2020-2021学年定西市九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年定西市九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列银行标志是中心对称图形的是（）

AB磅C°D,春

2.如图，将一副三角板在平行四边形4BC。中作如下摆放，设41=30。，那么42=（）

A.55°

3.下列四个方程中，属于一元二次方程的是（）

A.3——5=0B.7x2—2x+3=4+3x+7x2

C.2X2-2VX+1=0D.5x2-i-1=0

4.二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的大致图象如图，关于该二次函数,

下列说法错误的是（）

A.函数有最小值

B.对称轴是直线％=1

C.当x<y随x的增大而减小

D.当—lVx<2时，y>0

5.己知：如图，在等边△4BC中取点P,使得P4,PB,PC的长分别为3,4,5,将线段4P以点4为

旋转中心顺时针旋转60。得到线段4D,连接8D,下列结论:

8

①△ABD可以由△APC绕点4顺时针旋转60。得到；②点P与点。的距离为3；③乙1PB=150。;

④SMPC+SA4PB=6+3B,其中正确的结论有()

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

6.点P是半径为5的。。内一点，且。P=3,在过P点的所有0。的弦中，你认为弦长为整数的弦

的条数为()

A.6条B.5条C.4条D.2条

7.已知关于x的二次方程(1-2卜)/一2x-l=0有两个实数根，则k的取值范围是()

A.fc<1B.k<lfifcC./c>0D.kNO且kH：

8.二次函数y=%2-4%+2©2的图象的顶点在X轴上，则c的值是()

A.2B.—2C.—V2D.+V2

9.如图，在平面直角坐标系中，有4(1,2),8(3,3)两点，现另取一点C(a,1),

当a=()时，4C+BC的值最小.

A.2

C-T

D.3

10.对于函数y=-2(x-3)2,下列说法不正确的是()

A.开口向下B.对称轴是x=3

C.最大值为0D.与y轴不相交

填空题(本大题共8小题，共24.0分)

11.在ZMBC中，ZC=90°,AC=

力C的概率是.

12.将二次函数y=5/_3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为

13.已知点2(2,a)关于原点的对称点B(b,3),贝lj(a—匕>。^=.

14.抛物线y=ax2+bx+c经过点4(一3,0),B(l,0)两点，则关于x的一元二次方程a/+bx+c=0

的解是.

15.已知”=一2是方程/+6％一6=0的一个根，则m的值是

16.已知。。的直径4B=10cm,弦CD1AB于点M；若OM：OA=3：5,则弦AC=

17.如图，在。。中乙4cB=乙BDC=60°,AC=2遮，则0。的周长是

18.如图(1)表示1张餐桌和6张椅子(每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放30张餐桌需要的

椅子张数是

三、解答题(本大题共10小题，共66.0分)

19.解下列方程：

(1)(%+l)(x+2)=2x+4

(2)4x2-8%+1=0(用配方法)

(3)3/+5(2%+1)=0.

20.如图，将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转30。，得到夹角为60。的平面坐标系xOy,称

之为平面60。角坐标系.类比平面直角坐标系中确定点的坐标的方法，设平面60。角坐标系中有

任意一点P,过点P作P4〃y轴，交》轴于点4,4点的坐标为(x,0),过点P作PB〃x轴，交y轴于

点B,8点的坐标为(0,y),则点P坐标为(x,y).

利用以上规定，在平面60。角坐标系中解决下列问题：

(1)在图12中，过点4(1,0)、B(0,l)分别作y轴、x轴的平行线，两条直线交于点C,则点C的坐标为

(、)；

(2)若点M在第二象限，且M到x轴、y轴的距离均为力，则M点坐标为(、)；

(3)一次函数的图象在平面60。角坐标系中仍然是一条直线，求直线y=x、直线y=-3久+|及x轴围

成的三角形的面积.

1

21.如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2=BC-4B(aC>BC),则称点A

C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄

金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y=ax2+bx+c,满足川=ac(b*

0),则称此抛物线为黄金抛物线.

(I)若某黄金抛物线的对称轴是直线x=2,且与y轴交于点(0,8),求y的最小值；

(口)若黄金抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点P为(1,3),把它向下平移后与x轴交于4(而+3,0)，

F(x0.0),判断原点是否是线段4B的黄金分割点，并说明理由.

22.正方形4BCC的边长为3,E,F分另提边BC,CD上的点,且血F=：........

45°,将AABE绕点力逆时针旋转90°,得至ijAAOG.求证：EF=BE+/\

23.某市将开展以“玩转数学”为主题的数学展示活动，我校对100名参加

选拔赛的同学的成绩按4B,C,。四个等级进行统计，绘制成不完整

的统计表和扇形统计图：

成绩等级频数(人数)

A40.04

Bm0.51

C71

D

合计1001

(1)求m=,n=；

(2)在扇形统计图中，求“C等级”所对应扇形的圆心角的度数；

(3)成绩等级为4的4名同学中有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市

比赛，请用画树状图或列表的方法，求''选出的两名同学中至少有一名是女生”的概率.

24.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BC,CFJ.4D,垂足分别为E,

F,AE,CF分别与B0交于点G和H,且4B=2遍.

(1)若tan乙4BE=2,求CF的长：

(2)求证：BG=DH.

25.如图，以△4BC的BC边上一点。为圆心的圆，经过4、B两点，且与BC边交于点E,。为BE的下

半圆弧的中点，连接AD交BC于尸，若AC=FC.

(1)求证：4c是。。的切线:

(2)若BF=8,DF=^40,求。。的半径;

(3)若乙4DB=60。，BD=1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)

26.某批发商以每件50元的价格购进800件7恤.第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个

月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查,

单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对

剩余的7恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.（1）填表（不需化简）：

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）8040

销售量（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批7恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元?

27.如表给出了一个二次函数的一些取值情况:

X・・.01234—

y...30-103—

请在坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象说明:

（1）当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围;

（2）当0Wy<3时x的取值范围.

28.如图，矩形。ABC在平面直角坐标系内（。为坐标原点），点4在%轴上，点C在y轴上，点B的坐标

为（-4,4百），点E是BC的中点，现将矩形折叠，折痕为EF,点尸为折痕与y轴的交点，EF交x轴

于G且使ZCEF=60°.

⑴求证：AEFC2AGF0；

(2)求点。的坐标；

(3)若点P(x,y)是线段EG上的一点，设APAF的面积为s,求s与x的函数关系式并写出x的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：4、是中心对称图形，故此选项符合题意；

8、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

。、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：A.

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫

做中心对称图形可得答案.

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

2.答案：C

解析：解：延长EH交AB于N,

•••△EFH是等腰直角三角形，

乙FHE=45°,

•••乙NHB=4FHE=45°,

vZ1=30°,

•••乙HNB=180°-Z1-乙NHB=105°,

•••四边形4BCD是平行四边形，

•••CD//AB,

42+乙HNB=180°,

•••Z2=75°,

故选：C.

根据等腰直角三角形的性质求出NFHE=45。，求出4NHB=4FHE=45。，根据三角形内角和定理

求出ZJ/NB=105%根据平行四边形的性质得出CD〃4B,根据平行线的性质得出42+乙HNB=

180°,带哦求出答案即可.

本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识

点，能根据平行四边形的性质得出CD〃/1B是解此题的关键.

3.答案：A

解析：解：4、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.

B、由已知方程得到：5x+l=0,属于一元一次方程，故本选项不符合题意.

C、该方程属于无理方程，故本选项不符合题意.

D.该方程属于分式方程，故本选项不符合题意.

故选：A.

一元二次方程必须满足两个条件：

(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为0.

本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方

程，一般形式是a/+匕％+c=0(且a看0).

4.答案：D

解析：解：4、由抛物线的开口向上，可知a>0,函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；

B、由图象可知，对称轴为x=T，正确，故8选项不符合题意；

C、因为a>0,所以，当时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；

D、由图象可知，当一1<%<2时，y<0,错误，故力选项符合题意.

故选：D.

根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断4；

根据图形直接判断8；

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C;

根据图象，当-l<x<2ll寸，抛物线落在x轴的下方，则y<0,从而判断D.

本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题.

5.答案：C

解析：

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所

夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理

的逆定理.

由线段4P以点4为旋转中心顺时针旋转60。得到线段力D,根据旋转的性质有AD=4P,4D4P=60°,

再根据等边三角形的性质得乙B4C=60。，AB=AC,易得/D4P=NPAC,于是△4B0可以由△4PC

绕点4顺时针旋转60。得到；△ADP为等边三角形,则有PD=PA=3；在4PBD中，P8=4,PO=3,

由①得到BD=PC=5,利用勾股定理的逆定理可得APB。为直角三角形，且NBPD=90。，则

Z.APB=ZAPD+乙BPD=60°+90°=150°；由△ADBmAAPC^S^ADB=S&APC，则有SAAPC+

S-PB=S+S=S-DP+SABPD，根据等边三角形的面积为边长平方的3倍和直角三角形的

hADBhAPB4

面积公式即可得到另40P+S“BPD=^x324-ix3x4=6+-V3,可判断④不正确.

424

解：连PO,如图，

••・线段4P以点A为旋转中心顺时针旋转60。得到线段an,I'/l\

•••AD=AP,4DAP=60°,/

又•••△ABC为等边三角形，B匕----------二

/.BAC=60°,AB=AC,

・•・Z.DAB+匕BAP=乙PAC+乙BAP,

・•・Z.DAP=Z.PAC,

.••△48。可以由△力PC绕点4顺时针旋转60。得到，所以①正确；

•••DA=PA,乙DAP=60°,

.••△40P为等边三角形，

•••PD=PA=3,所以②正确；

在△PBD中，PB=4,PD=3,由①得到BD=PC=5,

V32+42=52,即PZ)2+pB2=BD2t

PBD为直角三角形,且NBPD=90°,

由②得乙4PC=60°,

乙APB=NAPD+乙BPD=60°+90°=150°,所以③正确；

•・,△ADB^^APC,

•••^AADB=Sfpc，

S—pc+SMPB=S&ADB+S—PB=S—DP+S&BPD=fx32+gx3x4=6+：所以④不正确.

故选C.

6.答案：C

解析：求出过点P的最长的弦和最短的弦，再利用对称性即可找出所有长为整数的弦.

解：如图，过点P作直径48,作弦CDJLAB于点P,连接0C.

则直径4B是最长的弦，且AB=10.

在RtAABC中，OP=3,OC=5,

.•・根据勾股定理得PC=4,

CD=2PC=8,

即过点P最短的弦长是8.

因此，过点P的弦中还有两条长为9的弦(位置如图中EF、MN),

所以过点P长为整数的弦共有4条.

故选C.

7.答案：B

解析：解：因为关于x的二次方程(1-2卜)/—2%-1=0有两个实数根，

所以△=b2-4ac=(—2)2-4(1-2k)x(-1)=8-8/c>0,且1~2/c。0,

解之得，k<1且k力也

所以k的取值范围是k<1月上H%

故选：B.

二次方程有实数根即根的判别式△?()，找出a,b,c的值代入列出k的不等式，求其取值范围.

本题考查了一元二次方程a%2+bx+c=0(aH0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4<1(:.当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<◊时，方程没有实数

根.

8.答案：D

解析：解：由4X1X2C216=0,

4X1

解得：c=+V2,

故选：D.

二次函数y=%2-4x+2c2的图象的顶点在久轴上，只要顶点坐标的纵坐标等于零就可以.

熟悉二次函数的顶点坐标公式，并能熟练运用.

9答案:B

解析：解：作点A关于y=l的对称点4(1,0),连接48交y=l于C,则

(k+b=0

l3k+b=3

解得:

故直线a'B的函数解析式为：y=|x-|,把C的坐标Q1)代入解析式可得，a=|.

故选：8.

先作出点4关于y=l的对称点小,再连接48,求出直线4B的函数解析式，再把y=1代入即可得.

此题主要考查了轴对称-最短路线问题和一次函数的知识，根据已知作出点4关于y=1的对称点A是

解题关键.

10.答案：D

解析：

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型.

根据二次函数的性质即可一一判断.

解：对于函数y=—2(%—3/的图象，a=-2<0,

.•.开口向下，对称轴x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最大值0,

故A、B、C的说法正确，均不合题意，

•.•在y=-2(%-3)2中，当x=0时，y=-18,

•••此抛物线与y轴的交点为(0,-18),故。选项的说法不正确，因此。选项符合题意.

故选。.

1L答案:T

解析：解：在等腰直角三角形4BC中，设4C长为1,则4B长为VL

在48上取点M,使4M=1,则若。点在线段4M上，满足条件.

则AD<AC的概率为1-V2=

2

故答案为：匹.

2

欲求AD44C的概率，先求出。点可能在的位置的长度，结合己知4c的长度，求得4B的长，再让两

者相除即可.

本题主要考查了概率里的古典概型.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以

是长度、面积、体积、角度等，其中对于儿何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点

落在区域。上任置都是等可能的.

12.答案：y=5x2+4

解析：解：根据平移的规律可知：

抛物线y=5%2-3向上平移7个单位后，所得到抛物线为图象的二次函数解析式是y=5/-3+7,

即y=5x2+4.

故答案为：y=5x2+4.

可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答.

主要考查的是函数图象的平移，用平移规律”左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移

后的函数解析式.

13.答案：1

解析：解：•••点4(2,a)关于原点的对称点B(瓦3),

:.b=—2,a=—3,

则(a-6)2。16-i

故答案为：1.

直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值进而得出答案.

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a,b的值是解题关键.

14.答案：%=—3.x2=1

解析：解：・抛物线丫=a/+bx+c经过点4(-3,0)、8(1,0)两点，

.•.当y=0时，0=ax?+bx+c,解得Xi=-3,x2=

二一元二次方程a/+bx+c=0的解是=-3,x2=1>

故答案为：%i=-3,x2=1.

根据抛物线y=。%2+法+(；经过点4(_3,0)、8(1,0)两点，可以得到当y=0时对应的x的值，从而

可以得到一元二次方程a/+bx+c=0的解.

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数与一元二次方程的关系解答.

15.答案：一1

解析：解：依题意，得

(-2)2-2m-6=0,

解得，m=-1.

故填：-1.

把％=-2代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值.

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就

是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

16.答案：4而51或2西cm

10cm,弓玄CDLAB于点、M.若OM：OA=3：5,

:.OA=OC—5(cm),OM=3(cm),AM=8(cm),

•••CM=y/OC2—OM2=4(cm)>

AC=>JCM2+AM2=4V5(cm),

如图2,「AB=10cm,弦COJ.AB于点M.若OM：OA=3：5,

・•・OA=OC=5(cm),OM=3(cm),AM=2(cm),

:.CM=y/OC2-OM2=4(cm)，

AAC=y/CM2+AM2=2V5(cm),

综上所述：弦4c的长为4v^crn或275cm.

故答案为：4>/5cm或2V5cm.

分两种情形：当点M在线段。4上或点M在线段40的延长线上时，分别求解即可.

本题考查了勾股定理，垂径定理.解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算.

17.答案：4兀

解析：解：连接。C,作0E14C于E.

vZ.ACB=乙BDC=60°,

:.乙4=Z.BDC=60°,

・•.△ABC是等边三角形，

:.乙OCE=30°,CE=-AC=b（垂径定理）,

则。。的周长是47r.

故答案为47r.

根据圆周角定理，得=4BDC=60。，从而判断△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质

求得其外接圆的直径，从而求得其周长.

此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质.

注意：等边三角形的外心和内心重合，是它的三边垂直平分线的交点.

18.答案:122

解析：解：结合图形发现：1张餐桌时，是6张椅子.在6的基础上，每多一张餐桌，就多4张椅子.

则共有n张餐桌时，就有6+4(n-1)=4n+2.

当n=30时，原式=4x30+2=122.

故答案为122

根据所给的图形可得，发现每多一张餐桌，就多4张椅子，依此论推，从而得出n张餐桌时，就有6+

4(n-l)=4n+2,再把n=30代入，即可得出答案.

本题考查规律型：图形变化，主要培养学生的观察能力和归纳能力，解题的关键是学会从特殊到一

般的探究方法，寻找规律后解决问题.

19.答案：解:(l)(x+l)(x+2)-2(x+2)=0,

(x+2)(x+1-2)=0,

%+2=0或％—1=0,

%]=2,%2=1;

(2)x2-2%=-i,

%2—2%4-1=-,

4

(xT)2=?

(3)3x2+10x+5=0,

Q=3,b=10,c=5,

•••△=b2-4ac=100—60=40>0,

・••方程有两个不相等的实数根，

_-b±\!b2-4ac_-10±2\^10_-5±V10

••X—==,

2a63

_-5+V10_

"X1=~~'X2=~~•

解析：(1)先移项，再提公因式，求解即可；

(2)先把二次项系数化为1,再用配方法求解即可；

(3)先去括号，再再用公式法求解即可.

本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法,

因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

20.答案：1；1；-2；2

解析：解：⑴•••过点4(1,0)、B(0,l)分别作y轴、x轴的平行线，两条直线交于点C,

C(l,l)；

故答案为：1,1;

(2)如图1,•••点M在第二象限，且M到x轴、y轴

的距离均为百，

•••OM平分第二象限夹角，

vME=MF=V3,Z.MOE=60°,

•••OM=2,

•・•乙AOB=120°,四边形OAMB是平行四边形,

・•・Z.A=60°,

・・・△04M是等边三角形，四边形。力MB是菱形,

OA=OB=2,

・•・M(-2,2)；

故答案为：—2,2；

(3)设直线y=x、直线y=-1%+1交于点E,如图2,

解方程组0]工+|,得仁;，

则点E的坐标为(1,1),

直线y=-1x+|,令y=0,得x=3

直线y=+|与x轴的交点为尸(3,0),

OF=3.

直线y=%、直线y=-[%+|及％轴围成的三角形为^。后尸，

过点E作EG〃y轴交x轴于点G,则OG=1,4EGF=60。，易得EG=1.

过点E作EH_Lx轴，垂足为H,^Rt^EGH^,

EH=EG.s^EGH=EG-sin^=^.

•••SMF=[OF•EH=3x3x曰=限

(1)根据平面60。角坐标系坐标确定方法易得C点坐标；

(2)如图1,证明△04M是等边三角形，四边形04MB是菱形，由ME=MF=遮，Z.MOE=60°,得

到。/=OB=2,进而求出M的坐标；

(3)如图2,求出点E、尸的坐标，过点E作EG〃y轴交不轴于点G,过点E作EH_L%轴，垂足为H,求出

EH,即可计算直线y=x、直线、=一：％+|及%轴围成的三角形为4。后尸的面积.

本题主要考查了阅读理解题型的一次函数综合题，这种题目要求学生具有较强的阅读理解能力、模

仿能力以及数形结合能力.

21.答案：解：(I)••,黄金抛物线的对称轴是直线x=2,

.・•b=-4a,又b?=ac

・•・16a2=ac.

且与y轴交于点(0,8),

Ac=8.

-a=-,b=-2.

2

1

・••y--xz9-2%+8

=|(x-2)2+6,

y有最小值为6.

答：y的最小值为6.

(H)原点是线段AB的黄金分割点.理由如下：

,黄金抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点P为(1,3),

把它向下平移后与％轴交于4(遮+3,0)，B(xo,O),

x0=—1—V5-

.•・CM=3+倔OB=1+而，AB=4+24.

OA2=(3+V5)2=14+6V5.

OB-AB=(1+V5)(4+2遮)=14+66.

•••OA2=OBAB.

答：原点是线段4B的黄金分割点.

解析：(I)根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；

(口)根据抛物线的顶点坐标确定与的值，再根据黄金分割的定义即可判断.

本题考查了黄金分割、二次函数的性质、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点、图象平移，解决本

题的关键是综合运用以上知识.

22.答案：证明：如图，由题意得：AABE三△4DG,

・•・Z-BAE—Z.DAG9AE=AG,BE=DG；

FG=BE+DF-.

■.Z.BAE+乙FAD=4FAD+Z.DAG；

vZ.EAF=45°,/.BAD=90°,

•••4BAE+/.FAD=90°-45°=45°,

•••Z.FAG=45°,Z.EAF=NF4G；

EAF^^G4F中，

AE=AG

/.EAF=NGAF,

AF=AF

•••△EAF^^G4F（S4S）,

•••EF=FG,而FG=BE+DF,

：.EF=BE+DF.

解析：首先证明FG=BE+DF；其次证明AE=AG,^EAF=/.FAG,此为解题的关键性结论；证

明AEAFmAG4尸,得到EF=FG,即可解决问题.

该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点及其应用问

题；应牢固掌握旋转变换的性质等知识点；解题的关键是抓住旋转变换过程中的不变量.

23.答案：5130

解析：解：⑴参加本次比赛的学生有：4+0.04=100（人）；

•••m=0.51x100=51（人），D组人数=100x15%=15（人），

：.n=100-4-51-15=30（人），

故答案为：51,30；

（2）B等级的学生共有：50-4-20-8-2=16（人），

二所占的百分比为：16+50=32%,

二C等级所对应扇形的圆心角度数为：360°x30%=108°；

（3）由题意可得，树状图如下图所示，

/K/N/1\

男女女男女女男男女男男女

选出的两名同学中至少有一名是女生的概率是工=|.

(1)由4的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题；

(2)由总人数求出C等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数；

(3)列表得出所有等可能的情况数，找出刚好选出的两名同学中至少有一名是女生的情况数，即可求

出所求的概率.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查

了统计图.

24.答案：⑴解:

••,四边形4BCD是平行四边形，

•••Z.CDF=/.ABE,DC=AB=2有，

vtanZ.ABE=2,

・•,tan乙CDF=2,

vCFLAD,

・•.△CFD是直角三角形，

・••竺=2,

DF

设OF=x,贝IJCF=2x,

在RtACFO中，由勾股定理可得(2x)2+/=Q岔)2,解得％=2或刀=一2(舍去)，

CF=4；

(2)证明:

••・四边形4BCD是平行四边形，

•••AD^BC,AD//BC,

・•・Z,ADB=乙CBD,

vAELBC,CF1AD,

・・・AE1AD,CF1BC,

・・•Z.GAD=乙HCB=90°,

AGD=^CHB,

・•・BH=DG,

：•BG=DH.

解析：(1)由平行四边形的性质，结合三角函数的定义，在RtACFD中，可求得CF=2DF,利用勾

股定理可求得CF的长；

(2)利用平行四边形的性质结合条件可证得△AGD=^CHB,则可求得8"=0G,从而可证得BG=DH.

本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，注意全等三角

形的应用.

25.答案：(1)证明：连接。4、0D,如图，

•••。为BE的下半圆弧的中点，

•••0D1BE,

4ODF+乙OFD=90°,

•••CA=CF,

••・Z.CAF=Z-CFA,

而NCFA=乙OFD,

・・•Z.ODF+/,CAF=90°,

vOA=OD,

・•・Z-ODA=Z-OAD,

/.Z.OAD+Z.CAF=90°,即々OAC=90。，

・・・OA1AC,

•••4。是。。的切线；

D

(2)解：设。。的半径为r,则OF=8-r,

在中，(8-r)2+r2=(V40)2.解得q=6,全=2(舍去),

即。。的半径为6；

(3)解：•••^BOD=90°,OB=OD,

.­•ABOD为等腰直角三角形，

CD^2.V2

OB——BorD=—，

22

V乙40B=2zJ\DB=120°,

・・・/LAOE=60°,

在RtACMC中,AC=y/3OA=

・•・阴影部分的面积=-隹巫_6°”货=在巴

22236012

解析:(1)连接04、。。，如图，利用垂径定理的推论得到。。1BE,再利用CA=CF得到4C4F=/.CFA,

然后利用角度的代换可证明ZOA。+Z.CAF=90。，则。41AC,从而根据切线的判定定理得到结论；

(2)设。0的半径为r,则OF=8—r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到(8-M=(闻)2,然

后解方程即可；

(3)先证明△B。。为等腰直角三角形得到08=乎，则。4=号再利用圆周角定理得到N40B=

2/408=120。，贝此AOE=60。，接着在RtAOAC中计算出4C,然后用一个直角三角形的面积减去

一个扇形的面积去计算阴影部分的面积.

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂

直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

有切线时，常常“遇到切点连圆心得半