2021-2022学年河南省鹤壁市浚县九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年河南省鹤壁市浚县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程*-2%=0的根是（）

A.xi=0,X2=-2B.xi=1,X2=2C.x\=\,X2=~2D.xi=0,X2=2

2.（3分）下列计算：

①（点产=2；

②Q（-2产=2；

③（-W§）2=12；

@（V2-H/3）（V2-V3）=-l-

其中结果正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（3分）式子Y£in45°+J正sin60°

-2tan45"的值是（）

2

A.2y-2B.旦C.2A/3D.2

2

4.（3分）如图，点P在△ABC的边4c上，要判断添加一个条件，不正

确的是（）

B

二4

1pA

A.NABP=NCB.ZAPB=ZABCC.星=岖D.曲=里

ABACBPCB

5.（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60ww淞的A处，它沿

正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，8处与

灯塔P的距离为（）

B

A.60A/3nmileB.60A/2nmileC.30>/3nmileD.30A/2nmile

6.（3分）已知。2+。-1=0,■+人-1=0且则〃/?+〃+/?=（）

A.2B.-2C.-1D.0

7.（3分）如图，在oABCQ中，E为CD上一点、,连接AE、BD,且4E、BD交于点F,S

△DEF：SAABF=4：25,则DE：EC=（）

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

8.（3分）同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则

两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为（）

A.AB.-LC.AD.J—

936636

9.（3分）如图，在正方形ABC。中，△BPC是等边三角形，BP、C尸的延长线分别交AO

于点E、F,连接B。、DP,B3与CF相交于点4,给出下列结论：

@BE=2AE；②△DFPS^BPH：③/\PFDs4PDB；®DP2=PH-PC

其中正确的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

10.（3分）定义运算：小-机〃-i.例如：4i!r2=4X22-4X2-1=7,则方程1

☆x=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）在实数范围内分解因式：?-6x=.

12.（3分）己知（x-y+3）2+V2x+y=0,则（x+y）2021=.

13.（3分）如图，△ABC中，NC=90°，点。在AC上，己知NBOC=45°,BD=lCh/2.

43=20,则/A的度数是

14.(3分)如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种

颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域

分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是.

15.(3分)如图，等腰直角三角形ABC顶点A在》轴上，NBC4=90°,AC=BC=2近,

反比例函数y=3(x>0)的图象分别与AB,BC交于点。，E.连接力E,当ABDEs^

x

16.(10分)计算:

(1)5(x+3)2=2(x+3)；

(2)x12-10x+9=0.

18.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AABC和△£)£产的顶点坐标分别为A(1,

0),B(3,0),C(2,1),D(4,3),E(6,5),F(4,7).按下列要求画图：以点。

为位似中心，将AABC向），轴左侧放大2倍得到△ABC的位似图形AAi81cl.并解决下

列问题：

（1）顶点4的坐标为,Bi的坐标为,Ci的坐标为.

（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A18C1通过变换后得到AAzB2c2,且282c2

恰与△QEF拼成个平行四边形（非正方形）.写出符合要求的变换过程.

19.（9分）已知xi,"是一元二次方程（a-6）/+2分+a=0的两个实数根.

（1）是否存在实数“，使-Xl+XlX2=4+X2成立？若存在，求出“的值；若不存在，请你

说明理由；

（2）求使（xi+1）（X2+1）为负整数的实数”的整数值.

20.（9分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中

最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的

测量点A与佛像8。的底部。在同一水平线上.已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛

像头顶部8的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像8。的高度（结果精确到

0.1m.参考数据：sin37.5°—0.61,cos37.5°20.79,tan37.5°-0.77）.

21.（9分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015

年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元.

（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过

当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一

台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

22.（9分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一.下列图表中的数据是甲、乙、丙三人

每人十次垫球测试的成绩.测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分.

运动员甲测试成绩表

测试序号12345678910

成绩（分）7687758787

运动员乙测试成绩统计图运动员丙测试成绩统计图

（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数;

（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选

谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=

0.8）

（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球

最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解

答）

23.（11分）将正方形A8CZ）的边A8绕点A逆时针旋转至记旋转角为a,连接B&,

过点。作OE垂直于直线垂足为点E,连接。Bi,CE.

（1）如图1,当a=60°时，ADEBi的形状为，连接BD,可求出一BBL.的值

CE

为;

（2）当0°<a<360°且aW90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请

仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.

图1图2

2021-2022学年河南省鹤壁市浚县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：7-2%=0,

x（%-2）=0,

x=0,x-2=0,

xi=:0»<V2==2,

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成

一元一次方程，难度适中.

2.【考点】二次根式的混合运算.

【分析】利用二次根式的性质对①②③进行判断；根据平方差公式对④进行判断.

【解答】解：（&）2=2,所以①正确：

7（-2）2=21所以②正确；

③（-2如）2=4X3=12,所以③正确；

④（&W3）（V2-V3）=2-3=-1,所以④正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特

点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

3.【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可.

【解答】解：原式=YZx®+2而X近-2X1

222

=>1+3-2

2

-_3-->

2

故选:B.

【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提.

4.【考点】相似三角形的判定.

【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.

【解答】解：A、当NABP=NC时，又.•.△ABPSAACB,故此选项不符

合题意；

B、当NAPB=NABC时，又,.♦/A=NA,A^ABP^AACB,故此选项不符合题意；

C、当空立时，又.•.△ABPSAACB,故此选项不符合题意；

ABAC

。、无法得到△A8PsZ\ACB,故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.

5.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理的应用.

【分析】如图作PE_LA8于£在中，求出PE,在RtZ\PBE中，根据尸B=2PE

即可解决问题.

【解答】解：如图作PELAB于E.

在Rt△布E中，VZB4E=45°,PA^60nmile,

：.PE=AE=^-X60=30&〃〃〃7e,

2

在中，VZB=30°,

PB=2PE=60-j2nmile,

故选:B.

【点评】本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问

题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

6.【考点】根与系数的关系.

【分析】根据/+〃-1=0,l^+h-1=0,且得出a,6是/+x-1=0的两个实数

根，再利用根与系数的关系，Xl+X2=一旦X1X2=£进而求出即可.

aa

【解答】解：,.♦/+a-1=0,必+b-l=o,且

.•.可以得出。，人是，+x-1=0的两个实数根,

:.ab=-1,a+b=-1,

贝!Jab+a+b=-1-1=-2.

故选：B.

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，根据已知得出a,匕是/+x-1=0的两个实

数根是解题关键.

7.【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEFsasAF,再根

据SADEF：SAABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB的

值，由AB=CQ即可得出结论.

【解答】解：•••四边形48C。是平行四边形，

：.AB//CDf

；・NEAB=NDEF,NAFB=/DFE,

:.△DEFSLBAF,

♦：S^DEF：SAABF=4：25,

：.DE：AB=2：5,

•:AB=CD,

：.DE：EC=2：3.

故选：B.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形

边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

8.【考点】列表法与树状图法.

【分析】列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和为8的情况占总情况的多少

即可.

【解答】解：列表得：

(1,6)（2,6）（3,6）（4,6）（5,6）（6,6）

(1,5)（2,5）（3,5）（4,5）（5,5）（6,5）

(1,4)（2,4）（3,4）（4,4）（5,4）（6,4）

(1,3)（2,3）（3,3）（4,3）（5,3）（6,3）

(1,2)（2,2）（3,2）（4,2）（5,2）（6,2）

(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

•••两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为故选B.

36

【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.树

状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回实验还是不放回实

验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9.【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质.

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论.

【解答】解：是等边三角形，

：.BP=PC=BC,NPBC=NPCB=NBPC=60°,

在正方形4BCO中，

'：AB=BC=-CD,ZA=ZADC=ZBC£>=90°

.../A2E=/OCF=30°,

：.BE=2AE；故①正确；

,:PC=CD,NPC£>=30°,

AZPDC=75°,

：.ZFDP=\5°,

'：ZDBA=45°,

:.NPBD=15°,

:.NFDP=NPBD,

；/£>FP=/BPC=60°,

:./XDFPsABPH；故②正确；

•；NFDP=NPBD=T5°,ZADB=45°,

；.NPDB=30°,而/OFP=60°,

：.ZPFD^ZPDB,

...△PFD与△PD8不相似；故③错误；

:NPDH=NPCD=30°,/DPH=NDPC,

:./XDPHs/xCPD,

.DPPH

PCDP

:.DP2=PH,PC,故④正确；

故选：C.

【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，

解答此题的关键是熟练掌握性质和定理.

10.【考点】根的判别式；实数的运算.

【分析】根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：1=0,

△=1-4X1X(-1)=5>0,

.♦.有两个不相等的实数根

故选：A.

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础

题型.

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.【考点】实数范围内分解因式.

【分析】原式提取x后，利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=工(X2-6)=x(x+Vs)(x-A/6)-

故答案为：x(X+A/6)(x-V6)

【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

12.【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根.

【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入原式计

算即可得到结果.

【解答】解：；(x-y+3)2+V2x+y=0,

.fx-y=-3

12x+y=0

解得：卜二T，

ly=2

则原式=(-1+2)2021=原

故答案为：1.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法及

非负数的性质是解本题的关键.

13.【考点】解直角三角形.

【分析】先在RtAADC中利用正弦的定义可计算出BC=10V2Xsin45°=10,然后在

8△ABC中，利用正弦定义得到sin/A=A，=」，再利用特殊角的三角函数值即可得到

AB2

ZA的度数.

【解答】解：在RtZ\AOC中，；sin/8DC=匹，

BD

，BC=10&Xsin45°=10弧*匹=10,

2

在RtZVLBC中，•.•sin/A=坨=J^l=上，

AB202

.•.乙4=30°.

故答案为30°.

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，利用勾股定理、三角形内角和和

三角函数，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

14.【考点】列表法与树状图法.

【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率.

【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：

次林

红黄皿绿

红红红黄红蓝红绿红

黄红黄黄黄x模xa蓄K绿黄

蓝红蓝黄蓝篮篮绿蓝

绿红绿黄绿蓝绿绿绿

共有16种等可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，

：.p（两次颜色相同）=_£=」，

164

故答案为：1.

4

【点评】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解

决问题的关键.

15.【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】首先设点。的坐标是（，〃，旦），点E的坐标是（〃，2）,应用待定系数法求出

mn

直线A8的解析式是多少；然后根据可得/BOE=N2CA=90°,推得

直线y=x与直线OE垂直，再根据点。、E关于直线y=x对称，推得加7=3；最后根据

点。在直线AB上，求出点，的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少.

【解答】解：如图1.

图1

•.•点。、E是反比例函数）=3（x>0）的图象上的点,

设点。的坐标是（如旦），点E的坐标是（小3）,

mn

又,.•NBC4=90°,AC=BC=2近,

：.C(〃，0),B(〃，2近),A(n-2A/2>0),

设直线4B的解析式是：y=ax+b,

贝Ja(n-2\[2)+b=0

1an+b=2近

解得广1

Ib=2v2-n

直线AB的解析式是：y=x+2-/2-n.

又,：△BDEsgCA,

:.NBDE=NBCA=90°,

，直线y=x与直线DE垂直，

，点。、后关于直线y=x对称，

33

一+—

•・--m--t-n-_m-----n-，

22

・••加7=3,或机+〃=0（舍去），

又•・•点。在直线AB上，

=/W+2^/2-拉,"?〃=3,

m

整理，可得

2"2-2点"-3=0,

解得〃=慨"&或〃=-（舍去），

...点E的坐标是（■!、历，V2）.

故答案为：（•!/，V2）.

【点评】（1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题

的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角

法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应

相等的两个三角形相似.

（2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确：①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即“=鱼②双曲线是关于原

点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向x

轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|乩

三、解答题（共75分）

16.【考点】二次根式的混合运算；零指数累；负整数指数累

【分析】（1）根据负整数指数累、零指数幕和分母有理化,可以将题目中的式子化简，

然后再合并同类项即可；

（2）先化简，然后合并同类二次根式即可.

【解答】解：（1）3旧+（3-V3）°

33

=1；

⑵口-伊居x,

=3&需料

=3&-返'2百

4

=3&

_2

=372_

2

【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数基、零指数幕，熟练掌握运算法则

是解答本题的关键.

17.【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】（1）先移项得到5（x+3）2-2（x+3）=0,然后利用因式分解法解方程;

(2)利用因式分解法解方程.

【解答】解：(D5(x+3)2-2(x+3)=0,

(x+3)(5x+15-2)=0,

x+3=0或5x+15-2=0,

所以xi=-3,X2=--：

5

(2)?-10x+9=0,

(x-9)(x-1)=0,

x-9=0或x-1=0,

所以Xl=9,X2=l.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

18.【考点】作图-位似变换；平行四边形的性质；正方形的性质；作图-平移变换；坐标

与图形变化-旋转：几何变换的类型.

【分析】(1)把A、B、C的横纵坐标都乘以-2得到Ai、Bi、Ci的坐标；

(2)把△AIBICI先绕点A1顺时针旋转90°,然后把旋转后的三角形平移可使282c2

恰与△OEF拼成个平行四边形(非正方形).

【解答】解：(1)如图，Al(-2,0),Bi(-6,0),Ci(-4,-2)；

故答案为：(-2,0),(-6,0),(-4,-2)；

(2)如图，把先绕点4顺时针旋转90°,然后把旋转后的三角形向上平移1

单位，再向右平移8个单位得到282c2.

【点评】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤(先确定位似中

心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表

所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形).也考查了

平移变换.

19.【考点】根与系数的关系；根的判别式.

【分析】根据根与系数的关系求得xu2=」_，为+屹=-2；根据一元二次方程的根

a-6a-6

的判别式求得。的取值范围；

(1)将已知等式变形为X1X2=4+(X2+XI),即—_=4+2_,通过解该关于〃的方程即

a-6a-6

可求得4的值；

(2)根据限制性条件"(xi+1)(X2+1)为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围

内取a的整数值.

【解答】解：:Xi,m是一元二次方程(a-6)/+2ax+a=0的两个实数根，

由根与系数的关系可知，尤1%2=一一,xi+x2=--2a_；

a-6a-6

•・•一元二次方程(a-6)/+2ar+a=0有两个实数根，

△=4。2-4(4-6)・心0,且a-6W0,

解得，且〃W6；

(1)*/-X]+XIX2=4+X29

.*.XIX2=4+(XI+X2),即a=4-,

a-6a-6

询用得，〃=24>0；

・,・存在实数4,使-X1+XU2=4+X2成立，。的值是24;

(2)(xi+l)(X2+1)=x\x2+(xi+%2)+1=a-.2a_+i=-6一,

a-6a-6a-6

工当(xi+1)(^2+1)为负整数时，a-6>0,且a-6是6的约数，

•.a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1,

・・・〃=12,9,8,7；

...使(xi+1)GC2+1)为负整数的实数。的整数值有12,9,8,7.

【点评】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式.注意：一元二次方程—+bx+c

=0(a、6、c是常数)的二次项系数a#0.

20.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】根据tan/D4C=J&=tan37.5°七0.77,列出方程即可解决问题.

AD

【解答】解：根据题意可知：ZDAB=45°,

：.BD=AD,

在RtZVLDC中，DC=BD-BC=CAD-4'）m,N£>AC=37.5°,

,/tanZDAC=^~,

AD

.,.tan37.5o=^z£^0.77,

AD

解得4。七17.4〃3

：.BD=AD^llAm,

答：佛像的高度约为17.4m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问

题.

21.【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x,根据2015年及2017

年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出

结论；

（2）根据年平均增长率求出2018年基础教育经费投入的金额，再根据总价=单价X数

量，即可得出关于〃，的一元一次不等式，解之即可得出团的取值范围，取其中的最大值

即可.

【解答】解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为X,

根据题意得:5000（1+x）2=7200,

解得：xi=0.2=20%,XI--2.2（舍去）.

答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.

（2）2018年投入基础教育经费为7200X（1+20%）=8640（万元），

设购买电脑小台，则购买实物投影仪（1500-%）台，

根据题意得：3500^+2000（1500-/»）^86400000X5%,

解得：，"W880.

答：2018年最多可购买电脑880台.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根

据总价=单价X数量，列出关于根的一元一次不等式.

22.【考点】列表法与树状图法；条形统计图；折线统计图；中位数；众数；方差.

【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分；

（2）易知x甲=7（分），x乙=7（分），x丙=6.3（分），根据题意不难判断；

（3）画出树状图，即可解决问题；

【解答】解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分.

（2）.•.丽=7（分），豆=7（分），布=6.3（分），

%甲=乂乙>乂丙，S甲2>S乙2

，选乙运动员更合适.

（3）树状图如图所示，

乙一^丙

更显更女

乙丙亩NN亩亩丙

第三轮结束时球回到甲手中的概率是D2」.

【点评】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握

基本概念是解题的关键.

23.【考点】旋转的性质；正方形的性质.

【分析】（1）由旋转的性质得出AB=AB',ZBAB'=60°,证得△ABB，是等边三角形，

可得出是等腰直角三角形；连接BD,由正方形和等腰直角三角形的性质可得N

BDC=NB'DE=45°,毁普3=料，根据角的和差可得NCDE,由相似

DCDE

三角形的判定可证明△8。8s即可求解；

（2）得出NEC8=/E8Q=45°,则△QE8是等腰直角三角形，得出眼①_^=&,

DCDE

ZB,DB=ZEDC,由相似三角形的判定可证明△⑶。8s△EDC,即可求解.

【解答】解：（1）如图1,

D

BC

图1

绕点A逆时针旋转至A8',

\AB=AB',ZBAB,=a=60°,

...△A88'是等边三角形，

.,.N8B'A=60°,

：.ZDAB'=ZBAD-ZBAB'=900-60°=30°,

'：AB'=AB=AD,

：.ZAB'D^ZADB',

：.ZAg'D=18Q°~30°=75°,

2

.*./£>8'E=180°-60°-75°=45°,

:DELB'E,

：.ZB'DE=90°-45°=45°,

/XOE⑶是等腰直角三角形；

连接BD,

•.•四边形ABC。是正方形，

:.NBDC=45°,

但外

DCv

同理支工小巧，

DEv

•BDBzD

"DC=DE

；NBDB*NB，DC=45°,ZEDC+ZB'DC=45°,

:.NBDB'=NEDC,

:.△BDB，s/\CDE,

.吗=股=&,

CECD

故答案为：等腰直角三角形，加；

(3)(1)中的两个结论仍然成立.

理由如下：连接8。，

B'

NBAB'=a,

：.ZAB'B=90°-

2

"：ZB'AD=a-90°,AD=AB',

.'.NAB'E>=135°--,

2

.'.NEB'O=NAB'。-/AB'8=135°---(90°--)=45°,

22

■:DELBB',

：.ZEDB'=ZEB'D=45°,

.••△OEB，是等腰直角三角形;

•••四边形ABC。是正方形,

••黑班,ZBDC=45°,

CDV

-BD=B'D

"'DC=DE

；NEDB'=NBDC,

：.NEDB'+NEDB=NBDC+NEDB,

即NB'OB=NE£>C,

:.△B'DBs^EDC,

当=股=&,

CECD

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边

三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与

性质是解题的关键.

考点卡片

1.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都

必须等于0.

2.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也

是非负数列出不等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值

问题.

3.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.实数范围内分解因式

实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），

一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式.

例如：7-2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解

212

%-2—x-（V2）—（x+V2）（JC-V2）

5.零指数第

零指数累：“°=1（aWO）

由""+""=1,可推出a°=l（aWO）

注意：o°ri.

6.负整数指数幕

负整数指数基：ap=\ap（aWO,p为正整数）

注意:①aWO；

②计算负整数指数寻时，一定要根据负整数指数辱的意义计算，避免出现（-3）（-3）

X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

7.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

8.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代

入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求出x

（或〉）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一

次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的

任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到

原方程组的解，用［x=a的形式表示.

Iy=b

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式

分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

10.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=/-4ac)判断方程的根的情况.

一元二次方程af+bx+cu。(aWO)的根与△=/??-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

11.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：力，垃是方程/+px+q=O的两根时，Xl+X2=",

x\X2=q,反过来可得P=-(X1+X2),q=x\X2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是

已知两根确定方程中未知系数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：xi,%2是一元二次方程a?+bx+c=O(a#0)

的两根时，Xl+X2=X\X2=—,反过来也成立，即也•=-(XI+JC2),—=XIX2.

aaaa

(3)常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求另

一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，^12+X22等等.④判断两根的符

号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解

题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑“W0,△>()这两个前提条件.

12.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

(1)数字问题：个位数为4,十位数是4则这个两位数表示为10/7+G

(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是m每次增长的百分率

为X,则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为〃(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)

2=后来数.

(3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

(4)运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、己知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹IJ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

13.一元一次不等式的应用

(1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

14.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y=0x仪为常数，30）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即孙=公

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=〃r图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的

面积是定值国.

15.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，

腰和底、顶角和底角是相对而言的.

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

16.勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为

边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正

整数的直角三角形的斜边.

17.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

18.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有

四条对称轴.

19.作图-平移变换

（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.

（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应

点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.

20.旋转的性质

（1）旋转的性质：

—①对应点到旋转中心的距离相等.—②对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角.—③旋转前、后的图形全等.—（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋

转方向；③旋转角度.—注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

21.坐标与图形变化-旋转

（1）关于原点对称的点的坐标

P（x,y）=尸（-x,-y）

（2）旋转图形的坐标

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常

见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

22.几何变换的类型

（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等.两对应点连线段与给定的有向线段

平行（共线）且相等.—（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线

（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分.（3）旋

转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角.—（4）位似变换:

在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序,

即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面

积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线;

任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相

切时切点为位似中心.

23.相似三角形的判定

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形

相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如

图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图

（2）三