2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是二次函数与一元二次方程、不等式的关系。具体内容包括：二次函数与一元二次方程的联系，二次函数与一元二次不等式的关系。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生已经学习了二次函数的定义、图像和性质，对二次函数有一定的了解。

2.学生已经学习了一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法等，对一元二次方程有一定的掌握。

3.学生已经学习了不等式的性质和一元二次不等式的解法，对一元二次不等式有一定的了解。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过学习二次函数与一元二次方程、不等式的关系，学生能够运用数学抽象思维，将实际问题抽象为数学模型；通过分析二次函数的图像和性质，学生能够运用逻辑推理能力，探究二次函数与一元二次方程、不等式的内在联系；通过解决一元二次方程和不等式问题，学生能够运用数学建模能力，将数学知识应用于解决实际问题。通过这些学习过程，学生不仅能够掌握数学知识，还能够培养数学思维和解决问题的能力，提高数学核心素养。教学难点与重点1.教学重点

本节课的核心内容是理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，以及如何运用这些关系解决实际问题。具体来说，重点包括以下几个方面：

（1）二次函数与一元二次方程的联系：理解二次函数的图像和性质，以及如何通过图像和性质求解一元二次方程的根。

（2）二次函数与一元二次不等式的关系：掌握二次函数图像在坐标轴上的位置，以及如何通过图像判断一元二次不等式的解集。

（3）运用二次函数解决实际问题：学会将实际问题抽象为二次函数模型，并运用所学的知识和方法解决这些问题。

2.教学难点

本节课的难点在于理解和掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，以及如何运用这些关系解决实际问题。具体来说，难点包括以下几个方面：

（1）二次函数与一元二次方程的联系：学生可能难以理解二次函数的图像和性质，以及如何通过图像和性质求解一元二次方程的根。

（2）二次函数与一元二次不等式的关系：学生可能难以掌握二次函数图像在坐标轴上的位置，以及如何通过图像判断一元二次不等式的解集。

（3）运用二次函数解决实际问题：学生可能难以将实际问题抽象为二次函数模型，并运用所学的知识和方法解决这些问题。

针对以上难点，教师应采取有效的教学方法，如通过实例讲解、小组讨论、练习题等方式，帮助学生理解和掌握这些难点。同时，教师还应鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和疑惑，及时解答学生的疑问，帮助学生突破难点。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、黑板、粉笔、直尺、三角板等。

2.课程平台：人教A版（2019）必修第一册数学教材。

3.信息化资源：教学课件、动画演示、在线练习题库等。

4.教学手段：讲授法、提问法、小组讨论法、案例分析法等。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生对二次函数与一元二次方程、不等式关系的兴趣。

过程：通过展示生活中的实际问题，如商品打折、人口增长等，引导学生思考这些问题的数学模型，进而引出二次函数与一元二次方程、不等式的关系。

2.二次函数与一元二次方程的关系（10分钟）

目标：让学生理解二次函数与一元二次方程的联系。

过程：通过展示二次函数图像，引导学生观察图像与一元二次方程根的关系，并用实例讲解如何通过图像求解一元二次方程的根。

3.二次函数与一元二次不等式的关系（20分钟）

目标：让学生掌握二次函数与一元二次不等式的关系。

过程：通过展示二次函数图像，引导学生分析图像在坐标轴上的位置，并用实例讲解如何通过图像判断一元二次不等式的解集。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：加深学生对二次函数与一元二次方程、不等式关系的理解。

过程：将学生分成小组，每组选择一个实际问题，用二次函数模型进行解决，然后进行小组讨论，最后每组汇报讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：提高学生的表达能力和解决问题的能力。

过程：邀请几组学生进行课堂展示，其他学生进行点评，教师进行总结和点评。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固学生对二次函数与一元二次方程、不等式关系的理解。

过程：教师对本节课的内容进行总结，强调二次函数与一元二次方程、不等式的关系，并布置课后作业。知识点梳理1.二次函数的定义和性质

-定义：一般形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，称为二次函数。

-顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点的坐标。

-性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像与坐标轴的交点等。

2.一元二次方程的解法

-因式分解法：将方程转化为两个一次方程求解。

-配方法：通过配方将方程转化为完全平方形式求解。

-公式法：直接应用一元二次方程的求根公式求解。

3.一元二次方程的根与系数的关系

-根与系数的关系：根的和等于-b/a，根的积等于c/a。

-韦达定理：根与系数的关系的另一种表述。

4.一元二次不等式的解法

-图像法：通过二次函数图像判断不等式的解集。

-因式分解法：将不等式转化为两个一次不等式求解。

-求根法：找到一元二次方程的根，根据根的情况判断不等式的解集。

5.二次函数与一元二次方程、不等式的关系

-二次函数的图像与一元二次方程的根的关系：根是图像与x轴交点的坐标。

-二次函数的图像与一元二次不等式的解集的关系：解集是图像与x轴交点坐标构成的区间。

6.实际问题中的二次函数模型

-商品打折问题：折扣率是二次函数模型。

-人口增长问题：人口增长速度是二次函数模型。

-投资收益问题：收益与投资额的关系是二次函数模型。典型例题讲解1.例题1：求解一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根。

分析：根据一元二次方程的求根公式，我们可以直接计算出方程的根。

解：x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

答案：x1=-1/2,x2=3/2

2.例题2：判断二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像的开口方向。

分析：根据二次项系数a的符号，我们可以判断二次函数图像的开口方向。

解：如果a>0，那么二次函数图像向上开口；如果a<0，那么二次函数图像向下开口。

答案：向上开口

3.例题3：求解一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集。

分析：根据二次函数图像，我们可以判断一元二次不等式的解集。

解：解集是二次函数图像在x轴上方的部分，即x<-b/(2a)或x>-b/(2a)。

答案：解集为x<-1或x>2

4.例题4：判断二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点。

分析：根据二次函数图像，我们可以判断二次函数与x轴的交点。

解：交点是二次函数图像与x轴的交点，即x=-b/(2a)。

答案：交点为x=-2

5.例题5：求解一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根，并判断二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点。

分析：首先，根据一元二次方程的求根公式，我们可以计算出方程的根。然后，根据二次项系数a的符号，我们可以判断二次函数图像的开口方向。最后，根据二次函数图像，我们可以判断二次函数与x轴的交点。

解：x1=(-b+√(b^2-4ac))/(2a)

x2=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

y=a(x-h)^2+k

h=-b/(2a)

答案：x1=-1,x2=3

y=(x+2)^2-4

h=-2内容逻辑关系重点知识点：二次函数的定义、顶点式、性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、图像与坐标轴的交点等）。

板书设计：

二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k

性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像与坐标轴的交点等。

2.一元二次方程的解法

重点知识点：因式分解法、配方法、公式法、根与系数的关系、韦达定理。

板书设计：

一元二次方程：ax^2+bx+c=0（a≠0）

解法：因式分解法、配方法、公式法

根与系数的关系：根的和等于-b/a，根的积等于c/a

韦达定理：根与系数的关系的另一种表述。

3.一元二次不等式的解法

重点知识点：图像法、因式分解法、求根法、解集的判断。

板书设计：

一元二次不等式：ax^2+bx+c>0

解法：图像法、因式分解法、求根法

解集：解集是二次函数图像在x轴上方的部分，即x<-b/(2a)或x>-b/(2a)。

4.二次函数与一元二次方程、不等式的关系

重点知识点：二次函数的图像与一元二次方程的根的关系、二次函数的图像与一元二次不等式的解集的关系。

板书设计：

关系：

-二次函数的图像与