤为()

(gg

i_

输入a也c

x=a

A.(cosa)C0SaB.(sina)sinaC.(sina)C0SaD.(cosa)sina

【分析】由程序框图的功能是输出三个函数值中最大值，用特殊值a=2L代入验证即可

3

得出结论.

【解答】解：由程序框图的功能是输出

sma

(sina),(sina)cosa,(cosa尸皿。，其中a£(牛，；)的最大

值，

V3厂近厂L

用特殊值a=；，代入验证得出6)2<(苧)2<(苧)2,

即(cosa)sin«<(sina)sin«<(sina)cos«,

则输出的x为(sina)cos%

故选：C.

【点评】本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题，是基础题.

11.(5分)过抛物线y=2"(p>0)的焦点p作直线/,交抛物线于点M,N,交抛物线

的准线于点P,若而=2而，则直线/的斜率为()

A.±V2B.±2C.±272D.±4

【分析】由于直线/过尸号0),故设方程尸左(x-学联立方程组，由韦达定理可

n2—»—

得X1+X2=P(1+W)①，X1X2=2-②，再根据PM=2PN，则可得N为PM中点，

k24

根据抛物线的性质可得判+史=2(9+艮)，即XI-2X2=£,③，由①②③解得即可

222

【解答】解：：抛物线"2px(p＞0)的焦点F(^,0),准线方程：x=-史，设M

22

(xi,yi),N(X2,J2)

由于直线/过0),故设方程y=)t(x-R),

22

2

y=2opx22

由＜„，消y可得后x-p(Q+2)-p=o

y=k(x-1)4

902

/.X1+X2—P(1+--),X1X2=^--

k2*44

VPM=2PN，

：.N为PM中点,

.'.Xl+£-=2(X2+R),

22

•«X1-212=-^~,

2

2

Axl-—=2

2xi2

解得x=p,

.•.X2=£,

4

.\p+P-=p(1+-?—),

4k2

即必=8,

即左=±2&,

故选：C.

【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理

地进行等价转化，属于中档题

x+1,x40,若对任意xR-1,

12.(5分)已知函数f(x)=1],不等式力(1-2a)x

x>0

-4。+2]2[/(f)]。恒成立，其中。＞0,则a的取值范围是()

A.(0,B.或，+oo)C.岛Q)

O。•生fl

【分析】根据函数的单调性问题转化为小+(2〃-1)x+4a-220在在［-1,1］上恒成

立，令g(x)=ax1+(2a-1)x+4a-2,xE［-1,1］,(a>0),结合二次函数的性质求

出〃的范围即可.

'/+1

【解答】解：函数f(x)=|，

一-x,X>0

当x>0时，f(x)=e%递减，

xVO时，f(x)=W+1递减.

x=O时，f(0)=1,

由函数的单调性可得/G)在R上递减，

则有不等式力(1-2〃)％-4〃+2］2|/(/)］。，

即为咒(1~2a)x-4〃+2］》/(ax2,)，

则有(1_2a)x-4a+ZWax2,

即为〃/+(2〃-1)x+4〃-220在1,1］上恒成立，

令g(x)=总+(2〃-1)x+4。-2,xE［-1,1］,(〃>0),

对称轴x=1-2a.>-1,

2a

①卜2awi即工时，

2a4

g(x)在［-1,上至)递减，在(上&_,1］递增，

2a2a

故g(%)min=g(1-2))=4〃-2-(1-2'J20,

2a4a

解得：a^l,

2

@1-2a>1即0<“〈工时，

2a4

g(无)在［-1,1］递减，

故g(尤)min=g(1)=7a-320,

解得：心旦(舍)

7

综上：a^—,

2

故选：B.

【点评】本题考查不等式的恒成立问题，主要考查函数的单调性的运用，考查运算能力,

属于中档题和易错题.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）（丫2工）6展开式中常数项为15.

X

【分析】写出二项展开式的通项，由X的指数为0求得一值，则答案可求.

【解答】解：由T1+广篇・62）6）•（1）]=（一1）JC於x12^-

取12-3r=0,得r=4.

但21）6展开式中常数项为以=]5

x6

故答案为：15.

【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.

x>0

14.（5分）若实数x,y满足约束条件，3x+4y<3，则z=4x+3y的最大值为4.

,y>0

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=4x+3y的得y=--x+—,

-33

平移直线y=-&+三，由图象知当直线y=-&+三经过点A（1,0）时，直线的截距

3333

最大，此时Z最大，

最大值为Z=4X1+O=4,

故答案为：4.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决

本题的关键.

15.（5分）我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知

某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼

楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得

该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°,则该小区的住宅楼楼间距

实际为54米.

【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系列出方程求该小区内

住宅楼楼间距为多少米.

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；

则8C=27,48=45-27=18,

设PC=a,/4/^=式「则/8/^=45°-a,

则tana=A^,tan（45°-a）

aa

增

tan（45。-a）=tan45°-tanCLJtand=_^=^18_；

l+tan45°tan0.1+tand]J8a+18

a

・

••-a---1--8--=27

a+18a

解得。=54或a=-9（不合题意，舍去），

该小区内住宅楼楼间距实际为54米.

故答案为：54.

【点评】本题考查了直角三角形的边角关系应用问题，也考查了两角差的正切公式应用

问题，是中档题.

16.（5分）已知球。的半径为3,该球的内接正三棱锥的体积最大值为0,内接正四棱锥

的体积最大值为w，则工L的值为心叵.

V2_

【分析】分别求出求内接正三棱锥与正四棱锥的体积的最大值，作比得答案.

【解答】解：如图，

P-ABC是球。的内接正三棱锥，设它的高为尸。1=/7,

PO=AO=BO=CO=3,则。1为正三角形ABC的中心，

球心。在尸。1上，

...AOi=Xw・sin60°=^^AB,即AB=V540I，

33

在RtAAOOi中’A01=，AO2-00[2=也_(h-3)2=46h-h?•

,48=</§4°1=避.y6卜厂1产

S△轴c=~^B2，sin60。=2^1.(6〃-/?2),

VS△ABC,h—(6〃-h2~)h—(12-2〃)h•hW2iLzLX

P-ABC3488

「(12-2h)+h+h

L3

当且仅当12-2/z=/z,即//=4时等号成立.

，半径为3的球的内接正三棱锥P-A8C体积的最大值为873；

设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a,

底面到球心O的距离等于x,

则/+（亚2=9,

2

而正四棱锥的高为h=3>+x,

故正四棱锥体积为：

V（尤）—1-crh——（18-27）（3+无）=—（9-7）（3+尤）

333

=工（6-2x）（3+尤）（3+x）

3

wLx（6-2x+3+x+3+x）3=64

、百3T）

当且仅当X=1时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值.

.V18V33V3

"v7'M_8'

故答案为：也.

8

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查数学转化思想方法和数形结合的解题

思想方法，是中档题.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)第

17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：60分

17.(12分)已知数列｛。〃｝是递增的等差数列，满足。2+。3+。4=15,02是和i75的等比中

项.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设b=~~--,求数列｛加｝的前〃项和

nanan+l

【分析】(1)设等差数列｛劭｝的公差为d>0,由42+43+44=15,42是和〃5的等比中

项.可得15=3硝=3(m+2d),即(a]+d)2=m(m+4d),联立解得〃i,

d.即可得出.

(2)b=~~--——3——^=-(-.....—))利用裂项求和方法即可得

、

nanan+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l'

出.

【解答】解：(1)设等差数列｛斯｝的公差为d>0,,.,。2+〃3+。4=15,〃2是〃1和45的等比

中项.

，15=3.3=3(m+2d),a>“i"，即(a।+d)^=al(ai+4d),

联立解得：fli=l,<7=2.

'.an—1+2(n-1)—2n-1.

(2)b=-----------=----------------------=—(-----1—),

11

anan+1(2n-l)(2n+l)2、2n-l2n+l'

.,.数列｛加｝的前n项和品=工(1」」」+…+_)=工(1)=

23352n-l2n+l22n+l

n

2n+l-

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

18.(12分)如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABC。为正方形，ABCD,E为

的中点，AC交BE于点F,G为△2(?£)的重心.

(1)求证：FG〃平面PAD-,

(2)若P4=A。，点H在线段上，且PH=2HD,求二面角X-FG-C的余弦值.

【分析】(1)延长CG交尸。于连接AM,可得AM〃尸G.即可证明FG〃平面出。；

(2)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为尤，》z轴建立空间直角坐标系，设出

=DA=3.贝！］F(1,1,0),H(0,2,1),G(1,2,1),C(3,3,0)求得面HGF

的法向量为去(x,y,z)，面FGC的法向量为n=(a,b,c)由

cos<',「巫.即可得二面角H-PG-C的余弦值为-YL

V2><V333

【解答】解：(1)延长CG交尸。于连接AM,

:G为△PCD的重心.史上.

GM1

为AD的中点，AC交3E于点凡崖上.

AFAE1

.,.AM//FG.

又AAfc平面PAD,FGC平面PAD,

〃平面PAD-,

(2)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为无，y,z轴建立空间直角坐标系.

设限=ZM=3.则尸(1,1,0),H(0,2,1),G(1,2,1),C(3,3,0)

HG=(1,0,0)，市=(1,-1,-1>

设面HG尸的法向量为i=(x,y,z)，

mpHG=x=0

由,^m=(O,1,-I),

m*HF=x-y-z=0

CF=(-2,-2,0)-CG=(-2,-1,1)，

设面FGC的法向量为W=Q,b,c)

山(n・CF=-2a-2b=0.、

由-----=n=(l,-1,D-

Ln•CG=-2a-b+c=0

二面角X-PG-C的余弦值为-返.

【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角求法,直线与平面平行的判定，属于中档

题.

19.(12分)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试

用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让

客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价).经统计,

决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户

多10人，“对性能不满意”的客户中恰有2选择了退货.

3

(1)请完成下面的2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产

品性能满意之间有关”.

对性能满意对性能不满意合计

购买产品

不购买产品

合计

(2)企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层

抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张

印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖

金.6位客户每人随机抽取一张奖券(不放回)，设6位客户中购买产品的客户人均所得奖

金为X元，求X的分布列和数学期望.

附：K2=7----------------------------------,其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)_______________________________________________

P(蜉2公)0.1500.1000.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

【分析】(1)设“对性能满意”的客户为无人，列方程求出x的值，由此填写列联表，

计算产，对照临界值得出结论；

(2)根据分层抽样法抽取6位客户，购买产品抽取2人，知X的可能取值为300,450,

600,750,

计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.

【解答】解：(1)根据题意知，设“对性能满意”的客户为x人，则“对性能不满意”

的客户为(X-10)人，

贝Ux+(%-10)=100,解得尤=55,

则“对性能不满意”的客户有45人，其中恰有2义45=30人选择了退货；

3

由此填写2X2列联表如下；

对性能满意对性能不满意合计

购买产品351550

不购买产品

计算产=100X（35X30-20X15产

50X50X55X4511

所以有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”；

（2）根据题意知，按分层抽样法抽取6位客户，购买产品抽取2人，不购买产品抽取4

人，

则购买产品的2名客户人均所得奖金X的可能取值为300,450,600,750,

计算尸(X=300)=>>=■1,

A5

P(X=450)

P(X=750)=2

则X的分布列为:

1242

551515

数学期望为E（X）=300XJL+450XX+600X-1.+750X_2_=500,

551515

所以购买产品的客户人均所得奖金的数学期望值为500元.

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，也考查了独立性检

验的应用问题，是中档题.

22

20.（12分）已知椭圆E：2y鼻=1（。>6>0）过点儿（1,旦），左焦点为F（-1,0）.

a2b22

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线（M0）与椭圆E相交于2,C两点，线段2C的中点为N,点A在

椭圆E上，满足菽i=2而（。为坐标原点）.判断△ABC的面积是否为定值，若是，求出

该定值；若不是，请说明理由.

【分析】（1）先利用椭圆定义求出。的值，由c的值计算出6的值，从而得出椭圆E的

标准方程；

（2）设点点B（尤1,yi）、C（无2,”），将直线8C的方程与椭圆E的方程联立，列出韦

达定理，求出点N的坐标，并由标=2而求出点A的坐标，然后将点A的坐标代入椭圆

E的方程，得出相与左之间所满足的关系式，并求出18cl以及点。到直线BC的距离，再

=

由SAABC3SAOBC多・|BC|证明题中结论•

【解答】解：（1）由椭圆的定义可得2a=J（1+1）2+（W_））2+（3）2=1

所以，a=2,由于c=l,则b=Va2-c2=V^

22

因此，椭圆£的方程为幺J_=i；

43

（2）设点8（xi,yi）、C（%2,”），

，=kx+m

将直线丁=丘+机（20）的方程与椭圆E的方程联立|/2,

Aj

消去y得（4武+3）_?+8加优+4祖2-12=0,由韦达定理得，9

4m-12

*建2=-4--k92-+-3-

则Xl+X2=.4km”丫1+丫2,xl+x23m

o—k•n+m=2'

24k2+3224k43

则点N的坐标为（一生亚_,_粤_）.

4k2+34k2+3

•/AO=2而，可得点A的坐标为（'即,一粤」）.

4k2+34k2+3

由于点A在椭圆E上，将点A的坐标代入椭圆E的方程得

（8km）2（6m）2

4k2+34k2+3_/i/的徂

|AB|=V1+k2•Ix1-x2I=71+k2可升1+乂2)2-4乂d2

啦7(l+k2)(4k2+3-m，I1+k2

4k2+34k2+3

原点0到直线y=kx+m的距离为d-屈口一q14T」

Vl+k2Vl+k211+k22

.."1

AO=2ON'所以'SAABC=3SAOBC=3x|xdX|BC|=

3X5><4~」4k2+