2020-2021高中人教版数学4学案：1.1.2 孤度制

1.1.2孤度制

考试标准

学考高考

课标要点

要求要求

孤度制的

aa

概念

孤度与角

bb

度的互化

知识导图

I角度制h

——|互化依据：180。=11山J

弧犀制一

_pl弧长公式一

弧旋制的应用卜

U扇形面积公式

学法指导

1.熟练掌握孤度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角

度制与弧度制.

2.由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角

对应的弧度教.

1

3.记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆,S二］

底,高=错误!/R.

,川川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川川h即团国密・|川主|学|习|用"川I川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川川川川h

lo度量角的两种制度

角定义用盘作为单枝来度量角的单位制

度

1度的角周角的错误!为1度的角，记作1°

制

孤定义以变度为单优来度量角的单核制

度1孤度长度等于半径长的孤所对的圆心角

制的角叫做1弧度的角。1弧度记作1rad

错误！正确理解孤度与角度的概念

(U定义不同；

区

(2J单住不同：孤度制以“孤度”为单住，角度

别

制以“度”为单住

(1)不管以“孤度”还是以“度”为单伍的角的

朕

大小都是一个与圆的半径大小无关的值；

系

(2)“孤度”与“角度”之间可以相互转化

2、孤度教的计算

(U正角：正角的弧度教是一个正教.

(2)负角：负角的孤度教是一个负数.

C3J零角：零角的弧度教是。.

(4)如果半径为r的圆的圆心角a所对孤的长为/,那么，角a

的弧度教的绝对值是Ia|二错误!。

3.角度制与弧度制的换算

角度化孤度孤度化角度

360°=2兀rad2兀rad=360。

180°=兀rad兀rad=180。

1°=错误！rad^O.01745

1rad=错误!°七57.30°

rad

度教X错误!=孤度教孤度教X错误!。=度教

错误！角度制与弧度制换算公式的理解

(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算.

(2)用角度制和弧度制来度量零角，单核不同，但量度相同

r都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同,量度也

不同、

4.扇形的孤长和面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,«(0<a〈2兀)为其圆心角，则

(1)孤长公式：I=a-R.

(2)扇形面积公式：S二错误!/R二错误!。・R2。

［小试身手］

1.判断下列命题是否正确.r正确的打‘7"，错误的打“X”)

CU1弧度的角等于1度的角.()

(2)孤度的计算公式为。二错误!.()

(3J直角的孤度教为错误!.()

答案：n)x(2JX(3)N

2.下列各种说法中，错误的是()

A.“度”与“孤度”是度量角的两种不同的度量单住

B.1°的角是周角的错误!，1rad的角是周角的错误！

C根据孤度的定义，180°的角~定等于兀rad的角

D.利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关

解析：角的大小只与角的始边和终边的核置有关，而与圆的

半径大小无关，故选D.

答嗓：D

3,将864。化为孤度为()

A.错误！B.错误！

Co错误！D.错误!兀

解析:8640=864x错误！=错误!，故选Co

答去:C

4.扇形圆心角为216。，孤长为3071,则扇形半径为,

解析：216°=216x错误！=错误！,I=a-r=错误!/=30兀,

r=25o

答嗓：25

W“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川h南白陶南•康I养阳升I川川川川川川川川川川川川川川川川川川川田川川I川川川h

类型一角度与弧度的换算

例1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化r角度精确到

Oo01J：

«1=-错误!兀，。2=错误!兀,仪3=9,

«4=-855°.

(2)把下列各角化为2防i+a(O0a〈2兀，左金Z)的形式：错误!，-

315°,-错误!.

C3J在0。〜720。范围内，找出与错误!兀终边相同的角.

11

【解析】(D«i=一亍兀=一错误!x180°七一282。86°；&二错误！

511

兀二一6义180。=15330。；

。3=9=9x错误!°七515。66°；a4=-855°=-855°x错误！=一错误!兀。

(2J错误！=4兀+错误！；-315°=-360°+45°=一2兀+错误！；-错误！

二一2兀十错误!.

(3)・・・错误！=错误!*180。=72。,・・・终边与错误!相同的角为6>=72°+

左・360。r左GZ).

当上=0时，<9=72°；当上二1时，9二432。。故左0。〜720。

范囹内，与错误!终边相同的角为72。，432°.

(1)1800=nrad是进行“弧度”与“角度”换算的关键.

(2)表示成2k7r+afO<a<27r,k£ZJ的形式，调整左使角

在［0,2兀)内.

(3)把弧度换算成角度，写出终边相同的角的集合，调整上

使角在0。〜720。内.

方法归纳

进行角度制与弧度制的互化的原则和方法

(1)原贝;1:牢记180°=兀rad,充分利用1°二错误!rad和1rad=

错误!。进行换算.

(2)方法：设一个角的弧度教为。，角度教为〃，则。rad二

错误!°；几°=儿•错误!.

提醒：CU用“弧度”为单住度量角时，“弧度”二字或“rad”可

以堵略不写.

(2)用“弧度”为单位度量角时，常常杷弧度教写成多少兀的形

式，如无特别要求，不必把兀写成小教.

(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成孤度.

跟踪训练1(1)将下列各角用弧度表示，并指出它们是第几

象F艮角:ai=510。，«2=-750°；

(2)将下列各角用度表示，并左0。〜360。范围内找出与它们

终边相同的角:"二错误!兀，仇二一错误!兀。

解析：(1)<1°二错误！rad,「・。1=510°=510x错误！=错误叫

17「

处|ai=石-兀=2兀+错误!兀；

«2=-750°=一750x错误！二一错误!兀，处1«2=一错误!兀二一3x2兀+

错误!兀,・・・。1是第二象F艮角,«2是第四象F艮角.

(2)/31=错误!兀=错误!x错误！=144°,设31=k-360°+144°伏£ZJ.

V00<6>i<360°,A0o<^360o+144°<360°(^ez),.\^=0.

・•・在0。〜360。内，与角小终边相同的角是144°角；

11

02=—8兀=一错误!X错误！二一330°。

设仇二目360。-330。(左£Z).

,00

00<32<360°,..0<^360°-330〈360。/£Z),：.k=lo

・••在0。〜360。内，与角仪终边相同的角是30。角.

角度与孤度的换算只要记住一个公式:错误!二错误!。据此可推出

n°=n•错误!rad,arad=a•错误！°.

类型二用弧度制表示角的集合

例2已知角。=2005。。

(1)将a改写成£+2防i(左£Z,0寸＜2兀)的形式，并指出。是第

几象F艮的角；

(2)在「一5兀，0)内找出与。终边相同的角.

【解析】(1)2005°=2005x错误！rad=错误！rad=5x2兀+错误!

rad,又兀〈错误！〈错误!，

・••角a与错误!终边相同，是第三象F艮的角.

(2)与。终边相同的角为2左兀+错误!(左£Z),

由一5兀024兀+错误！〈0,左WZ知左二一1,-2,-3o

・••在「一5兀，0)内与。终边相同的角是一错误!，一错误!，一错误!。

(1)用孤度教表示与角a终边相同的角连同角a在内的集合为

{P|p=2k〃+%k£Z}.

(2)用孤度数表示区域角时，先把角度换算成孤度，再写出与

区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的

集合，对于能合并的应当合并.

方法归纳

用弧度制表示终边相同的角2kn+a(左6Z)时，其中2kn

是兀的偶教僖，而不是整数售，还要注意角度制与弧度制不能混

用.

跟踪训练2用孤度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影

部分内r不包括边界)的角的集合.

解析：对于题图(1),225。角的终边可以看作是-135。角的终

边，化为孤度，即一错误!，60°角的终边即错误!的终边,.••所求集合为

错误!.

对于题图(2),同理可得，所求集合为alkn+错误!＜。〈2防i+错误!，

左£ZUa2防1+兀+错误！〈。＜2防1+兀+错误！，左£Z二错误！。

本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界。

类型三与扇形孤长、面积相关的问题

例3(1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，

则其圆心角a£(0,兀)的孤度教为()

Ao错误！

B.错误！

Co@

D.2

(2)一个扇形OAB的面积是1cn?,它的周长是4cm,求圆心

角的孤度教和弦长AB.

【解析】(1)设圆半径为厂,则其内接正三角形的边长为错误!

r,所以错误!r=a•厂，所以。二错误！。

(2)设扇形的半径为rem,孤长为/cm,则错误!解得错误！

I

所以圆心、角a=^=2o

如图，过点。作于点“，则NAOH=lrad。

所以AH=l・sin1=sin1(cm),所以AB=2sinl(cm),

所以圆心角的弧度教为2,弦长AB为2sin1cm.

【答案】(1)C(2)见解析

(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a二g

r,再求a。

(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解.

方法归纳

扇形的弧长和面积的求解策略

(1J记公式：弧度制下扇形的面积公式4是S二错误!/R二错误!

凝2(其中I是扇形的孤长，a是扇形圆心角的弧度教，0〈。＜2兀).

(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、孤长、圆心角、面积

等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后

灵活运用孤长公式、扇形面积公式直接求解或列方程r组)求

解.

跟踪训练3(1)已知扇形的圆心角为120。，半径为小cm,

则此扇形的面积为cm2;

(2)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角

的弧度教.

解析：Q)设扇形弧长为/,

因为120°=120x错误!rad=错误！(rad),

所以/=。灭二错误!x错误！=错误！(cm).

所以S二错误!/R=错误!x错误!x错误！=兀(cm2).

故填兀.

(2)设扇形圆心角的孤度教为仇0＜。〈2兀)，孤长为I,华役为R,

依题意有错误！

①代人②得氏2一5氏+4=0,解之得R=l,&=4.

当R=1时，I-8(cmJ,此时，9=8rad〉2兀rad舍去.

当R=4时,/=2(cm),此时，夕二错误！二错误！(rad).

综上可知，扇形圆心角的弧度教为错误!rad.

答案：(1)兀(2)见解析

求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、孤长这三个

量中的任意两个量.也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形

的圆心角、半径、孤长.解题时要注意公式的灵活变形及方程

思想的运用.

Iolo2

W川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I川川国E1E3E3•厚I业I达I标I川川川川川川川川川川川I川川川川川川川川川川小川川川h

［基础巩固_7<25分钟，60分）

~、选择题（每小题5分，共25分）

L1920。的角化为弧度教为（）

A.错误！Bo错误！

C.错误!兀D.错误!兀

解析：71°=错误!rad,1920°=1920x错误!rad=错误!兀rad.

答案：D

2、5弧度的角的终边所在的象F艮为（）

A、第一象F艮B.第二象限

C.第三象限D.第四象F艮

解析：因为错误！〈5<2兀，所以5孤度的角的终边在第四象限、

答嗓：D

3,把-错误!兀表示成夕+2防i/£Z）的形式，使|。最小的值是

（）

3

A、—a兀B、—2兀

C.兀D,一兀

11

解析：••一W兀=-2兀+错误！=2x（-1）兀+错误!。

3=-错误!兀。

答嗓：A

4.一个扇形的弧长与面彳只的数值都是6,则这个扇形的圆心

角是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析:设扇形的圆心角的弧度教为仇半径为R,由题意，得

错误!，解得夕=3,故选C.

答案：C

5.圆弧长度等于其所在园内接正三角形的边长，则该圆孤

所对圆心角的弧度教为()

A兀C2兀

A03Bo3

Co错误！D、2

解析：如图，设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长

为错误!凡所以圆孤长度为错误!R的圆心角的弧度教a=错误！=错误!.

答案：C

二、填变题r每小题5分，共15分)

6、下列四个角:1,60°,错误！，-错误！由大到小的排列为

解折：只需把60°化成弧度教，因为60°=60x错误！=错误!，所

以8个角为1,错误！，错误！，一错误！。所以60°二错误!>1>一错误!.

答案:60。二错误!>1〉一错误！

7、若三角形三内角之比为3:4：5,则三内角的弧度教

分别聂___________、

解析：设三角形三内角弧度教分别为3k,4k,5k,则由3k

+4k+5左=兀，得左二错误!，所以3左二错误！，4左二错误！，5左二错误!。

M.兀兀

答案：.错误！

8,孤长为3兀，圆心角为135。的扇形的半径为,面

积为、

解析：135°二错误！=错误!，所以扇形的半径为错误！=4,

面积为错误！*3兀x4=6兀.

答案：46兀

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.将下列角度与孤度进行互化：

Cl)20°；C2)-15°；(3J错误!；(4)一错误!。

20

解析：(1)20°二^^兀=错误!.

（2）-15°二一错误!兀=一错误！。

C3J错误！=（错误!X错误!）°二（错误!X180）°=105°o

（4）一错误！二（一错误!x错误！）°二（一错误!X180）°=-396°.

10.如图，扇形OAB的面积是4cm2,它的周长是8cm,求

扇形的圆心角及弦AB的长.

解析：设扇形圆心角的弧度教为仇0＜。〈2兀），

孤长为Icm,半径为Rcm,

依题意有错误！

由①②得R=2,Z=4,：.e=i=2,

过O作OCLAB,则OC平分/BOA,

又N50A=2rad,

・•・ZBOC=1rad,

:・BC=OBsin1=2sinl（cm）,

•.AB-2BC=4sinl（cm）.

故所求扇形的圆心角为2rad,弦AB的长为4sin1cm.

£能力提升7（20分钟，40分）

11.集合错误!中的角所表示的范囹r如图中阴影部分所示）是

解析：当k=2m,时，2冽兀+错误!0。夕2加兀+错误!，根WZ；

k=2m+1,zn£Z时，2帆兀+错误!夕。02m兀+错误！，m^Z,故选

C.

答案：C

12.如果一扇形的孤长变为原来的错误!僖，半径变为原来的

一半，则该扇形的面积为原扇形面积的.

解析：由于S=错误!/R,若/'二错误!/,R二错误!R,

见1S'=错误!I'R'二错误!x错误!/X错误!R=