傅里叶变换在信号处理过程中的应用

信号处理原理与应用课程论文论文题目：傅里叶变换在信号处理过程中的应用傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点。虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着极其广泛的应用。通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的应用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少码间串扰，提高抗噪声新能，有利于用计算机对信号进行处理。总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用，学习傅里叶变换是学习其它频域变换的基础。关键词：傅里叶变换、时域、频域、信号处理、信息科学与技术、滤波、调制、抽样目录 12.傅里叶变换 12.1傅里叶变换的提出及发展 12.2傅里叶变换定义 22.3傅里叶变换的分类 33.傅里叶变换在滤波技术中的应用 43.1滤波的概念 43.2理想选择性滤波器 43.3系统的物理可实现性 64.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用 74.1调制与解调的原理 84.2正弦调制过程 94.3相干解调 5.傅里叶变换在抽样技术中的应用 5.1理想抽样 5.2抽样的恢复 5.3零阶抽样保持 6.频分复用与时分复用 参考文献 1滤波、调制和抽样，将模拟信号数字化；对信号进行处理改善信号性能，产2.傅里叶变换2从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获(5)离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅2.2傅里叶变换定义上绝对可积(如下积分收敛),即：傅里叶逆变换：3连续傅里叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式，如式3。该式其实表示的是连续傅里叶变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(w)的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F(w)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数，而称函数F(w)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transformpair)。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换弦(或正弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换(cosinetransform)或正弦转换(sinetransform).另一个值得注意的性质是，当f(t)为纯实函数时，F(-w)=F(w)成立.离散傅里叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x(n)定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数x(n)表示为下面的求和形式：其中X(k)是离散傅里叶变换。直接使用这个公式计算，而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度大大降低。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。43.傅里叶变换在滤波技术中的应用利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。设滤波器的输入x(t),输出y(t),则有滤波器系统的输入关系如下：由时域卷积定理知，式5可转换为X(o)H(o)=Y(o)由式6知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进行频谱分析提供了可能。又由式6知其中H(o)称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。因此，若已知输入x(t)及要求的输出y(t),对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适当地满足实际需要。3.2理想选择性滤波器理想选择滤波的频率特性，具有对某个频率范围内的复指数信号e'或正弦信号cos(ot)能无失真地通过，在频率范围之外则给予彻底抑制。通常把信号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的位置不同，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器，它们是信号和系统分析中重要的基本系统。51、理想低通滤波器图1理想低通滤波器的频谱2、理想高通滤波器图2理想高通滤波器频谱图3、理想带通滤波器6响应如图3。图3理想带通滤波器频谱图4、理想带阻滤波器理想带阻滤波器与理想带通滤波器相对应是指衰减或抑制某一频率范围内为频率响应如图4示。图4理想带阻滤波器频谱图3.3系统的物理可实现性为了简单，理想滤波器通常都定义成频域上具有实的和单位幅度的频率响应，且有零相位特性。实际上，上述所有理想滤波器的频率响应再乘e/,仍7能让处于通带内的信号无失真地通过，并完全抑制通带外的信号。根据傅里叶变换的时移性质，乘线性相移因子ejo,只是使信号产生一个时间滞后t。,它们仍然是理想滤波器。为了和上述的零相位理想滤波器相区别，也可把具有线性相但是实际上，没有真正意义的理想滤波器。实际的滤波器无法完全过滤掉所设计的允许通过的频率范围之外的频率的波。例如，在理想通带边界有一部分频率衰减的区域，不能完全过滤，这一曲线被称作滚降斜率(roll-off)。滚降斜率通常用dB度量来表示频率的衰减程度。一般情况下，滤波器的设计就是使这过渡带尽可能的窄，以便该滤波器能最大限度接近理想通带的设计。就时域特性而言，一个物理可实现系统必须是因果的即它的单位冲激响应4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用在许多工程问题中，调制与解调的概念起着十分重要的作用，并有广泛的应用。所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量，产生已调制信号，其实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围。在几乎所有实际通信系统中，信号从发送端到接收端，为实现有效、可靠和远距离的信号传输，都需要调制和解调。比如无线通信。调制过程将信号频谱搬移到任何8调制的目的是把要传输的模拟信号或数字信号变换成适合信道传输的信号，这就意味着把基带信号(信源)转变为一个相对基带频率而言频率非常高的代通信号。该信号称为已调信号，而基带信号称为调制信号。调制可以通过使高频载波随信号幅度的变化而改变载波的幅度、相位或者频率来实现。调制过程用于通信系统的发端。在接收端需将已调信号还原成要传输的原始信号，也就是将基带信号从载波中提取出来以便预定的接受者(信宿)处理和理解的过程。该过程称为解调。4.1调制与解调的原理在无线电技术中，将一个称为载波的高频电振荡(电流、电压)的参数(振幅、频率、相位)按照欲传输的信号的特征变化的过程称为调制。低频信号(指欲传输的信号)辐射效率低，不能直接用于发射，调制的目是借助于高频电振荡 (脉冲幅度、脉冲宽度或脉冲位置等),再用这组经过调制的脉冲序列去调制一94.2正弦调制过程F[f(r)]=F(o)=(1/2π)G(o)*π[o(o+o₀)+c(o-o₀)]图6调制原理方框及其频谱4.3相干解调图7相干解调方框图及频谱信号为[A+g(r)]cos(o。t),如果A足够大，对于全部t,有A+g(t)>0,于是已调信号的包络检波器，即可提取包络，恢复g(r),不需要本地载波。此方法可降低接受机的成本，但付出的代价是要使用价格昂贵的发射机，因为需提供足够强的信号Acos(o₂1)之附加功率。在此种调制方法中，载波的振幅随信号g(1)成比例地改变，因而称为“振幅调制”或“调幅(AM)。也可以控制载波的频率或相位，使它们随信号g(t)成比例地变化，它们的原理也是使g(t)的频谱G(o)搬移。5.傅里叶变换在抽样技术中的应用数字电子技术的迅速发展，尤其是计算机在自动控制、自动检测以及许多其他领域中的广泛应用，使得用数字技术处理模拟信号的情况也更加普遍了。在通信系统中，利用已有的数字技术处理模拟信号，不仅可以使模拟信号的传输更加简化，而且能保证传输的准确性。而利用数字技术处理模拟信号，首先得将模拟信号数字化。利用抽样可以将模拟信号数字化。惟一地用其等间隔的样本值来表示，这种表示是完全和充分的。换言之，这组等间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息，且原信号可以由这组样本值完全恢复出来。一般地说，在没有任何附加条件下，不能指望一个连续函数都能惟一地由其一组等间隔的样本值来表征，因为在给定的等间隔时间点上，有无限多个信号都那么该信号就能惟一地由其样本值来表征，且能从这些样本值完全恢复出原信设原连续时间信号x(t)是一带限于o。的连续时间带限信号，即p(t)图9(a)冲激串抽样时的信号波形(b)相应信号的频谱5.2抽样的恢复滤波器冲激响应h(t)表达式为式28表明，连续时间信号f(1)可展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于抽5.3零阶抽样保持零阶抽样保持系统图11零阶抽样保持框图12零阶抽样保持波形其波形图如图13示。图13系统函数h(t)的波形得到F(w)。一般情况下，在通信系统中，只要求幅频特性尽可能的满足补偿要求，而相频特性只要满足线性相移特性即可。6.频分复用与时分复用将若干路信号以某种方式汇合，统一在同一信道中传输称为多路复用。复用技术已经渗透到我们日常生活当中。像手机，它能够接受音频、视频等不同频率的信号，就离不了复用技术的应用。在近代通信系统中普遍采用多路复用技术。多路复用技术主要有频分复用和时分复用两种。频分复用是指用正弦幅度调制把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，也即信号分别附载于不同频率的载波上，这样就可以用同一信道传输。在接收端利用若干滤波器就可以将各路信号分离，再经解调即可还原为各路原始信号，图15示出频分复用原理方框图。通常，相加信号f(t)还要进行第二次调制，在接受端将此信号解调后再经带通滤波器分路解调。时分复用的理论依据是抽样定理。由抽样定理可知，频带受限于-fm～+fm的信号，可由间隔为的抽样值惟一地确定。从这些瞬时抽样值可以恢复原始的连续信号。因此，允许只传送这些抽样值，信道仅在抽样瞬间被占用，其余的空闲时间可供传送第二路、第三路……等各路抽样信号使用。将各路信号的抽样值有序地排列起来就可以实现时分复用，在接收端，这些抽样信号值由适当的同步检测器分离。当然，实际传送的信号并非冲激抽样，可以占有一段时间。图16示出两路抽样信号有序地排列经同一信道传输(时分复用)的波形。对于频分复用系统，每个信号在所有时间里每一信号占