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文档简介
北航《数值分析》习题习题一
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
1.(1)5,,;
(2)2,,;
(3)4,,;
(4)5,,;
(5)1,,;
(6)2,,;
(7)6,,
2.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过,问各近似值分别应取几位有效数字?
2.;
;
3.设均为第1题所给数据,估计下列各近似数的误差限。
(1);
(2);
(3)
3.(1);
(2);(3)
4.计算,取,利用下列等价表达式计算,哪一个的结果最好?为什么?
(1);
(2);
(3)
(4)
4.第(3)个结果最好。
5.序列满足递推关系式
若(三位有效数字),计算时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
5.不稳定。从计算到时,误差约为
6.求方程的两个根,使其至少具有四位有效数字(要求利用。
6.,
7.某生产部门生产的一件产品需用七个零件,而这七个零件的质量取决于零件参数的标定值,它们的参数允许有一定的误差:
参数取值容许范围
参数取值容许范围x1[0.075,0.125]x5[1.125,1.875]x2[0.225,0.375]x6[12,20]x3[0.075,0.125]x7[0.5625,0.935]`4[0.075,0.125]
若每一零件的标定值取做区间中点,在生产过程中每一零件的参数都有可能产生误差。由此将零件分成不同的等级:A,B,C三等,等级由标定值的相对误差限表示,A等为
1%,B等为5%,C等为10%。试确定三个等级的零件分别满足的区间。
8.将一个八位二进制数(10111101)2转换成十进制数时,可以用公式:
(1)用多项式求值的秦九韶方法求C的值;
(2)写出将任意一个八位二进制数(b1b2b3b4b5b6b7b8)2转化为十进制数的算法。
9.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
(1);
(2)
(3);
(4)
9.(1);
(2);
(3);
(4)
10.设,求证:
(1)
(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差增大;反向递推时误差函数减小。习题二
1.判断下列方程有几个实根,并求出其隔根区间。
(1);
(2)
(3);
(4)1.(1),,;
(2);
(3),,;
(4)为根。
2.方程在区间(3,4)中有一实根,若用二分法求此根,使其误差不超过,问应将区间对分几次?并请用二分法求此根。
2.6
3.下列方程各有一实根,判别能否直接将其写成迭代格式而后求解?如不能,将方程变形,给出一个收敛的迭代格式。
(1);
(2)3.(1)能;
(2)不能,
4.求方程的隔根区间,对方程的下列四种等价变形,判断各迭代格式的收敛性,选一种收敛最快的迭代格式,求出具有四位有效数字的近似根。
(1)
(2)
(3)
(4)4.(1.4,1.5);
(1)收敛;
(2)收敛;
(3)发散;
(4)发散;
1.465573
5.考察方程有几个根,选择合适的迭代格式求这些根,允许误差5.-1.989761;0.3758122
6.设,应用牛顿迭代法分别求与之根,从而导出求的两种迭代格式,并求,取。
7.用牛顿法求下列方程之根,。
(1);
(2)
8.用割线法求第7题中各方程之根,。
9.试绘出下列算法的描述
(1)简化牛顿迭代法;
(2)双点割线法
10.用牛顿法求出的方程根的迭代结果见表2-6,试估计所求根的重数。
表2-6kXkxk-xk-100.75
10.7527010.0027020.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.000889;;
11.用牛顿法解下列方程组,要求精确到小数点后两位。
(1)
在附近求解;
(2)
在内求解
(1)0.7390851
12.对第11题中的两个方程组,分别通过消元化为含一个未知量的方程求根问题,然后用牛顿法求解,要求精确到小数点后两位。
13.天文学家用开普勒方程
是常数)来确定行星在其轨道上的位置,求解这一方程的方法可以用简单迭代法,即任取一个整,利用下面的迭代公式
,(k=0,1,2,)计算出数列
设对于给定的数数,a,开普勒方程的根为,试证明
(1);
(2)
14.梯子问题。在一幢楼房后面是一个大花园,花园中紧靠楼房有一个温室,温室伸入花园2米,高2米。温室正上方是楼房的窗台,清洁工打扫窗台周围时用一架梯子越过温室,梯子一头靠在楼房的墙上,另一头放在花园地上。为了使梯子不要压靠温室,需要选定梯子在花园地面上的放置点
(1)试写出反映梯子长度L与放置点到温室的距离u的函数的表达式L(u);
(2)设梯子长度为6米,试推导梯子放置点到温室的距离u满足的方程(一元四次方程)。
习题三
1.设系数矩阵A的元素,经过高斯顺序消去法一步以A化为
阶方阵)证明:
(1)若A为对称矩阵,则A2也对称;
(2)若A严格对角占优,则A2也严格对角占优;
(3)若A为对称的严格对角占优阵,则列主元素法就是高斯顺序消去法。
2.用列主元素法解下列方程组(1);
(2);
(3)
对(1)
(2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点,右下方矩阵是否对称,列主元在何处,消元过程是否符合上题结论。
2.(1);
(2);
(3)
3.用追赶法解下列方程组
(1)
(2)
3.(1)(1.2,1.4,1.6,0.8)T;
(2)(-1.5,2,1,1)T
4.求第2题及第3题中系数矩阵A的LU分解,并用此分解法解对应的线性方程组。
4.对第2题中的系数矩阵
(1);(2)
对第3题中的系数矩阵
(1)
(2)
5.求下列矩阵的逆矩阵
(1)
(2)
6.分别用平方根和改进平方根法求解方程组
7.给定,求及。
7.
8,,5;6,,8
8.证明满足范数定义。
9.证明
10.给定方程组Ax=b,其中
其准确解为
(1)对近似解分别计算残差与及误差向量;
(2)求A的条件数cond;
(3)说明x1比x2精度高但残差反而大的原因。
习题四
1.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法是否收敛?若收敛,写出其迭代格式;若下收敛,能否将方程变形,使之用雅可比迭代法或高斯—塞德尔迭代法时收敛?
(1);
(2);
(3);
(4);
(1)(2)(3)(4)雅可比迭代法收敛发散收敛发散高斯一赛德尔法收敛发散收敛发散
2.试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解(取初值)
2.
雅可比迭代法:
塞德尔迭代法:
3.用雅可比迭代法解下列方程组。
(1)
(2)取,并判别此迭代是否收敛?
3(1)范数,故雅可比迭代法收敛
(2)范数,由可判定雅可比法收敛。
4.用塞德尔迭代法解方程组。
取,并判别此迭代是否收敛?
4.方程组系数矩阵对角占优,因此塞德尔迭代法收敛
与3题(1)迭代结果相比较,这里收敛速度快。
5.若用Jacobi迭代法求解方程组
讨论实数a与收敛性的关系。
6.设有方程组
(1)分别写出Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法及SOR法的计算公式及迭代矩阵。
(2)对任意初值,各迭代是否收敛?说明理由。
7.分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组
取,问迭代是否收敛?若收敛,需要迭代多少次,才能保证务分量误差绝对值小于?
8.写出第1题中方程组(1)的SOR迭代格式。
9.解方程组的迭代法收敛的充分必要条件为迭代矩阵B的所有特征根的模均小于1。利用这一结论证明:当方程组
中的主元a11,a22均不为零时,用雅可比迭代公式
产生的向量序列收敛的充分必要条件为。
10.设中a11,a22均不为零,试写出解该方程组的赛德尔迭代法的迭代公式以及迭代矩阵MS。
11.证明对称矩阵
当时为正定矩阵,且只有当时,用Jacobi迭代法求解方程组Ax=b才收敛。
12.设有方程组
讨论用Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性。适当交换方程的次序,结果怎样?
13.试解释为什么G-S迭代阵U至少有一个特征根为零。习题五
1.已知,求的二次值多项式。
1.
2.令求的一次插值多项式,并估计插值误差。
2.;,介于x和0,1决定的区间内;
,当时。
3.给出函数的数表,分别用线性插值与二次插值求的近似值,并估计截断误差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717363.
0.54667,0.000470;0.54714,0.000029
4.据资料记载,某地某年间隔30天的日出日落时间如下
5月1日5月31日6月30日日出5:515:175:10日落19:0419:3819:50
试计算出表中三天的日照时间长(以分钟计),构造拉格朗日二次插值函数并求极值点。推算从5月1日到6月30日这些天中,哪一天的日照最长。
5.猪肉产量与价格的关系是很直接的。据统计某城市1993年猪肉产量为28万吨,1995年猪肉产量为27.28万吨,1997年猪肉产量为27.021万吨。这三年中猪肉价格依次为6.80元/公斤、7.09元/公斤、7.19元/公斤。市政府调整政策后,1999年猪肉产量有希望达到27.5万吨。试推测1999年猪肉价格为多少?
6.学习曲线问题。某纺织厂招收一批青年女工学习1511型织布机的操作。观察她们的学习过程发现。当累计织完25匹布以后,平均每人每织一匹布需要用16小时;当累计织完64匹布以后,平均每人每织一匹布需要用10小时;而一个熟练的纺织女工织一匹布仅需要8小时。设一个人累计织完x匹布以后的时刻,每织一匹布需要用的时间为y,根据统计分析,学习曲线为如下形式的函数
试根据观察记录的数据确定上式中的常数和。并根据学习曲线估计;一个新手需织完多少匹布以后,才能成为一名技术熟练的纺织女工。
7.设,试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
7.
8.试证明对于次数的多项式,其次拉格朗日插值多项式就是它自身。
9.试证明线性插值的余项估计式。
10.设在区间[a,b]内有二阶连续导数,且。求证
11.已知,求及的值。
11.
1,0
12.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算和的近似值。x1.6151.6341.7021.8281.921f(x)2.414502.464592.652713.030353.34066显示答案,
13.试证明差商的性质1。
14.已知函数的如下函数值表,解答下列问题
(1)试列出相应的差分表;
(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。x0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.00向前插值公式
向后插值公式
15.给定数据表:y0.1250.2500.3750.5000.6250.750f(x)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228用三次牛顿插值公式计算(0.1581)及
16.用上题数据计算
(1)取用二次牛顿前插公式
(2)取用二次牛顿后插公式
比较二者计算结果是否相同?为什么?
17.下表为概率积分的数据表,试问:
(1)时,积分
(2)为何值时,积分?X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.5116683(1);
(2)
18.利用在各点的数据(取五位有效数字),求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。
0.3376489
19.依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。
表10
表11x01
x012y01
y0-23y¢-39
y¢01
20.依据数表11中数据,利用基函数方法,构造四次埃尔米特插值多项式。
21.在上给出的等距节点函数表,用分段线性插值求的近似值,要使截断误差不超过,问函数表的步长h应怎样选取?
22.将区间分成n等分,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,并估计截断误差。
23.已知的下列函数表。求其三次样条插值函数,并用求和的近似值。
表4-13x-1013
x013y-11331
y000y¢4
28
习题六
1.曾任英特尔公司董事长的摩尔先生早在1965年时,就观察到一件很有趣的现象:集成电路上可容纳的零件数量,每隔一年半左右就会增长一倍,性能也提升一倍。因而发表论文,提出了大大有名的摩尔(Moore’sLaw)定律,并预测未来这种增长仍会延续下去。下面数据中,第二行数据为晶片上晶体数目在不同年代与1959年时数目比较的倍数。这些数据是推出摩尔定律的依据:年代19591962196319641965增加倍数13456试从表中数据出发,推导线性拟合的函数表达式。
2.给出数据如下表所示,试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。x-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836,
3.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。
(1)
(2)(1);
(2),其中c为任意常数
4.用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下表中的数据相拟合,并计算均方误差。x1925313844Y19.032.349.073.397.8
5.给定数据如下表,用最小二乘法求形如的经验公式。x2.22.73.54.14.8y6560535046
6.在某次实验中,需要观察水份的渗透速度,测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之间的关系为,试用最小二乘法确定参数a、s。t(秒)1248163264W(克)4.224.023.854.593.443.022.59,
7.试构造点集上的离散正交多项式系。并利用所求的离散正交多项式系,对第二题中的数据求二次拟合多项式。
,,
8.利用勒证德多项式求下列函数的最小二次曲线拟合
(1)在区间[2,6]上
(2)
9.求使为最小。
10.现测量长度和米、米,为了提高测量的可靠性,又测量到米。试合理地决定长度和的值。
,。习题七
1.证明:如果求积公式(6-3)对函数f(x)和g(x)准确成立,则它对于为常数)亦准确成立(由此即可证明定理1)。
2.验证中矩形公式(6-2)具有一次代数精度,辛甫生公式(6-9)具有三次代数精度。
3.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(1),
,代数精度为3;
(2),
,代数精度为3;
(3),或,,代数精度2;
(4),代数精度为3。
4.用辛甫生公式求积分的值,并估计误差。
,
5.已给函数f(x)的数据(6-12),试分别用复化梯形公式、复化辛甫生公式和柯特斯公式计算积分的值。表6-12x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675
6.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分:
(1),8等分积分区间;
(2),4等分积分区间;
(3),8等分积分区间;
(4),6等分积分区间。
(1),
;
(2)
;
(3),
;
(4),
7.用复化梯形公式求积分,问将积分区间[a,b]分成多少等分,才能保证误差不超过e(不计舍入误差)?
,
8.导出下列三种矩形公式的项
(1)
;
(2)
;
(3)
提示:利用泰勒公式。
(1);(2);(3)
9.用龙贝格公式计算下列积分,要求相邻两次龙贝格值的差不超过。
(1)
;
(2)
;
(1),
10.根据等式
以及当n=3,6,12时的三个值,利用外推算法求的近似值。
3.141580072
11.分别用下列方法计算积分,并比较结果精度(积分准确值。
(1)
复化梯形法,n=16;
(2)
复化辛甫生法,n=8;
(3)
龙贝格算法,求至R2;
(4)
三点高斯—勒让德公式;
(5)
五点高斯—勒让德公式。
(1)1.099768;
(2)1.09862;
(3)1.098612;
(4)1.098039;
(5)1.09860
12.试问至少用几点的高斯—勒让德公式可以求出下面积分的准确值(不计舍入误差)?
选择一个这样的公式求出积分值,并与理论准确值比较。
四点高斯一勒让德公式
13.试证明高斯公式(6-33)的求积系数为
其中为以为节点的拉格朗日插值函数
14.证明任何次数不超过n的多项式P(x)可以表示成勒让德多项式的线性组合,即。
15.试导出复化中矩形公式(即复化一点高斯—勒让德公式)
式中h=(b-a)/n,并利用它求下面积分值(取n=8)。
16.试确定下面求积分式的待定参数,使其代数精度尽可能高。
,,
17.试确定x1,x2,A1,A2,使求积公式(1)(2)(3)为Gauss型求积公式。
18.判别下列求积公式中,哪个是Gauss型求积公式。
(1)
(2)
(3)
19.用三点及五点Gauss-Legendre求积公式计算积分
20.利用Gauss-Chebyshev求积公式计算积分
其中
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