命题与量词示范课教学设计【高中数学人教B版必修第一册】

第一章集合与常用逻辑用语

1.2.1命题与量词

♦教学目标

1.了解命题的概念，能够判断一个语句是不是命题，会判断命题的真假；

2.理解全称量词、存在量词的意义，并能正确判断全称量词命题、存在量词命题的真假;

3.会用自然语言、符号语言表示全称量词命题和存在量词性命题.

♦教学重难点

教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.

教学难点：判断全称量词命题与存在量词命题的真假.

♦教学过程

________________________

【新课导入】

1.情境与问题：

“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到.例如：“从最直接的生态保护方式之一一-植树造林,

到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环

境的关注和思考，成为时下的环保“新命题（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也

经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？

师生活动：老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论.

设计意图：通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂.这里通过《中国青年报》

的文章设置了情境，除了引出了“命题”的概念，说明生活中所说的命题与数学中的命题不完全相同

之外，还有一个目的是：引发学生对自然环境的关注和思考，具备生态环境保护的意识.教师在教学

时可以提出这一点，从而达到“立德树人”“培养全面发展的人”等教学目的.

【探究新知】

知识点1命题

阅读课本第22页，23页，回答下列问题：

(1)什么是命题？

(2)命题是如何分类的？

(3)命题可以用什么来表示？

师生活动：老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论.由此可知：(1)命题是可以正假判断的

陈述句，也就是说，一个语句要是命题必须满足:①陈述句；②可以判断真假.两个条件缺一不可.(2)

命题可分为真命题和假命题.判断为真的命题为真命题.判断为假的命题为假命题.(3)命题可以

用小写英文字母表示.例如：命题0：A=(AIJB).

【尝试与发现】

下列命题中，是真命题，是假命题.(填序号)

(1)102=100；

(2)所有无理数都大于零；

(3)平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；

(4)一次函数y=2x+l的图像经过点(0,1)；

(5)设a,仇c是任意实数，如果a>b,则ac>Z?c；

(6)Z^Q.

师生活动：根据对命题相关概念的学习和理解，完成上述命题的真假判断，并归纳判断一个命题真

假的方法.

教师总结：判断命题真假的一般方法：(1)推理法(2)反例法

预设的答案：(1)(3)(4)(6)为真命题，(2)(5)为假命题.

设计意图：加深对命题的概念的理解及其掌握命题真假判断的方法.

知识点2量词

问题：在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，结合下列命题回答问题：

(1)任意给定实数羽必20；

(2)存在有理数x,使得3x—2=0；

(3)每一个有理数都能写成分数的形式；

(4)所有的自然数都大于或等于零；

(5)有一个实属范围内，至少有一个x使得有意义;

(6)方程炉=2在实数范围内有两个解；

(7)每一个直角的三条边长都满足勾股定理.

在上列命题中，哪些命题具有相同的特点？具体说明.

师生活动：学生认真观察，发现：

(1)(3)(4)(7)中含有的“任意”“每一个”“所有的”，都陈述的是指集合中的所有元素都具有

特定性质，(2)(5)(6)中的“存在”“至少有一个”，陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性

质.

(X豁蓝全称量词与全称量词命题的概念

【全称量词与全称量词命题】

“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,

表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词；

含有全称量词的命题，叫作全称量词命题.

(X部蓝存在量词与存在量词命题的概念

【存在量词与存在量词命题】

“有些,，“至少有一个,，“有一个,，“存在,，都有表示个别或一部分的含义，这样

的词叫作存在量词；

含有存在量词的命题，叫作存在量词命题.

教师总结：这里给出的一组命题，从形式上可以分为两类，一类是带有“任意”“每一个”“所有的”，即

含有全称量词的命题；另一类是带有“存在”“至少”“有”，即含有存在量词的命题.

(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.

用符号“V”表示.

全称量词命题：含有全称量词的命题.形如：

对集合M中所有元素x,r(x).可简记为：VxeAf,r(x).

(2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个''在陈述中表示所述事物的个体或部分.

用符号"于’表示.

存在量词命题：含有存在量词的命题.形如：

存在集合M中所有元素x,s(x).可简记：3x&M,s(x).

追问：上述7个命题中是全称量词命题的为；是存在量词命题的

为.

预设的答案：命题(1)(3)(4)(7)都是全称量词命题；命题(2)(5)(6)都是存在量词

命题.

设计意图：具体的实例，观察以上命题具有哪些共同的特点为新授知识做铺垫，并介绍新知识.

【练一练】将下列命题改写为符号语言

(1)任意给定实数x,x2>0.可简记为：

(2)存在有理数x,使得3%-2=0.可简记为：

师生活动：学生尝试完成，教师指正.

预设的答案：(1)Vxe7?,x2>0.(2)—2=0.

设计意图：通过练习，巩固新知.

【尝试与发现】

若记l=0,4(x)：5x-1是整数，则通过指定x所在的集合和添加量词，就可以构成命题.

例如：:VxeZ,p(x)',ql:VxeZ,^(x);p2:3x^Z,y?(x);eZ,q(x).根据上述内容，回

答问题：

(1)上述4个命题px,qvp2,q2中，真命题是；

(2)总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法.

师生活动：分组讨论：(1)真命题：p2,qx,q2；

奥豁黑全称量词命题的真假判断

全称量词命题如何判断真假？

VxeM,p(x)为真：对集合M中每一个元素x,都有p(x)成立；

♦要判断一个全称量词命题为真命题，必须进行证明.

Vx€M,p(x)为假：在集合M中存在一^t元素勺，使得p(x())不成立;

♦要判断一个全称量词命题为假命题，一般可以借助举反例.

♦即找到一个特例，使得它满足命题的条件，但不满足命

：题的结论.

存在量词命题的真假判断

存在量词命题如何判断真假？

BxGM,p(x)为真：能在集合M找出一个元素x,使得p(x)成立;

♦一般可以通过举例判定原存在量词命题为真.

3xGM,p(x)为假：在集合M中，不存在使得p(x)成立的元素x；

♦方法1:证明M中的所有元素都不能使得p(x)成立.

♦方法2:证明使得p(x)成立的元素x不存在或者不在M中.

总结方法：

要判断全称量词命题VxeMj(x).是真命题，必须对限定集合M中每一个元素x,验证r(x)成立;

但要判定其是假命题，却只需举出集合”中的一个元素%,使得r(x0)不成立即可即“举反例”.

要判断存在量词命题.是真命题，只要在限定集合”中的找到一个元素无。,

使得s(x0)成立即可即“举例说明”；但要判定其是假命题，却需说明集合”中的每一个元素x

都使得s(x)不成立.

【巩固练习】

例1下列命题：

①｛2,3,4,2｝是由四个元素组成的集合；

②集合｛0｝表示仅由一个数“零”组成的集合；

③集合｛1,2,3｝与｛3,2,1｝是两个不同的集合；

④集合｛小于1的正有理数｝是一个有限集.其中正确命题是()

A.只有③④B.只有②C.只有①②D.只有②③④

师生活动：学生独立完成并回答，教师指正.

预设的答案：对于①有两个2,故不满足集合的互异性，故①错；

对于②｛0｝中只有一个元素“0”，故②对；

对于③由于集合中的元素是无序的，故｛1,2,3｝=｛3,2,1｝故③错；

对于④小于1的正有理数是有无限个的，故④错.

故选B.

设计意图：补充例题，通过学生思考并回答，使学生学会判断命题的真假，培养学生分析和解决问

题的能力.

例2判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)对任意角a,都有5in2a+co52a=l；

(3)矩形的对角线不相等；

(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.

师生活动：学生独立完成并回答，教师指正.

预设的答案：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360。，故为全称量词命题.

(2)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.

(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题.

(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.

设计意图：通过学生思考并回答，进一步熟悉两种含量词的命题.

例3判断下列命题的真假：

(1)Vxe7?,x2+1>0;(2)VxeN,y/x>1;

(3)3%eZ,%3<1;(4)3x^Q,x2=3.

师生活动：独立完成，教师提问，学生回答，并指正.

预设的答案：(1)真命题(2)假命题(3)真命题(4)假命题

设计意图：通过例题，是通过让学生思考并回答，使学生会判断两种特殊命题的真假，培养学生分

析和解决问题的能力.

课堂练习教材P25-26练习A1,2,3

师生活动：学生回答，学生纠错，教师点评.

设计意图：通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏.

【课堂小结】

1.板书设计

1.2.1命题与量词

(1)命题：可供真假判断的陈述语句称为命题.

判断为真的语句称为真命题.判断为假的语句称为假命题.

(2)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.

全称量词命题：VxeAf,r(x).

(3)存在量词：存在量词：“存在”“有”“至少有一个“在陈述中表示所述事物的个体或部分。

存在量词命题：