高中数学人教A版选修2-2第一章1.4生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。例1:海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为xcm,则宽为此时四周空白面积为类型一：求面积、容积的最大问题因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。

所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。求导数，有解得，x=16(x=-16舍去)解法二：由解法(一)得例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0<x<l由问题的实际意义可知：方法与技巧：在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，可以利用两种方法求解：一是利用导数求最值；二是利用基本不等式求最值，无论使用哪种方法都应该注意自变量的取值范围。【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x

＞0，y

＞0，则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜x

＜2．设矩形的面积为S，则S

＝2x（4－x2），0＜x

＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x

＝，易知x

＝是S在（0，2）上的极大值点，即最大值点。例1：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则令

解得，，类型二：用料最省、费用最低问题解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积Rh答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值当时，例2：如图,铁路线上AB段长100km,

工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?B

DAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为令在的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.B

DAC某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？类型三：利润最大问题例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是分，其中r

是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1ml

的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是令当当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，

即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大

问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?解:存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到,所以，磁道总存储量为：(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。解：存储量=磁道数×每磁道的比特数(2)为求f(r)的最大值，先计算解得优化问题优化问题解决方案用函数表示数学问题用导数解决数学问题这是一个典型的数学建模过程利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答方法小结7、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。1、只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹出世间的绝唱。4、人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。17、自己不能胜任的事情，切莫轻易答应别人，一旦答应了别人，就必须实践自己的诺言。15、没有礁石，就没有美丽的浪花;没有挫折，就没有壮丽的人生。4、在这世上惟一件事比别人议论更糟，那就是无人议论你。10、你不用活得像任何人，你只要活得像你自己。16、人的价值就在于创造价值，就在于对社会的贡献和责任。13、要在现代社会中生活很简单的，只要我们懂得如何去生活!8、环境永远不会十全十美，消极的人受环境控制，积极的人却控制环境。5、一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。17、心系乡民，用热情去创造财富。1、就算会彷徨，也还要去闯我要的幸福，在不远处我的骄傲无可救药。20、有些事情本身我们无法控制，只好控制自己。17、目标的坚定是性格中最必要