2022年河北省唐山市高考数学第一次模拟试卷及答案解析

第第页2022年河北省唐山市高考数学第一次模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），则5zA．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．2+i2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣4＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜1}3．（5分）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．2：34．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A（﹣1，3）在角α的终边上，则sin2α＝（）A．310 B．35 C．-35．（5分）已知向量a→=(2，1)，|b→|=10，A．45° B．60° C．120° D．135°6．（5分）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于A．41515 B．233 7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b的图象关于点（1，0）对称，则b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，平面A1DM将该正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2（V1＜V2），则V1A．519 B．13 C．717二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）有一组互不相等的数组成的样本数据x1，x2，…，x9，其平均数为a（a≠xi，i＝1，2，…，9），若插入一个数a，得到一组新的数据，则（）A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的中位数相同 C．两组样本数据的方差相同 D．两组样本数据的极差相同（多选）10．（5分）设函数f(x)=2sin(3x-πA．f（x）在[-π9B．f（x）在[0，2π]内有6个极值点 C．f（x）的图象关于直线x=-π12D．将y＝2sin3x的图象向右平移π4个单位，可得y＝f（x（多选）11．（5分）已知直线l：x＝ty+4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则（）A．y1•y2为定值 B．k1•k2为定值 C．y1+y2为定值 D．k1+k2+t为定值（多选）12．（5分）已知a＞1，x1，x2，x3为函数f（x）＝ax﹣x2的零点，x1＜x2＜x3，下列结论中正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x1+x2＜0 C．若2x2＝x1+x3，则x3D．a的取值范围是(1，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设函数f（x）=x2+1，x≤0lgx，x＞0，若f（a）＝0，则14．（5分）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝．15．（5分）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N（μ，σ2）．假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数，若ξ的数学期望E（ξ）＞0.05，则k的最小值为．附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2）则P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．16．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝3上的动点，当|PA|•|PB|最大时，x0＝；|PA|+|PB|的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{an}的各项均不为零，Sn为其前n项和，且anan+1＝2Sn﹣1．（1）证明：an+2﹣an＝2；（2）若a1＝﹣1，数列{bn}为等比数列，b1＝a1，b2＝a3.求数列{anbn}的前2022项和T2022．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知∠BAC＝60°，a=23（1）若C＝45°，求b；（2）若D为BC的中点，且AD=5，求△ABC19．（12分）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4．（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D为BC的中点，E为棱AA1上一点，AD⊥DC1．（1）求证：BC⊥平面A1AD；（2）若二面角A1﹣DE﹣C1的大小为30°，求直线CE与平面C1DE所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f(x)=e（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：f(x)≥x22．（12分）已知椭圆C：x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点为A1，A2，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于A1，A2），点M关于原点O的对称点为点P，直线A1P与直线A2N交于点Q，直线OQ与直线l交于点R．证明：点R在定直线上．

2022年河北省唐山市高考数学第一次模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），则5zA．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．2+i【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），∴5z=5故选：B．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|﹣4＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜1}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|﹣4＜x＜4}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：C．3．（5分）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．2：3【解答】解：设圆柱的底面直径和高都为2R，故球的表面积为S球圆柱的侧面积为S侧故S球：S侧＝1：1．故选：A．4．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A（﹣1，3）在角α的终边上，则sin2α＝（）A．310 B．35 C．-3【解答】解：∵点A（﹣1，3）在角α的终边上，∴|OA|=(-1则sinα=310=3∴sin2α＝2sinαcosα＝2×3故选：D．5．（5分）已知向量a→=(2，1)，|b→|=10，A．45° B．60° C．120° D．135°【解答】解：根据题意，设a→与b→的夹角为向量a→=(2，1)，则|a→又由|a→-b→|=5，则a→2﹣2a→•b→又由0°≤θ≤180°，则θ＝135°，故选：D．6．（5分）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于A．41515 B．233 【解答】解：由题意得F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=±b由双曲线的对称性，不妨设A，B均为第一象限点，当x＝c时，c2a2-y当x＝c时，y=bca，所以因为|AB|＝|AF|，所以|BF|＝2|AF|，所以bca=2b2所以a=c所以双曲线的离心率为e=c故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b的图象关于点（1，0）对称，则b＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：由函数f（x）＝x3+ax2+x+b的图象关于点（1，0）对称，可得f（1+x）+f（1﹣x）＝0，即（1+x）3+a（1+x）2+（1+x）+b+（1﹣x）3+a（1﹣x）2+（1﹣x）+b＝0，即1+3x+3x2+x3+a+ax2+2ax+1+x+b+1﹣3x+3x2﹣x3+a+ax2﹣2ax+1﹣x+b＝0，化为（6+2a）x2+（4+2a+2b）＝0，可得6+2a＝0，且4+2a+2b＝0，解得a＝﹣3，b＝1，故选：C．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，平面A1DM将该正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2（V1＜V2），则V1A．519 B．13 C．717【解答】解：如图，取BC的中点N，连接MN，ND，B1C，因为M为棱BB1的中点，所以MN∥B1C，MN=1因为A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以B1C∥A1D，B1C＝A1D，所以MN∥A1D，MN=1所以梯形MNDA1为平面A1DM所在的截面，则V1为三棱台BMN﹣AA1D的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为S△BMN所以V=1所以V2所以V1故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）有一组互不相等的数组成的样本数据x1，x2，…，x9，其平均数为a（a≠xi，i＝1，2，…，9），若插入一个数a，得到一组新的数据，则（）A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的中位数相同 C．两组样本数据的方差相同 D．两组样本数据的极差相同【解答】解：对于A，新数据的平均数为110(9a+a)=a，与原数据的平均数相等，故对于B，不妨设x1＜x2＜•••＜x9，则原数据的中位数为x5，若a＜x5，则中位数为12若a＞x5，则中位数为12(x对于C，新数据的方差为s2=110[(x1对于D，不妨设x1＜x2＜•••＜x9，则x1＜a＜x9，故新数据的极差也为x9﹣x1，故D正确．故选：AD．（多选）10．（5分）设函数f(x)=2sin(3x-πA．f（x）在[-π9B．f（x）在[0，2π]内有6个极值点 C．f（x）的图象关于直线x=-π12D．将y＝2sin3x的图象向右平移π4个单位，可得y＝f（x【解答】解：对于函数f(x)=2sin(3x-π在[-π9，π9]上，3x-π4∈﹣[7π12在[0，2π]内，3x-π4∈[-π4，23π6]，函数f令x=-π12，可得f（x）＝﹣2，为最小值，可得f（x）的图象关于直线x=-π将y＝2sin3x的图象向右平移π4个单位，可得y＝2sin（3x-3π4故选：BC．（多选）11．（5分）已知直线l：x＝ty+4与抛物线C：y2＝4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则（）A．y1•y2为定值 B．k1•k2为定值 C．y1+y2为定值 D．k1+k2+t为定值【解答】解：由x=ty+4y2=4x可得，y2由韦达定理可得，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣16，对于A，y1y2＝﹣16为定值，即可求解，对于B，k1k2对于C，y1+y2＝4t，不为定值，故C错误，对于D，k1+k2+t=y1x则k1+k2+t为定值，故D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）已知a＞1，x1，x2，x3为函数f（x）＝ax﹣x2的零点，x1＜x2＜x3，下列结论中正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x1+x2＜0 C．若2x2＝x1+x3，则x3D．a的取值范围是(1，【解答】解：∵a＞1，f(−1)=a∴﹣1＜x1＜0，故A正确；当0≤x≤1时，1≤ax≤a，0≤x2≤1，f（x）必无零点，故x2＞1，∴x1+x2＞0，故B错误；当2x2＝x1+x3时，即ax1=所以4log联立方程x22=-由于x2＞0，x3＞0，x3x2考虑f（x）在第一象限有两个零点：即方䅣ax＝x2有两个不同的解，两边取自然对数得xlna＝2lnx有两个不同的解，设函数g(x)=xlna-2lnx，g′(x)=lna-2则x=x0=2lna当x＞x0时，g′（x）＞0，当x＜x0时，g（x）＜0，所以gmin要使得g（x）有两个零点，则必须g（x0）＜0，即ln(2解得a＜e2e故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设函数f（x）=x2+1，x≤0lgx，x＞0，若f（a）＝0，则【解答】解：∵函数f（x）=x当a≤0时，则a2+1＝0，方程无解，故a＞0，则f（a）＝lga＝0，解得a＝1，故答案为：1．14．（5分）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝3﹣n．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝S5，a1a4＝a5，∴a1+2d＝5a1+5×42d，a1（a1+3d）＝a1+4解得a1＝2，d＝﹣1，则an＝2﹣（n﹣1）＝3﹣n，故答案为：3﹣n．15．（5分）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N（μ，σ2）．假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数，若ξ的数学期望E（ξ）＞0.05，则k的最小值为19．附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2）则P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：由已知可得X～N（μ，σ2），P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973，每天从生产线上随机抽取k（k∈N*）包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的包数为ξ，而每天抽取的k包食品中其质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9973＝0.0027，所以ξ～B（k，0.0027），故E（ξ）＝k×0.0027＞0.05，解得k≥19，即k的最小值为19．故答案为：19．16．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝3上的动点，当|PA|•|PB|最大时，x0＝1；|PA|+|PB|的最大值为42【解答】解：∵P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝3上的动点，∴(x0-1)2+y|PA|•|PB|=[(当且仅当1+x0＝3﹣x0，即x0＝1时，|PA|•|PB|取得最大值，∵|PA|2＝6+6x0，|PB|2＝6﹣2x0，∴|PA|2+3|PB|2＝24，设|PA|=26cosθ，|PB|=22∴|PA|+|PB|=26cosθ+22∵0＜θ＜π∴π3＜θ+π3＜5π6，当θ+π3此时|PA|2＝6+6x0=24cos2π6故答案为：1；42四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{an}的各项均不为零，Sn为其前n项和，且anan+1＝2Sn﹣1．（1）证明：an+2﹣an＝2；（2）若a1＝﹣1，数列{bn}为等比数列，b1＝a1，b2＝a3.求数列{anbn}的前2022项和T2022．【解答】（1）证明：因为anan+1＝2Sn﹣1①所以an+1an+2＝2Sn+1﹣1②②﹣①得an+1（an+2﹣an）＝2an+1，因为an+1≠0，所以an+2﹣an＝2．（2）解：由a1＝﹣1得a3＝1，于是b2＝a3＝1，由b1＝﹣1得{bn}的公比q＝﹣1．所以bn=(-1)由a1a2＝2a1﹣1得a2＝3，由an+2﹣an＝2得a2022﹣a2021＝a2020﹣a2019＝⋅⋅⋅＝a2﹣a1＝4，因此T2022＝﹣a1+a2﹣a3+a4⋅⋅⋅﹣a2021+a2022＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+⋅⋅⋅+（a2022﹣a2021）＝1011×（a2﹣a1）＝1011×4＝4044．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知∠BAC＝60°，a=23（1）若C＝45°，求b；（2）若D为BC的中点，且AD=5，求△ABC【解答】解：（1）因为C＝45°，所以sinB＝sin（∠BAC+C）＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=22（32在△ABC中，由正弦定理得，asin∠BAC所以b=asinB（2）在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，所以12＝b2+c2﹣2bc•12，即b2+c2﹣bc＝12①因为D为BC的中点，所以BD=CD=3在△ABD中，由余弦定理得，cos∠ADB=B在△ACD中，由余弦定理得，cos∠ADC=C由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，得b2+c2＝16②，联立①②可得，bc＝4，所以△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=119．（12分）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4．（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了ξ局比赛，求随机变量ξ的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为3，4，5，P（ξ＝3）＝（0.6）3+（0.4）3＝0.28，P（ξ＝4）=CP（ξ＝5）=C故ξ的分布列为：ξ345P0.280.37440.3456∵0.3744＞0.3456＞0.28，∴进行4局比赛的可能性最大．（2）采用三局两胜时，甲获胜概率P1=(0.6)采用五局三胜时，甲获胜概率P2＝（0.6）3+(C∵P2＞P1，∴如果我是甲队领队，采用五局三胜制．20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D为BC的中点，E为棱AA1上一点，AD⊥DC1．（1）求证：BC⊥平面A1AD；（2）若二面角A1﹣DE﹣C1的大小为30°，求直线CE与平面C1DE所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，则CC1⊥AD；又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1⊂平面BCC1B1，DC1⊂平面BCC1B1，于是AD⊥平面BCC1B1，又BC⊂平面BCC1B1，故AD⊥BC．由直三棱柱知AA1⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，则AA1⊥BC，又因为AD∩AA1＝A，AD⊂平面A1AD，AA1⊂平面A1AD，故BC⊥平面A1AD．（2）由（1）知AD⊥BC，又D为BC中点，故AB＝AC．以D为坐标原点，DC→的方向为x轴正方向，DA→的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣则D（0，0，0），C（1，0，0），B（﹣1，0，0），A(0，3，0)，C设AE＝t（0≤t≤2），则E(0，3由（1）知平面A1DE的法向量可取BC