2020-2021学年枣庄市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年枣庄市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

直线2%+y+c=0(ceR)的斜率是(

B.-2D.与c有关

2.两圆的方程是（久+1）2+（y-l）2=36,（%-2）2+（y+1>=1则两圆的位置关系为（）

A.相交B.内含C.外切D.内切

3.以下四组向量中，互相平行的有（）组.

（I）：gf=a-O-遍=『4辄一即；；（2）域=瓣*qj嚼，的=您口［磅；

锄

（3）漏=疑恐-5，斛=《一兽做图；（4）读=《一嬴九翔，苏一慝鬻

4.已知数列中，若的=；,a=壬―（nN2,neN+）,则a2。*等于（）

Nna?!-1

B.-1

5.如图，平面a，平面口，4Wa,8€氏48与平面a所成的角为:，过4、B分a

别作两平面交线的垂线，垂足为4、B',若有=整域感”，贝射8与平面0所

成的角的正弦值是（）/

A.回

唇

6.已知数列｛即｝的通项公式为与=品，那么数列｛即｝的前99项之和是（）

99

50

7.过抛物线f=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于P（xi，y）（?（%2，，2）两点，若x1+x2=3p,

则|PQ|等于（）

A.4PB.5PC.6pD.8p

8.设0为坐标原点，直线x=a与双曲线C：捻-3=1缶>0/>0）的两条渐近线分别交于4B两

点，若C的焦距为12,则AOAB面积的最大值为（）

A.72B.36C.18D.9

二、多选题（本大题共4小题，共20.（）分）

9.设Fi，尸2分别为双曲线捺一3=l（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若鬻

的最小值为8a,则该双曲线离心率e的取值可以是（）

A.1B.V2C.3D.4

10.在等差数列｛即｝中，首项%>0,公差d丰0,前n项和为%（neN*）.有下列命题:

©右1s3=S15，则S18=0；

②若S3=Si5，则$9是上中的最小项；

③若S3=S15，则的+%0=0；

若S9>Si。，则Si。>Si].

其中正确命题有（）

A.①B.②C.③D.④

11.已知椭圆C：捺+《=l（a>b>0）的左、右焦点分别为F「尸2,直线，与圆M+y2=炉相切于

点P，与椭圆相交于A,B两点，点4在久轴上方，贝女）

A.弦长MB|的最大值是日

2

B.若/方程为y=b%+Q,贝！jc=b

C.若直线，过右焦点尸2,且切点P恰为线段4尸2的中点，则椭圆的离心率为9

D.若圆/+丫2=坟经过椭圆的两个焦点，且|4/7]|+|AF2l=2鱼，设点P在第一象限，则4

ABF2的周长是定值2或

12.正三棱柱4BC-4B1C1的各条棱的长度均相等，。为441的中点，M,N分

别是线段BBi和线段CG上的动点（含端点），且满足BM=C1N,当M,N运

动时，下列结论正确的是（）

A.在△DMN内总存在与平面4BC平行的线段

B.平面DMN1平面BCCiB]

C.三棱锥A-DMN的体积为定值

D.ADMN可能为直角三角形

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.已知等差数列｛斯｝满足。4=。2+。1，则九学8等=.

14.(理科做)在空间直角坐标系O-xyz中，若三点4(1,5,—2),8(2,4,1),C(a,3,b)共线,则a+

b=.

15.己知正方体4BC0-&81口。1的棱长为2,则点8到平面21多。。的距离为.

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.已知直线2x+y+a=0与圆心为C的圆/+y2+2%-4y-5=0相交于4B两点，且AC1BC,

则圆心的坐标为_(1)_；实数a的值为_(2)_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为尸，抛物线上的点H到y轴的距离

等于

(1)求p的值；

(2)如图，过点0)0>0)作互相垂直的两条直线交抛物线于4,B,

C,D,且M,N分别是AB,CD的中点，求AEMN面积的最小值.

18.若数列｛即｝中不超过/(m)的项数恰为垢(meN*),则称数列｛%｝是数列｛时｝的生成数列，称相

应的函数/'(m)是｛即｝生成｛3｝的控制函数.设f(m)=m2.

(1)若数列｛an｝单调递增，且所有项都是自然数，瓦=1,求为；

(2)若数列｛an｝单调递增，且所有项都是自然数，%=瓦，求%；

2

(3)若an=2n(n=1,2,3),是否存在｛。篦｝生成｛an｝的控制函数g(n)=pn+qn+r(其中常数p,q,

r6Z),使得数列｛a"也是数列的生成数列？若存在，求出g(n)；若不存在，说明理.

19.[4(选修4一1：几何证明选讲)

如图，圆。的直径4B=8,C为圆周上一点，BC=4,过C作圆的切线过A作直线，的垂线AD,D为

垂足，AD与圆。交于点E,求线段4E的长.

20.如图四棱锥P-ABCD中，底面4BCD为平行四边形，Z.DAB=60°,

AB=2AD=2PD=4,PD1底面A8CD.

(1)证明：PA1BD-,

(2)求三棱锥。一PBC的高.

21.已知数列｛0｝是首项%=1,公差为2的等差数列，数列｛%｝是首项瓦=1,公比为3的等比数

列.数列｛d｝满足cn=an-bn.

(1)求数列｛斯｝，｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前n项和5.

22.如图，已知点S(-2,0)和圆0：x2+y2=4,ST是圆。的直径，从左到右M和N依次是S7的四等

分点，P(异于S,T)是圆。上的动点，PD1ST,交ST于。，PE=XED，直线PS与7E交于C,|CM|+

|CN|为定值.

(1)求点C的轨迹曲线厂的方程及；I的值；

(2)设n是过原点的直线，直线，与n垂直相交于Q点，I与轨迹厂相交于4,8两点，且|而|=1.是否存

在直线/，使福•诙=1成立？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：本题主要考查直线的一般式和斜截式之间的转化，以及直线的斜率与倾斜角的问题。由题意，

将直线一般式方程2x+y+c=0转化为斜截式方程为：y=-2x-c,所以直线的斜率为x前面的系

数一2。故选：B。

2.答案：B

解析：解：圆C的方程是(x+l)2+(y-l)2=36,

圆心坐标为C(一1,1),半径为r=6；

圆。的方程为：(x—2)2+(y+l)2=1,

圆心坐标。(2,-1),半径为r'=1；

所以两个圆的圆心距为：d=y/(2+I)2+(-1—I)2=y/13<6—1=5;

所以两个圆内含.

故选：B.

根据两圆的方程写出圆心和半径，利用两圆的圆心距和半径的关系判断两圆内含.

本题考查了两圆的位置关系判断问题，是基础题.

3.答案：D

解析：试题分析：(1)碱=虱,-鬣%簿髭-期;；因为索荔所以说施；

(2)域=螭且埼，氟=铮W号，因为最=崛厮以蔡瀛’；

(3)域=氯凡-季，防=旦一冢£鬻，因为魏，所以漏色；

⑷标：「砥，品=黑「鼻题，因为嘉士氏所以彘嬴

考点：空间中向量平行的条件。

点评：熟记空间向量平行的条件，属于基础题型。

4.答案：C

解析：

本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

利用数列递推关系可得即+3=an>再利用周期性即可得出.

解：an=—7—(n22,n6N+),；•。2=口=2,同理可得：a3=—1,a4=

Nan-lx22

则Qn+3=anf

则@2017=a3X672+l==万，

故选：C.

5.答案：A

解析：试题分析：

连接爵;,■矛，

因为平面al平面/?,AEa,B€0,4B与平面a所成的角为:--过4、B分别作两平面交线的垂线,

垂足为4、B',所以在辞慎慰=”“林11A&微赞1,尊“父通蹈’是本•与平面鼾所成的角，

4

设想答'=浏，因为/叠=酬豪，所以射鹭=作谢，

设旃=鹿雷=’“则酶=蜘产，解得期=殿藏=配当w,

%'

所以/(琥=杆#=箝魅建=3®，-号"8=，幽

――:58i»

篝

炳

所以k靖底

函资=——=—„

警硼’球

考点：用空间向量求直线与平面的夹角.

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思

想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

6.答案：C

解析：解：、■数列｛a｝的通项公式为即=岛=舄切=2(；

n71+/

・•・数列｛an｝的前99项之和：

11111

5=2(1--+---+-+-

99----1-0-0)7

故选：c.

由厮=导=正3=2弓-W利用裂项求和法能求出数列｛5｝的前99项之和•

本题考查数列的前99项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用.

7.答案：A

解析：解：设抛物线必=2px(p>0)的焦点为F,由抛物线的定义可知，\PQ\=\PF\+|QF|=xx+

2+2

2Z2

=(%i+x2)+p=4p,

故选A.

利用抛物线的定义可得，\PQ\=\PF\+\QF\=X1+^+x2+l，把/+%2=3p代入可得结果.

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键.

8.答案：C

解析：解：双曲线三-\=1的渐近线方程为y=±，，

a2b2a

•・,c的焦距为12,A2c=12,即c=6,

・••a2+Z72=c2=36,

・・•直线％=。与双曲线C的两条渐近线分别交于4B两点,

二不妨取A(a,b),B(a,-6),

。4B面积S=^a-\AB\a-2b=ab<贮卢=18,当且仅当a=b=3鱼时，等号成立，

.1•△。4B面积的最大值为18.

故选：C.

易知02+匕2=°2=36,把x=a代入双曲线C的两个渐近线方程可分别得4B两点的坐标，再结合

基本不等式，得解.

本题考查双曲线的几何性质，利用基本不等式解决最值问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

基础题.

9.答案：BC

解析：解：设|PF2|=m,则niNc-a,

由双曲线的定义知，|P0|-|PBI=2a,二|PF2|=m+2a,

.,.吟=史上过=m+至+4a229+4a=8a，当且仅当m=芷，即m=2a时，等号成

\PF2\7nm7mm.

立,

・•・当需的最小值为8a时，|Pa|=4a,\PF2\=2a,

此时m—2a>c—a,解得e=^<3,

又e>1,

eG（1,3],

•••双曲线离心率e的取值可以是VL3.

故选：BC.

设|PF2|=m,WJm>c-a,由双曲线的定义可表示出伊61和1再结合均值不等式，推出当噌

I产厂21

的最小值为8a时，m=2a,求得离心率e的取值范围，从而得解.

本题考查双曲线的定义与几何性质，以及均值不等式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中

档题.

10.答案：ACD

解析：解：由｛an｝是等差数列，53=515,得工5一53=0,B|Ja4+a5+•••+a15=0,

所以三（。4+&5）=0，即。4+«15=。，所以S18=丁（。1+«18）=9（。4+«15）=9（。9+«10）=。，

故命题①③正确；

%>o,S3=Sl5,

••.等差数列｛an｝的公差d<0,又的+%0=0,

•1.a9>0,a10<0,S9是国中的最大项，命题②错误；

若S9>Si0,则d<0,所以从第十项起为负数，故Sio>Sn，故命题④正确.

故选：ACD.

根据等差数列的性质对四个命题逐项判断即可.

本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.

11.答案：BCD

x=b.

亡”=1得y=±把，

｛a2+b2-1a

此时|阴=半>容故选项A错误；

对于选项B,圆心（0,0）到直线I的距离为4=福=上得a2—b2=b3...C=b2,故选项B正确；

对于选项C,rP为4尸2的中点，。为F/2的中点，二QP|=刃4&1=比S-OPLAF2,

22

・'•=2b,=2\PF2\=2Vc—b>由椭圆的定义知2b+27c2—炉=2a，

化简得2=1，在，故选项C正确；

a33

对于选项。，•・,|4&|+|4尸2|=2或,a=夜，

・.•圆/+y2=炉过椭圆的两个焦点，所以b=c=i,故椭圆的方程为:+y2=1,

设4（%i，yi）,B（x2,y2）,\AB\=\AP\+\BP\=J*+*-1+收+光-1=闭胃"

•••P在第一象限，•••|4B|=鬻,=4（2_/），

同理IMI=曰（2-泡），•••△ABF2的周长1=震+曰管力=2&故选项。正确.

综上BCD正确.

故选：BCD.

当直线2与圆相切于点（40）时,转化求解|48|,判断4圆心（0,0）到直线I的距离,推出c=b2,判断

B；利用椭圆的性质结合椭圆的定义，求解离心率判断C；求解椭圆方程，转化求解三角形的周长,

判断D.

本题考查命题的真假的判断，椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

12.答案：ABC

解析：

本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质，锥体的体积，主要考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属于中档题.

直接利用线面垂直的判定和性质及锥体的体积公式的应用判断4B、C、。的结论.

解：根据正三棱柱ABC—4B1G的各条棱的长度均相等，D为的中点，M,N分别是线段和

线段CG上的动点（含端点），且满足BM=GN,

如图所示：

对于A：连接DO,由于。、。为中点,

所以D。〃平面ABC,故在△DMN内存在DO与平面ABC平行的线段，故A正确：

对于B：作NK_LAK,MH1AD,

22

所以DM?=+”“2,DN2=DK+KN,

整理得：DN=DM,

所以△£>"可为等腰三角形，

所以。01MN,同理COlBCi，

所以0。1平面8CC18],

所以平面DMN_L平面BCG/,故B正确；

对于C：%""'=幺-40”=[*94)-48・当48=^|482.4)(定值)，故C正确；

对于。：4DMN,当M和N在中点时，为等边三角形，为最大角，不可能为直角三角形，故。错误.

故选：ABC.

13.答案:2

解析：解:等差数列｛an｝满足。4=。2+%，

设公差为d,则为+3d=2%+d,可得d=[ai，

通项公式：即=的+(n-l)d=的-1),

。,n(n-l)d.n(n-l)

sn=啊+―--=nar+—^―%,

til,,limnanUm耳的+”(："%1Um1+?Umn+1i

则nt8-=ntoo-----=n-8r=nfoo-^=-=2.

s""%+七一1%i+——-

故答案为：2.

利用等差数列的关系，求出首项与公差的关系，求出通项公式然后求解数列的和，即可求解表达式

的极限.

本题考查数列求和，等差数列的通项公式，以及数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力.

14.答案：7

解析：解：空间直角坐标系O-xyz中，三点4(1,5,-2),8(2,4,1),C(a,3,b)共线，

则荏=(1,-1,3).

AC=(a—1,—2,b+2);

.a-l_-2_b+2

・•1-T_3，

解得Q=3,b=4,

・•・a+b=7.

故答案为：7.

由题意知而、而共线，列方程求出a、b的值，再求和.

本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题.

15.答案：V2

解析：解：正方体4BCD-4B1GD1的棱长

为2,

以。为原点，建立空间直角坐标系。-孙z,

B(2,2,0),0(0,0,0),(7(0,2,0),(2,0,2),

DC=(0,2,0)，西=(2,0,2)，DB=(2,2,0)，

设平面2B1CD的法向量祐=(x,y,z),

则严三=2y=。取得亢=

(n•DAt=2x+2z=0

(1,0,-1).

.♦.点B到平面4道修。的距离为：

故答案为：V2.

以。为原点，建立空间直角坐标系。-xyz,利用向量法能求出点B到平面4道停0的距离.

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

16.答案：(一1,2)

±5

解析：解：圆的标准方程为(x+1/+(y-2)2=10,圆心C(-l,2),半径r=

"AC1BC,

圆心C到直线AB的距离d=曰xYIU=遍，

即d=史等=V5,

V5

解得a=±5,

故答案为：(-1,2)；±5.

根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论.

本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的

关键.

17.答案：解：(1)抛物线产=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点H到y轴的距离等于-1.

可得£=1,即p=2：

(2)抛物线的方程为y2=4%,直线48的斜率存在，

设的方程为y=自(％-m),A(xlfyt)9'(如为)，

联立抛物线方程可得心必一4y-4klm=0,

4v-+V?4

可得yi+丫2=丁K]，y，2=-4mI,C]Xj+x2=AC—]—+2m=-^+2m,

可得M(鬻，及产)，即M(一尹皿言，

由4B1C0,可得N(m+2后,2七)，

△EMN面积为S=|\EM\-\EN\=:J(^)2+(^)2•5(2H)2+(—2/^)2

=2J烂+专+2>2、2+2=4,

当且仅当照=看，即七=±1,面积取得最小值4.

解析：(1)求得抛物线的焦点，运用抛物线的定义可得p=2；

(2)设4B的方程为、=七0-m)，力(xi，yj,B(x2,y2),联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标

公式可得M的坐标，再由两直线垂直的条件可得N的坐标，再由三角形的面积公式和基本不等式可得

所求最小值.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，以及中点坐标公式，考查

化简运算能力，属于中档题.

18.答案：解：(1)若名=1,因为数列｛册｝单调递增，

所以由W12,又所有项都是自然数，所以%=0或1；

(2)因为数列｛斯｝的每项都是自然数，

若的=0<12,则瓦21,与<21=瓦矛盾；

若阳之2,则因数列｛6｝单调递增，故不存在厮式12,即瓦=0,也与%=瓦矛盾；

当归=1时，因数列5"｝单调递增，故nN2时，曲>1,所以瓦=1,符合条件；

综上，%=1.

(3)若a/=2n(n=1,2,3),则数列/”｝单调递增,显然数列｛瓦｝也单调递增,

2

由的147n2,gp2n<m,得九工^山?，所以力加为不超过5m之的最大整数，

当根=2k一1(k€可*)时，

因为2炉-2k<im2=2k2-2/c+|<2fc2-2fc+l,所以力加=2k2-2k；

当m=2k(kEN*)时，|m2=2fc2,所以=2好，

妁1_(2fc2—2k,m=2k—l(fc6N*)

b9

t-m=[2k2fm=2k(kEN*)

即当m>0且m为奇数时，力巾=当二；当m>0且m为偶数时，bm=

若数列｛4｝是数列出总的生成数列，且｛，n｝生成｛斯｝的控制函数g(n),

则人加中不超过g(九)的项数恰为Q小即人6中不超过g(zi)的项数恰为2几，

所以b2n工9(")<Zn+I，即2九2<pn2+0i+厂<2n2+2几对一切正整数九都成立,

即£厂2?；+:+7°对一切正整数n都成立，

((2一p)n2+(2-q)n-r>0

fQm十r>

且D--

2,kz2qr>0对一切正整数71都成立，故0工9工2,q€Z,

\(一)n

又常数reZ,

当q=0时，0Wr<2几(几之1),所以r=0,或r=l；

当q=l时，一九4rV九(九N1),所以？'=0,或r=-l；

当q=2时，-2n<r<0(n>1),所以r=—2,或丁=—1；

所以9(九)=2九2,或2/+1,或2九2+九—1,或2/+71,或2九2+271—2,或2层+2九一1(葭6N*).

解析：(1)根据题意即得结论；

(2)根据题意分的=0,ax>2,4=1讨论即可；

(3)若凝=2n(n=1,2,3),则4n为不超过[机?的最大整数，对m分奇偶讨论得6血=

落：~2k，mZ?[：“*),假设存在控制函数g(n),得p=2,且04qW2,qeZ,分q=0,

LZ/C,m—乙K[Kc/Vj

1.2三种情况讨论即可.

本题是一道考查新定义题，需要弄清新概念的本质，考查分析能力、计算能力和分类讨论的思想，

属于难题.

19.答案：解：连接OC,BE,AC,则BE14E.

VBC=4,AOB=OC=BC=4,即AOBC为正三角形，

:.乙CBO=乙COB=60°.

又直线，切O0与C,・・,Od,

-AD1Z,：.AD//OC,

:.Z-EAB=乙COB=60°.

在Rt△BEE中,:.Z-EBA=30°,

•••AE=-AB=4.

2

解析：连接OC,BE,AC,由圆的直径所对圆周角为直角的性质可得BE14E.由BC=4=OB=OC,

可得AOBC为正三角形，因此乙4BC=60。，可得4COB=60。.又直线/切。。于C,利用切线的性质

可得OC1I,于是OC〃/W,可得"AB=乙COB=60。.在RtAB4E中，由=30°,即可得出力E.

20.答案：证明：(1)•••4ZMB=60。，AB=2AD=4,

.•・余弦定理得BD=WAD=28，

从而BO?+心=心，故BZH.AD,

又PD1底面4BCC,可得BD1PD,

：.BD1平面PAD.

故PA1BD.

(2)•；BD1AD,

••.△BCD是直角三角形，

BD1.AD,PD1底面4BCD,

PD1BC,BC1BD,

则BC1平面PBD,

BC1PB,

即APBC是直角三角形,

AB=2AD=2PD=4,

CD=4,AD=2,PD=2,PB=VPD2+BD2=V16=4

则SABCD=：BD-BC=Ix2A/3x2=2瓜

S“BC=^PB-BC=^x4x2=4,

设三棱锥D-PBC的高为八，

则Vp_pBC=^P-BCD)

叫PD-SABCD=，SAPBC，

即2x2V3=4无，

则h=V3.

解析：(1)因为/DAB=60。，AB=2AD,由余弦定理得BD=利用勾股定理证明BD14D,

根据PDJ■底面4BCD,易证BOLPO,根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证P41B0；

(2)利用等积法，得到为_pBC=Bp_BCO,分别求出对应的底面积和高，解方程即可得到结论.

本题主要考查线面垂直的性质定理和判定定理，棱锥高的求解，利用体积相等，建立方程关系是解

决本题的关键.

21.答案：解：(1)•.・数列包/是首项的=1，公差为2的等差数列，数列｛%｝是首项比=1,公比为3的

等比数列，

n-1

：・Qn=1+2(n-1)=2n—1,bn=3.

n-1

(2)van=2n—bn=3.

71

cn=an-bn=(2n—1)3T.

则%=J+Q+C3+…+Cn,

n

即5?1=1・30+3•3〔+…+(2n—1)・3一】，

nn

3Sn=3+3•32+5・33+…+(2九-3)•3一】+(2n-l)-3,

n

两式相减得一2Sn=1+2•3+2•32+2・33+…+2•3九t-(2n-1)-3

=1+%];T)-⑶-1)•371

=-2+3n-(2n-1)-3n

=-2+(2-2n)-3n

则Sn=l+(n-l)-3n.

解析：(1)根据等比数列和等差数列的通项公式进行求解即可求数列｛即｝，｛%｝的通项公式；

(2)求出数列｛d｝的通项公式，