2021届高考数学一轮复习第11章算法、复数与推理证明第3讲合情推理与演绎推理创新教学案（含解析）新人教版

第3讲合情推理与演绎推理

［考纲解读］1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推

理.(重点)

2.掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理.

3.弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；

③猜想新结论.

［考向预测］从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而

合情推理时有考查.预测2021年将会考查归纳猜想及类比推理的应用.题型为客

观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.

基础知识过关

1.推理

(1)定义：根据一个或几个3已知的判断来确定一个新的判断的02思维过程就

是推理.

(2)分类：推理一般分为03合情推理和但演绎推理.

2.合情推理

(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行3归纳、

类比,然后提出02遁想的推理叫做合情推理.

(2)分类：数学中常用的合情推理有03归纳推理和地类比推理.

(3)归纳和类比推理的定义、特征

名称归纳推理类比推理

由某类事物的05部分对象具有某

由两类对象具有回某些类似特征

些特征，推出该类事物的05全部

和其中一类对象的某些已知特

定义对象都具有这些特征的推理,或

征，推出另一类对象也具有这些

者由个别事实概括出一般结论的

特征的推理，叫做类比推理

推理，叫做归纳推理

由G3部分到09整体、由这个别到

特征由这特殊到巧特殊的推理

口一般的推理

3.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推

理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到01特殊的推理.

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提—已知的一般原理；

②小前提一所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

Q诊断自测

1.概念辨析

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()

(3)把a(0+c)与sin(x+y)类比，则有sin(x+y)=sin%+siny,此推理是正确

的.()

(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正

确.()

答案⑴X(2)V(3)X(4)V

2.小题热身

(1)①已知a是三角形一边的长，是该边上的高，则三角形的面积是%力，如

果把扇形的弧长I,半径厂分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为少厂；

②由1=12，1+3=22，1+3+5=32,可得到1+3+5H----H(2〃-1)=序，则①②两个

推理过程分别属于()

A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理

C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理

答案A

解析①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为

类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理.

(2)正弦函数是奇函数，兀c)=sin(x2+l)是正弦函数，因此«0=5111(%2+1)是奇

函数，以上推理()

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.全不正确

答案C

解析>(x)=sin(x2+l)不是正弦函数.

(3)已知数列｛丽｝中,<7i=1,时,an=an-i+2n—l,依次计算(22,b,OA

后，猜想a”的表达式是()

=

A.an3n—1B.a〃=4〃一3

C.an=irD.a〃=3"-i

答案C

解析<71=1,02=4,43=9,04=16,猜想层.

(4)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4,

类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为

答案8

1-

A1111

角

析VI--X-

73----

牛1A2428

V2-

3fe

经典题型冲关

题型一类比推理

【举例说明】

1.等差数列｛丽｝的公差为d,前〃项的和为则数列[系为等差数列，公差

为?类似地，若各项均为正数的等比数列｛为｝的公比为q,前〃项的积为则等

比数列｛阪｝的公比为（）

A，2B.q2

C.y[qD.船

答案C

解析:•在等差数列｛a〃｝中前〃项的和为的通项，

且可写成卷=ai+（〃一1）X亨所以在等比数列｛加｝中应研究前n项的积为。的

开〃次方的形式.类比可得9元其公比为攻.

2.（2019•揭阳模拟）已知结论：“在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，

即焉，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A-BCD

SIIL/ASIIIZ）

中，侧棱AB与平面AC。，平面BCD所成的角为a,『，则有（）

ABCAD£ADBC

C'sinasin£n*sin«sin£

S/\BCDS/\ACDS/\ACDS/\BCD

•sin。sin/3*sinasin£

答案c

解析分别过3,A作平面ACD、平面3c。的垂线，垂足分别为E,F,则

ZBAE=a,/ABF=6,VB-ACD=^S^ACD-BE=^SAACD-AB-sina,VA-BCD=^S^BCD-AF

SABCDS/xACD

,又），=即

—~^S^BCD'A.Bsin£,§S“C£ABsinot"^S^BCDTAB-sin£,sinasin£

【据例说法】

1.类比推理的四个角度和四个原则

(1)四个角度

类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：

①类比的定义：如等差、等比数列的定义，见举例说明1;

②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质；

③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式；

④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球.

(2)四个原则

①长度类比面积；

②面积类比体积；

③平面类比空间见举例说明2；

④和类比积，差类比商.

2.类比推理的一般步骤

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

3.常见的类比推理题型的求解策略

在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注

意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积

对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面

面垂直，边相等对应面积相等.

【巩固迁移】

(2019・榆林一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在

平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(—2,3)且法向量

为〃=(4,—1)的直线(点法式)方程为4X(x+2)+(—l)X(y—3)=0,化简得4x—y

+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点3(2,3,4)且法向量为加=(—

1,—2,1)的平面(点法式)方程为.

答案x+2y—z—4=0

解析将平面中的运算类比到空间中的运算有：经过点3(2,3,4)且法向量为相

=(—1,—2,1)的平面(点法式)方程为(一l)X(x—2)+(—2)X(y—3)+1X(z—4)=0,

化简得x+2y—z—4=0.

题型二归纳推理多角探究

【举例说明】

角度1与数字有关的归纳推理

1.（2019•新乡模拟）观察下列各式110X248=248,11X248=2728,112x248=

30008,113X248=330088,114X248=3630968,…，则口99）＜248的十位数是（）

A.2B.4

C.6D.8

答案C

解析记11”X248的十位数为a”,经观察易得：ao=4,tzi=2,＜72=0,＜23=8,

04=6,05=4,06=2,…,则可归纳出｛而｝的周期为5,则499=04=6.

角度2与式子有关的归纳推理

2.（2019・洛阳模拟）有下列一组不等式：［+；＞［，［+»］＞］，

J4Z4JO2JO/O2

111111

-

十

-+-+--十->

6789w2…,根据这一规律,若第19个不等式为所+行+「+…

+->2，则m+n=,.

答案6

11111±111±1111±11111

角

析

力-------

一

一

-一--__-

牛342527878

452-2

根据这一规律，则第左个不等式为七十七+…+属=＞］,若第19个不等式为

上十2攵十32攵十22

』+L+L-!-----即m=k+2=21,"=2左+2=40,所以m=21,n=

mm~\-1机十2n2

40,即m+n=61.

角度3与图形有关的归纳推理

3.（2019.马鞍山模拟）毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间

的联系，讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等）,

甚至将平面数推广到了立体数，如图所示：

其中三棱锥数依次为1,4,10,…，则第20个三棱锥数为.

/、

n1

附：工m=l2+22+32H-----P/1)(2〃+1)

k=l

答案1540

解析由棱锥数依次为1,1+3,1+3+6,1+3+6+10,1+3+6+10+15,

则Si=l,S2=3,S3=6,54=10,55=15,

n(n+l)1।

S〃=1+2+3+…+〃=2=](序9+〃)，

则Tn=51+S2+53+,•,+

=1X(12+1+22+2+32+3H---HH2+H),

=^X[(l2+22+32H-----H/)+(l+2+3H-----HH)]

=五"("+1)(2〃+1)+甲2(〃+1)

—gM(n+l)(n+2),

720=o7X20X21X22=1540.

【据例说法】

归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符

号可解.见举例说明1.

(2)与式子有关的归纳推理

①与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律

后可解.见举例说明2.

②与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出

数列的项与项数的关系，列出即可.

⑶与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值

检验法验证其真伪性.见举例说明3」【巩固迁移】

1.（2019•萍乡一模）对于大于或等于2的自然数加的〃次易进行如图方式的

“分裂”.仿此，52的“分裂”中最大的数是,若/的“分裂”中最小

的数是211,则机的值为.

7W—

3

*5□

1

W7□

寸9□

11

W□

25□

427

329

答案915

解析根据所给的数据，不难发现：在序中所分解的最大的数是2〃一1；在

2

/中，所分解的最小数是n~n+l.根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5X2

—1=9；若用的"分裂”中最小数是211,则层一“+1=211,解得葭=15或一14（舍

2.（2019•山东省实验中学模拟）观察下列式子，ln2>§,山3>1+亍ln4>§+g+

1

-

••・根据上述规律，第n个不等式应为.

7?

答案In（〃+l）>|+|+yH-----卜2〃1HsGN*）

解析由In2>g,In3>g+g,In4>|+1+^,…，归纳得到In（〃+1）>；+/+劣

+…+于（"CN*）・

3.分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的

数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如

图⑴所示的分形规律可得如图⑵所示的一个树形图.若记图（2）中第〃行黑圈的个

数为（Zn9贝U02020=.

W吨瓜木X第2行

…：：：O©o第3行

⑴…⑵…

〜32019—1

答案

解析根据题图⑴所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，

1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图⑵中的树形图的第1行记为(1,0),第2

行记为(2,1),第3行记为(5,4),第4行的白圈数为2X5+4=14,黑圈数为5+2X4

=13,所以第4行的“坐标”为(14,13),同理可得第5行的“坐标”为(41,40),第

6行的“坐标”为(122,121),….各行黑圈数乘2,分别是0,2,8,26,80,…，即1-1,

3"1—1

3—1,9—1,27—1,81—1,•,,,所以可以归纳出第〃行的黑圈数an—/(«EN*),

32019_।

所以02020=2•

题型三演绎推理

【举例说明】

1.(2019•全国卷II)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行

预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由

高到低的次序为()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

答案A

解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、

丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则

甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由

高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从

而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综

上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选A.

〃+2

2.数列｛如｝的前。项和记为已知m=l,斯+1=-^-列(〃£N*).证明：

⑴数歹U用是等比数歹U；

(2)S"+1=4iZn.

2

证明⑴'•dn+1~Sn+1—Sn,Cln+1=~~~~Sn,

：.(n+2)Sn=n(Sn+i-S,J),即nSn+i=2(n+l)Sn.

7•空■=2•小，又乎=1WO,（小前提）

故.7是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

（2）由（1）可知常=4・普（〃巳2）,

.-.5„+1=4（n+l）--=4-n_x-Sn-i

=4圆（“巳2）,（小前提）

又G2=3SI=3,52=<2i+a2=l+3=4=4t?i,（小前提）

二对于任意正整数“，都有为+1=4斯.（结论）

（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）

【据例说法】

1.推理案例问题

比类问题条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题,

一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处

和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，

从而使问题得到解决.见举例说明1.

2.三段论的应用

（1）三段论推理的依据是：如果集合〃的所有元素都具有性质P,S是"的子

集，那么S中所有元素都具有性质P.

（2）应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提,

然后再找结论.见举例说明2.

提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和

推理形式都正确时，得到的结论一定正确.

【巩固迁移】

1.（2019•宁夏平罗中学模拟）2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如

期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，

某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本

场比赛的冠军进行了如下猜测：

爸爸：冠军是乙或丁；

妈妈：冠军一定不是丙和丁；

孩子：冠军是甲或戊.

比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是.

答案丁

解析若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是乙，

爸爸与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是丙，三个人判断都不正确，不符

合题意；若冠军是丁，只有爸爸判断正确，符合题意，故答案为丁.

2.设函数五x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有d|+J=—，|一J成

立.

证明是周期函数，并指出其周期.

证明由（|+x）=一6―%），且八一x）=

一共X）,知五3+x）=j|+仔=—/|一住+.]=一五_》）=於），所以尸危）

是周期函数，且T=3是其一个周期.

----------------课时作业-----------------

久1组基础关

1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）

A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无理数；结论：兀是无

限不循环小数

B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无限不循环小数；结论:

兀是无理数

C.大前提：兀是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论:

71是无理数

D.大前提：71是无限不循环小数；小前提：兀是无理数；结论：无限不循环

小数是无理数

答案B

解析对于A,小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；

对于B,符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C,大小前提颠倒，不符合演

绎推理三段论形式；对于D,大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.

2.已知l3+23=(1)243+23+33=(y]243+23+33+43=[y)2,若13+23

+33+43H-----k〃3=3025,则〃=()

A.8B.9

C.10D.11

答案C

解析观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是“3时，等号右边的数

为2一>因此，令2=3025,则2=55,n=10或〃=—11(舍去).

3.我们知道：在平面内，点(xo,yo)到直线A%+By+C=0的距离公式d=

|Axo+Byo+C|

,通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x+2y+2z

y/A2+B2

+3=0的距离为()

A.3B.5

c组D.3小

答案B

解析利用类比的方法，在空间中，点(xo,yo,zo)到直线Ax+3y+Cz+£>=0

|Axo+Byo+Czo+

的距离d',所以点(2,4,1)到平面x+2y+2z+3=0的距离d

^/A2+B2+C2

2+8+2+315

11+4+435.

4.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,

7V

贝类比这个结论可知,四面体S—A3C的四个面的面积分别为

S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体s—ABC的体积为V,则H等于（）

A'Si+Sz+Ss+SdT)----------------------------------------------

-S1+S2+S3+S4

4V

C.——

S1+S2+S3+S4'S1+S2+S3+S4

答案c

解析设四面体的内切球的球心为。，则球心。到四个面

的距离都是已由平面图形中厂的求解过程类比空间图形中R

的求解过程可得四面体的体积等于以。为顶点，分别以四个面

为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V=VEWS

13V

-ABC=T（S1+S2+S3+S4）R,所以R=二_LC-故选C.

J31十32十33十34

5.已知数列｛丽｝的前“项和为S”,且0=1,S〃=〃2成（“GN*）,试归纳猜想出

为的表达式为（）

AC2-2n一1

A5w=B.S〃=

-^+Tn~\~1

2n+l2〃

cSn=〃

,~^+1D.S=n+2

答案A

"4

解析•Sn=1^。〃=n(Sn—・•・S〃=^pSi,又Si=ai=l,则S2=?

S3=|=*S4=*，猜想得8=悬，故选A.

6.若数列｛或｝是等差数列，对于为=1（0+。2+…+服），则数列｛况｝也是等差

数列.类比上述性质，若数列｛圆｝是各项都为正数的等比数列，对于dn>0,则dn

=时，数列｛a｝也是等比数列.

答案\IC1C2-----Cn

解析在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：

由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何

平均数等，故我们可以由数列｛丽｝是等差数列，则当瓦=/（0+。2+…+以）时，数

列｛加｝也是等差数列.类比推断：若数列｛c〃｝是各项均为正数的等比数列，则当小

=勺（?。」"心时,数列｛”,｝也是等比数列.

7.甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换.三人

都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同.”乙说:

“我读的第二本书与甲读的第一本书相同.”根据以上说法，推断乙读的最后一

本书是读的第一本书.

答案丙

解析因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读

的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书.

8.已知点A（xi,axl）,B（X2,ax2）是函数y=«T的图象上任意不同的两点，依

据图象可知，线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方，因此有

丝也工为上成立.运用类比思想方法可知，若点A(xi,sinxi),sinx2)

是函数y=sin%（xG（0,兀））图象上任意不同的两点，则类似地有成

立.

Egsinxi+sin%2.xi+x2

口不；2<sin2

解析由题意知，点A,3是函数y的图象上任意不同的两点，该函数是

一个变化率逐渐变大的函数，线段A3总是位于A,3两点之间函数图象的上方，

--

//YI-1Y1-1

因此有「一2一一〉厂胃一成立;而函数y=sin%（xe（0,兀）），其变化率逐渐变小，线

siiixi+sinx2

段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论

2

X1+X2

<sin~2-

纥组能力关