2022-2023学年江西省宜春市某中学八年级（上）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级第一学期期末数学

试卷

一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.下列计算中正确的是（）

A.4^/3-373=1B.V2+V3=V5C.近啦=3近D.2+3V2=5A/2

2.下列线段a,h,。能组成直角三角形的是()

A.。=2,b=3,c=4B.a=4,b=5,c=6

C.a=lfb=y[2,c=MD.a=W，6=M，C=&

3.直角三角形的两边长分别为6和10,那么它的第三边的长度为（）

A.8B.10C.8或2^/^D.10或

4.如图，四边形48CC的对角线AC,BO相交于点0,且AB〃C。，添加下列条件后仍不

能判断四边形4BCD是平行四边形的是（）

A.AB=CDB.AD//BCC.OA=OCD.AD=BC

5.如图，菱形ABC。中对角线相交于点O,AB=AC,则NAO3的度数是（）

6.在矩形488中，对角线AC、BO相交于点0,AE平分N84D交BC于点E,ZCAE

=15°,连接OE,则下面的结论：其中正确的结论有（）

①△QOC是等边三角形；

②△8OE是等腰三角形；

@BC=2AB；

④NAOE=150°；

（§）S&AOE=S&COE.

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.化简：，（3-兀3=.

8.一个正方形的对角线长为2,则其面积为.

9.如图，延长矩形A8CZ）的边3c至点E,使CE=BD,连接AE,如果NA£>B=30°,则

10.某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平

方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元.

11.如图，平行四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,直线EF过。点，若48=

2,BC=4,/ABC=60°,则图中阴影部分的面积是

12.如图，四边形A8CD中，AD//BC,AD=Scin,BC=l2cm,M是5c上一点，且

9cm点E从点A出发以icm/s的速度向点。运动，点/从点C出发，以3cm/s的速度

向点8运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为“则当以A、M、

E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，f=

三.（本大题5小题，每小题6分，共30分）

13.计算：

⑴标-百+2我+2后；

（2）（遥+1）（3-&）-V20.

14.如图，在平行四边形ABC。中，点&F分别在A。、BC上，且AE=CF.求证：BE

//DF.

B

15.先化简，再求值：a+Vl-2a+a2*其中"=2020.

如图是小亮和小芳的解答过程.

解：廨＞&-行团T

解：原式=a-标犷

=a-a-l

=a-l-a=l

=2a-l=4039

小芳

（1）的解法是错误的；

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：

（2）先化简，再求值：«+2^a2.6a+9,其中a=-2.

16.若x,y是实数，且y=^/4x-l+"Vl-4x+3,求3d三的值.

17.如图，在每个小正方形的边长都为1的方格纸中有线段A8,点4、8均在小正方形的

顶点上.

(1)在方格纸中以AB为对角线画矩形ACBC,点C、。均在小正方形的顶点上，且点

C在A8的右侧，该矩形的面积为4；

(2)以AC为边画平行四边形ACEF(非矩形)，点E、F均在小正方形的顶点上，且平

行四边形ACEF的面积为4.

图1图2

四.(本大题3小题，每小题8分，共24分)

21

18.先化简再求值”■+(a+l)+f-,其中a=«+l.

aTa-2a+l

19.如图，在正方形中，点E,尸分别在BC,CC上，且BE=CF.AE与BF交于点

0.猜想：AE与BF的关系，并给出证明.

20.如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高.点。是AC中点，延长DO到E,使。£=

OD,连接4E,CE.

(1)求证：四边形AQCE的是矩形；

(2)若48=17,8c=16,求四边形ADCE的面积.

五.(本大题2小题，每小题9分，共18分)

21.如图，在△ABC中，NC=90°,点。在斜边AB上，E、尸分别在直角边C4、BC上,

KDE1AC,DF//AC.

(1)求证：四边形CE。尸是矩形；

(2)连接EF,若C到AB的距离是5,求EF的最小值.

22.如图1,在矩形ABCD中，对角线AC,8。相交于点0,经过点。的任意一条直线分

别交A。，BC于点E,F.

(1)求证：0E=0F；

(2)如图2,如果点E,F分别是AZ),BC的中点，AB=5,8c=12.在对角线AC上

是否存在点P,使NEP尸=90°?如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由.

六、解答题(本小题12分)

舟君1一样的式子’

23.在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如左,其实我们

还可将其进一步简化:

3二3X遥_3Vs；(一)

V5=V5xVs~~~5

但=

/2X3_V6(-)

V3-V3X3~T

2_2(V3-1)2(V3-1)

(三)

V3+1-(V3+1)(V3-1)-(V3)2-12-1：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化

2

还可以用以下方法化简:

V3+1

3-1.(V3)2-12(V3-H)(V3-1)

2/§-]_；(四)

V3+1V3+1V3+1V3+1

(1)化筒房

2

(2)请用不同的方法化简代谓.

2

①参照(三)式得

V5+V3-

2

②步骤(四)式得

(3)化简:

V3+1'V5+V3'V7-H/51+V2n+1W2n-1

参考答案

一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.下列计算中正确的是（）

A.4我-3«=1B.V2+V3=V5C.V2+78=372D.2+3a=5&

【分析】利用同类二次根式的意义与合并同类二次根式的法则对每个选项进行逐一判断

即可.

解：：4M-3^=F，

选项的结论不正确；

•••J5与我不是同类二次根式，不能合并，

选项的结论不正确；

♦:近+近=近+2®=3版，

；.C选项的结论正确；

：2与3&不是同类二次根式，不能合并，

选项的结论不正确.

综上，计算正确的是：C.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同类二次根式的意义与合并同类二次根式的

法则，正确利用二次根式的加减法则是解题的关键.

2.下列线段。，b,c能组成直角三角形的是（）

A.a=2,b=3,c=4B.a=4,b=5,c=6

C.a—\,h=yf2'c=MD.a—yfy,b=M，c=&

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断.

解：A、22+32#42,不能组成直角三角形，不符合题意；

8、42+52W62,不能组成直角三角形，不符合题意；

C、P+（近）2=（百）2,能组成直角三角形，符合题意；

D、（V3）2+（娓）2#2,不能组成直角三角形，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的

关键，注意：如果一个三角形的两边心。的平方和等于第三边C的平方，即“2+〃=/,

那么这个三角形是直角三角形.

3.直角三角形的两边长分别为6和10,那么它的第三边的长度为（）

A.8B.10C.8或2^/^D.10或2^/^

【分析】利用勾股定理计算即可，注意分类讨论.

解：当10为斜边时，第三边为JI（）2_62=8,

当第三边为斜边时，第三边为万寿=丁诿=2雇，

.•.第三边为8或2房.

故选：C.

【点评】本题主要考查勾股定理，解题关键是注意到要分类讨论.

4.如图，四边形48CC的对角线AC,BO相交于点O,且AB〃C。，添加下列条件后仍不

能判断四边形48C。是平行四边形的是（）

A.AB=CDB.AD//BCC.OA=OCD.AD=BC

【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平

行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABC。是平

行四边形；C、由AB〃CZ）可得出NBAO=NOC。、ZABO=ZCDO,结合。4=0C可

证出△AB。丝△C。。（A4S）,根据全等三角形的性质可得出AB=C£>,由“一组对边平

行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形A8CQ是平行四边形；D、由AB〃CQ、

AO=8C无法证出四边形ABC。是平行四边形.此题得解.

解：A、".'AB//CD,AB=CD,

四边形ABC。是平行四边形;

B、'：AB//CD.AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形;

C、'：AB//CD,

：.ZBAO^ZDCO,/ABO=NCDO.

，ZBAO=ZDCO

在△ABO和△C。。中，，NABO=NCDO，

0A=0C

:.△ABgXCDO(A4S),

：.AB=CD,

四边形ABC。是平行四边形；

D、由AB〃C。、AO=BC无法证出四边形4BCD是平行四边形.

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选

项给定条件能否证明四边形A8C。是平行四边形是解题的关键.

5.如图，菱形A8CD中对角线相交于点0,AB=AC,则/4。8的度数是()

A.----------------------------------------»D

D.60°

【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得NAQC=60°,根据

菱形的性质可得NAO8的度数.

解：在菱形A8CO中，AB=BC,ZADC=ZABC,

•：AB=AC,

：.AB=BC=AC,

.•.△ABC是等边三角形，

ZABC=ZADC=60°,

在菱形ABC。中，NADB=NCDB,

：.ZADB=30°,

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质

是解题的关键.

6.在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点0,AE平分NBA。交BC于点E,ZCAE

=15°,连接0E,则下面的结论：其中正确的结论有（

①△OOC是等边三角形；

②^BOE是等腰三角形；

③BC=2AB；

@ZAOE=150°；

®Si\AOE-S^COE.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】判断出AABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两

个内角的和求出/ACB=30°,再判断出△A8。，△1DOC是等边三角形，可判断①；根

据等边三角形的性质求出OB=AB,再求出OB=BE,可判断②，由直角三角形的性质可

得可判断③，由等腰三角形性质求出NBOE=75°,再根据NA0£=NA08+

N3OE=135。，可判断④；由面积公式可得SaAOE=Sace可判断⑤；即可求解.

解：YAE平分NBA。，

：.ZBAE=ZDAE=45°,

AZAEB=45°,

二.△ABE是等腰直角三角形，

：.AB=BE,

9：ZCAE=15°,

AZACE=ZAEB-ZCAE,=45°-15°=30°,

：.ZBAO=90°-30°=60°,

・・,矩形A5CQ中：OA=OB=OC=OD9

•••△A3。是等边三角形，△C。。是等边三角形，故①正确；

AOB=AB,NA8O=NAOB=60°,

・・・OB=BE,

•••△3OE是等腰三角形，故②正确；

ZOBE=ZABC-ZABO=90°-60°=30°=/ACB,

：.ZBOE=^（180°-30°）=75°,BC=-/jAB,故③错误；

AZAOE=ZAOB+ZBOE=600+75°=135°,故④错误；

\'AO=CO,

.".SAAOE—S&COE>故⑤正确；

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，

等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各

性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.化简：，（3-兀）2=--3.

【分析】二次根式的性质：疗=〃（〃20），根据性质可以对上式化简.

解：I（3-兀（=｛（兀-3产=『3.

故答案是：TT-3.

【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化

简.

8.一个正方形的对角线长为2,则其面积为2.

【分析】方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正

方形面积等于对角线乘积的一半.

解：方法一：：四边形4BCD是正方形，

：.AO=BO=—AC=\,ZAOB=90°,

2

由勾股定理得，AB=a,

S正=（）2=2.

方法二：因为正方形的对角线长为2,

所以面积为：3X2义2=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质.

9.如图，延长矩形A8C0的边8c至点E,使CE=BD,连接4E,如果NAr>8=30°,则

"=15度.

【分析】连接AC,由矩形性质可得/E=ND4E、BD=AC=CE,知/E=NC4E,而N

ADB^ZCAD=30°,可得NE度数.

解：连接AC,

:四边形ABC。是矩形，

J.AD//BE,AC=BD,且/。。=30°,

NE=ZDAE,

又•：BD=CE,

J.CE^CA,

；.NE=/CAE,

；ZCAD=ZCAE+ZDAE,

.•.NE+/E=30°,即/E=15°,

故答案为：15.

【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解

题关键.

10.某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平

方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要680元.

【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角AABC

中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的

单价即可求解.

解：由勾股定理得A8='AC2-BC2=J132-52=12（w）,

则地毯总长为12+5=17O）,

则地毯的总面积为17X2=34（平方米），

所以铺完这个楼道至少需要34X20=680（元）.

故答案为：680.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.

11.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、2。相交于点O,直线EF过。点，若4B=

2,BC=4,NABC=60°,则图中阴影部分的面积是

【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出

结果.

解：；平行四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点0,

••S^AEO=S^CFOf

阴影部分面积等于5△8C。的面积，即为nABCD面积的』，

24

过点C作CP_LAD于点P,

A

D

。一

t

：CD=AB=2fZADC=60°,

：.DP=\fCP=M，

二・S平行四边形ABC。=BC・CP=AM，

...阴影部分面积为y,

故答案为：

【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解

题关键.

12.如图，四边形48C。中，AD//BC,AD=Scm,BC^\2cm,M是BC上一点，且8M=

9cm,点E从点A出发以1c向s的速度向点。运动，点尸从点C出发，以3cmis的速度

向点8运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为f,则当以A、M、

E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，f=W或与

-4—2-

［分析］分两种情形列出方程即可解决问题；

解：①当点尸在线段上，时，以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边

形，

则有t—9+3t-12,解得/=-|-,

②当尸在线段CM上，AE=FM时，以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，

则有£=12-9-33解得t=—,

4

综上所述，•或条时，以A、M,E、F为顶点的四边形是平行四边形.

42

故答案为："I•或与

42

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问

题，学会用分类讨论的思想思考问题.

三.（本大题5小题，每小题6分，共30分）

13.计算：

⑴V18-V3+2V8+2^125

（2）（^5+1）（3-遥）-技.

【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；

（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案.

解：⑴原式=3料-百+4加+4百

=7&+3料；

（2）原式=3^/^-5+3--2-^5

=-2.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键.

14.如图，在平行四边形ABCO中，点E、尸分别在A。、BC上，且AE=C£求证：BE

//DF.

【分析】先求出OE=B凡再证明四边形BED尸是平行四边形，即可得出结论.

【解答】证明：；四边形A8CD是平行四边形

：.AD=BC,AD//BC,

'：AE=CF,

:.DE=BF,

又,：DE〃BF,

四边形8即尸是平行四边形，

J.BE//DF.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明

四边形是平行四边形是解决问题的关键.

15.先化简，再求值：«+71-2a+a2）其中”=2020.

如图是小亮和小芳的解答过程.

-；-<除原式=a-后可■蛇原式"市打

（1）小亮的解法是错误的;

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：疗=团；

（2）先化简，再求值：«+2^a2.6a+9,其中。=-2.

【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；

（2）根据二次根式的性质把原式化简，把。=-2代入计算即可.

解：（1）小亮的解法是错误的，

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：底=同，

故答案为：小亮；422=同；

（2）原式="+2{（产=4+2|。-3|,

'：a=-2<3,

，原式=4+2（3-。）=。+6-2。=6-。=8.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：衣=|。|是解题的

关键.

16.若x,y是实数，且y={4x-l+4l-4x+3,求3■^工的值.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根

式的性质计算即可.

解：由题意得，4x-120,1-4x20,

解得，X=3,

则y=3,

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是

解题的关犍.

17.如图，在每个小正方形的边长都为1的方格纸中有线段A8,点A、8均在小正方形的

顶点上.

(1)在方格纸中以A8为对角线画矩形AC8。，点C、。均在小正方形的顶点上，且点

C在AB的右侧，该矩形的面积为4；

(2)以AC为边画平行四边形ACEF(非矩形)，点E、F均在小正方形的顶点上，且平

行四边形4CEF的面积为4.

图1图2

【分析】(1)根据矩形定义即可画出图形；

(2)根据网格和。ACEF的面积为4,即可画出以AC为边画DACEF.

解：(1)矩形AC8O即为所求；

(2)MCE/即为所求.

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性

质，解决本题的关键是根据题意准确画图.

四.(本大题3小题，每小题8分，共24分)

18.先化简再求值警(a+1)得^^~，其中〃=北+1.

a-1a-2a+l

【分析】先对分式进行化简，然后代入“的值得出结果.

b［、2(a+1)1,(a+1)(a-1)

解:原式—•TTT+一：~—5—

2(a+1)(aT)

—a-l(a-1)2

_a+3

a-l'

当时，原式=-33巨.

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，难度适中.

19.如图，在正方形ABCO中，点、E,尸分别在BC,CDk,且BE=CF.AE与8尸交于点

0.猜想：AE与BF的关系，并给出证明.

【分析】证明^ABE丝△BCF(SAS)得4E=BF,/BAE=NCBF,又/ABE=90°,有

ZBA£+ZA£B=90°,即得NCBF+/AE8=90°,从而AE_LBF.

解：AE=8/且AE_L8F,证明如下:

•••四边形ABCD是正方形,

：.AB=BC,NABE=/C=90°,

在aABE和△BCF中，

'AB=BC

<ZABE=ZC.

BE=CF

.♦.△ABE丝△BC尸(SAS)

：.AE=BF,NBAE=NCBF,

；NABE=90°,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

AZCBF+ZAEB^90°,

.；NBOE=90°,ERAE1BF.

【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定

和性质定理.

20.如图，4D是等腰△ABC底边BC上的高.点。是AC中点，延长力。到E,使OE=

OD,连接AE,CE.

（1）求证：四边形AOCE的是矩形；

（2）若48=17,BC=16,求四边形AOCE的面积.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出N

AOC=90°,根据矩形的判定得出即可；

（2）求出。C,根据勾股定理求出AO,根据矩形的面积公式求出即可.

【解答】（1）证明：I•点。是AC中点,

：.AO=OC,

"：OE=OD,

四边形ADCE是平行四边形，

是等腰△ABC底边BC上的高,

ZADC=90°,

四边形AOCE是矩形；

（2）解：是等腰△4BC底边BC上的高，BC=16,AB=17,

：.BD=CD=8,AB=AC=17,ZADC=90°,

由勾股定理得：^O=1\/AC2-CD2~V172-82=15,

四边形ADCE的面积是ADXDC^15X8=120.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股

定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中.

五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）

21.如图，在AABC中，NC=90°,点。在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上,

B.DE1AC,DF//AC.

(1)求证：四边形CE。尸是矩形；

(2)连接EF,若C到45的距离是5,求EF的最小值.

【分析】(1)由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEZ)尸是矩形；

(2)连接CZ),由矩形的性质可得C£»=EF,当COJ_A8时，C。有最小值，即E尸有最

小值，即可得出结论.

【解答】(1)证明：AC,/C=90°,

:.NDFB=NC=90°,

AZDFC=90°=NC,

'：DELAC,

:.NDEC=90°=ZDFC=/C,

；•四边形CEQF是矩形；

(2)解：连接C£>,如图所示：

由(1)可知，四边形CEDE是矩形，

:.CD=EF,

...当CZ)有最小值时，EF的值最小，

,当CCA8时，8有最小值，

_L4B时，EF有最小值，

：C到AB的距离是5,即点C到AB的垂直距离为5,

.•.CZ)的最小值为5,

的最小值为5.

【点评】本题考查了矩形的判定和性质以及最小值问题，熟练掌握矩形的判定与性质是

解题的关键.

22.如图1,在矩形A8C£>中，对角线AC,8。相交于点0,经过点。的任意一条直线分

别交AD,BC于点E,F.

(1)求证：0E=0F；

(2)如图2,如果点E,尸分别是AD,8C的中点，AB=5,8c=12.在对角线AC上

是否存在点P,使NEPF=90。？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用平行四边形的性质得出A0=C0,AD//BC,进而得出NEAC=/FC。,

再利用ASA求出△AOEg/XCOF,即可得出答案；

(2)根据勾股定理分两种情况解答即可.

【解答】证明：••PABC。的对角线AC,8力交于点0,

J.AO^CO,AD//BC,

：.ZEAC=ZFC0,

在△AOE和△COF中

，ZEAO=ZFCO

<AO=OC，

ZAOE=ZCOF

.♦.△AOE畛/XCO尸(ASA),

：.OE=OF；

:NEPF=90°,

，OP=—EF,

2

'：AE//BF,AE=BF,ZB=90°,

...四边形48FE是矩形，

.•.EF=AB=5,

OP=2EF=2.5,

2

在