1994全国硕士研究生数学真题及答案解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

,11、

(1)limcotx(-------)=____________.

工.osinxx

⑵曲面z—e「+2孙=3在点(1,2,0)处的切平面方程为.

⑶设Msin则在点(2,一)处的值为___________.

ydxdy兀

22

(4)设区域。为V+V4店，则口(1_+?dxdy=.

已知a=(1,2,3),，=(1,；,；),设A=a?尸，其中是a的转置,则41=.

⑸

—•■、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

34234

⑴设Af=J：sn：cos4xdx,(sinx+cosx)dx,P=j(xsinx-cosx)dx,

则()

(A)N<P<M(B)M<P<N

(C)N<M<P(D)P<M<N

⑵二元函数f(x,y)在点(尤0,%)处两个偏导数£(毛，%)、于久x0,y0)存在是f(x,y)在

该点连续的()

(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件

(0充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件

00001

⑶设常数X〉0,且级数收敛,则级数Z(—1)"I5()

y/n2+A.

n=ln-1

(A)发散(B)条件收敛

(0绝对收敛(D)收敛性与几有关

atanx+Z?(l-cosx)_,，八、，*

(4)hm------------------4=2,其中矿+c-H0,则必有

1°。111(1一2九)+矶1一"£)

(A)b=4d(B)b=-4d

(C)a=4c(D)a=-4c

⑸已知向量组%、仁、%、%线性无关，则向量组

(A)%+。2、。2+。3、。3+。4、%+%线性无关

(B)。1一%、。2一。3、£3-14、%-4线性无关

(C)/+%、I2+23、。3+。4、%-4线性无关

(D)/+%、。2+。3、。3一。4、%一火线性无关

三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分.)

x=cos(r2),

朱、言在的值.

⑴设2dl求

y=tcos«)--cosudu,

Ji2,沅

(2)将函数/(x)=Lln^^+Larctanx-x展开成x的幕级数.

41-x2

⑶求［-----------.

Jsm2x+2smx

四、(本题满分6分)

计算曲面积分jj，其中S是由曲面d+y2=店及两平面2=R,

sx+y+z

Z=—R(R>0)所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设/(x)具有二阶连续导数，/(0)=0,尸(0)=1,且

［肛(x+y)—/(x)"fc+"'(x)+x2刃力=。为一全微分方程，求/(x)及此全微分方程的

通解.

六、(本题满分8分)

设/(%)在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且lim3=0,证明级数

2。X

001

绝对收敛.

„=1n

七、(本题满分6分)

已知点A与8的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段A8绕z轴旋转一周所围成

的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

八、(本题满分8分)

x+x—0

设四元线性齐次方程组(I)为《I2'又已知某线性齐次方程组(II)的通解为

32-x4=0,

勺(0,1,10)+左2(T，2,2,1).

(1)求线性方程组(I)的基础解系；

(2)问线性方程组(I)和(II)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没

有,则说明理由.

九、(本题满分6分)

设A为”阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，4是A的转置矩阵，当A*=4"时，证明

|A|w0.

十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=.

(2)设相互独立的两个随机变量X、丫具有同一分布律，且X的分布律为

X01

11

P——

22

则随机变量Z=max{X,F}的分布律为.

十一、(本题满分6分)

已知随机变量(x,y)服从二维正态分布,且x和丫分别服从正态分布NQ,3?)和

1VY

N(0,42),X与丫的相关系数Ay=-5，设2=一+—,

232

(1)求z的数学期望E(Z)和方差£>(Z)；

(2)求X与Z的相关系数Q立；

(3)问X与Z是否相互独立？为什么？

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】7

【解析】原式变形后为“°”型的极限未定式，又分子分母在点o处导数都存在，所以连

o

续应用两次洛必达法则，有

Eq「cosx(x-sinx)「「x-sinx

原式=lim------------------=limcosx-lim-----------

%-。%sinx％-。x

「1-cosx「sinx1/,注加sinx

=lim----------=lim------=—.(由重要极限lim------=1)

3x6x6%-。x

⑵【答案】2x+y-4=0

【解析】所求平面的法向量〃为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量/,

取〃=/,又平面过已知点M(l,2,0).

已知平面的法向量(AS。)和过已知点(％,%,z0)可唯一确定这个平面：

A(x—x0)+B(y—y0)+C(z—z0)=0.

因点(1,2,0)在曲面F(x,y,z)=0±.曲面方程方(x,y,z)=z—eZ+2孙一3.

曲面在该点的法向量

dFdF，鲁={2—九2。)={4,2,0}=2{2,1,0},

n—<—,—

dxdy

故切平面方程为2(九—l)+(y—2)=0,即2x+y—4=0.

(3)【答案】

【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先

/

I、duh—d(du

求丁，再求------

dy&(②

dux_xx

——二——-ecos—,

dyyy、

22

du_duddu2—x

i-7CxeCOS71X

^(2.1)^(2,1)dx\^dyy=~

x=2

=（一廿e'（1—x）cos7cx）|x=2+0=—-.

（可边代值边计算,这样可以简化运算量.）

【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数"=9（龙》）#=〃（苍丁）都在点（羽》）具

有对x及对〉的偏导数,函数z=/（〃#）在对应点（a,v）具有连续偏导数,则复合函数

z=于（（p（x,y）,〃（苍y））在点（x,y）的两个偏导数存在,且有

&dzdudzdvdu.dv

-+—frsf+r力；

dxdudxdvdxdxdx

dzdzdudzdv—dudv

-i—A+fy

犷dudydvdydydy

⑷【答案】/（』+,）

【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算:

(2zi,2zi、，2

rR2COS6Sin07广2»COS6

原式=de\r123——+——rdr=——

JoJ。a2b2Joa2

注意：『渥田人『sin?田6=

则原式=%?，/1

1

1

23

2

(5)【答案】3"T21

3

3

31

2

【解析】由矩阵乘法有结合律，注意13aT

而（是一个三阶矩阵）

于是,

An=(aTj0)(aTjff)(aTjff)(a©="(的，)(的?)[j3a)/3

7

=3""£=3"T211

二、选择题（本题共5个小题,每小题3分,满分15分.）

（1）【答案】（D）

【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.

由对称区间上奇偶函数积分的性质，被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分

为0,故V=0,且

由定积分的性质，如果在区间l［a,可r上，被积函数/'（x）20,则/〃无）必;20（a<b）.

n%

所以N=2j,cos4xdx〉0,P=-2^cos4xdx^-N<0.

因而P<M<N,应选（D）.

⑵【答案】（D）

【解析】/（%,y）在点（/，%）连续不能保证于（x,y）在点（尤。,兄）存在偏导数£（40,为），

4（/,为）.反之，/（%y）在点（无o,为）存在这两个偏导数工'（九0，%），4（％,为）也不能保

证于（x,y）在点（无0,%）连续,因此应选（D）.

二元函数于（X,y）在点（尤0,为）处两个偏导数存在和在点（不，为）处连续并没有相关性•

⑶【答案】（0

【解析】考查取绝对值后的级数.因

|后J|2"2n2+A2n2n2,

（第一个不等式是由a20,。20,<g（4+/）得到的.）

00001001

又£片收敛，收敛，（此为P级数：当?〉1时收敛；当时发散•）

〃=1n-12〃及=1TI

_oo11oo(-1/KI

所以收敛，由比较判别法，得X收敛.

/;z2+2

„=i22nn=l

故原级数绝对收敛,因此选(C).

(4)【答案】(D)

【解析】因为1-cosx=6>(x),1-e~xx=°(九),

故atanx+优l-cosx)ax(awO),

cln(l-2x)+d(l-e~x)-2cx(cw0),

因此原式左边=lim-^=，一=2=原式右边，na=—4c.

x->0—lex—2c

当a=0,cwO时,极限为0；

当aw0,c=。时,极限为oo，均与题设矛盾,应选⑻.

【相关知识点】1.无穷小的比较：

设在同一个极限过程中，«(x),/7(x)为无穷小且存在极限lim型D=I.

〃(x)

(1)若/H0,称«(%),伙X)在该极限过程中为同阶无穷小；

(2)若/=1,称«(%),伙x)在该极限过程中为等价无穷小,记为«(x)伙x)；

(3)若/=0,称在该极限过程中a(x)是"(X)的高阶无穷小,记为

a(x)=o(伙x)).

若lim也»不存在(不为oo),称«(%),队x)不可比较.

队X)

2.无穷小量的性质：当xf5时，(z(x),/?(x)为无穷小，则

a(x).x)=cc(x)="x)+o(/3(x)).

⑸【答案】(0

【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.

(A)：由于(4+a2)-(a2+/)+(%+%)-(%+%)=0,所以(A)线性相关.

(B)：由于(%-%)+(4-生)+(生-%)+(%-出)=°，所以⑻线性相关・

对于(0,实验几组数据不能得到0时,应立即计算由a的系数构成的行列式,即

100-1

1100

=2R0,

0110

0011

由行列式不为o,知道(c)线性无关.故应选(0.

当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由

(«1+4)一(%+%)+(%—%)+(%—%)=0，

知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).

【相关知识点】%,4，,4线性相关的充分必要条件是存在某q(，=l,2,,s)可以由

%,,aM,,as线性表出.

%,4，,4线性无关的充分必要条件是任意一个q(，=1,2,,s)均不能由

%,aM,,as线性表出.

=t[t>0),

代入参数值t=

【相关知识点】L复合函数求导法则:如果〃=g(x)在点x可导,而y=f(x)在点u=g(x)

可导,则复合函数y=/[g(x)]在点x可导,且其导数为

■=r(“)Ha)或生。

axaxduax

2.对积分上限的函数的求导公式：若/⑺=[f(x)dx,。⑺，〃⑺均一阶可导，则

Ja。)

(2)【解析】/(x)=—ln(l+x)--ln(l-x)+—arctanx-x.

442

先求f'(x)的展开式.将/(X)微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幕级数

展开.所以由

八\aIa(tz-l)2«(tz-l)(tz-n+1)„..八

(1+X)=1+OCX--------X+H------------j---------X+,(-1<X<1)

该级数在端点X=±l处的收敛性,视a而定.特别地,当a=-1时，有

----=l-x+x2-x3++(—1)〃£+,(-1<X<1)

1+x

----=l+x+x2+%3++xn+,(―1<X<1)

1-X

111111111111

得=-------1--------1------5—I=------7-------5—1

41+x41-x21+x221——21+x2

1008

=『-1二/-1=》4.(⑶<1),

1-%n=0n-1

积分，由牛顿-莱布尼茨公式得

cooo4n+l

/(x)=/(0)+£'f\x)dx=Z］；严力=-7(IXl<1)•

n=ln=\4〃+1

(3)【解析】方法L利用三角函数的二倍角公式sin2a=2sina-cosa,并利用换元积分,

结合拆项法求积分,得

rdx_rdx

Jsin2%+2sinx」2sinx(cosx+l)

smxdx1r1,

----------------cosx-u——--------------du

2sin2x(cosx+1)=2J(l-u)(l+u)

sin2x=l-cos2x)

1r(1+W)+(1—£/)12

IT-dn—-----1-------7)du

4J(1-M)(1+M)21+w(1+u)

2

=-ln|l-w|-ln|l+u|++c

8(1+M)

12

In(1-cosx)-ln(l+cos%)++C,

81+COSX

其中C为任意常数.

方法2:换元COSX="后,有

dx_rsinxclx1rdu

5」(1-")(1+")2

2sinx(cosx+l)J2sin2x(cosx+1)

用待定系数法将被积函数分解:

1ABD

---------7=----1-----1-----7

(1-i/)(l+w)1—U1+W(1+J/)

(A—5)“2+(2A—£>)“+(A+3+。)

(l-w)(l+u)2

A-B=0

2A-D=QA=B=~,D=~.

42

A+B+D=l

122

于是,原式=—--1-----1------)du=-ln|l-w|-ln|l+w|+-----+C

8u1+u(1+u)81+u

=-In(1-cosx)-ln(l+cosx)+---+C.

81+COSX

四、（本题满分6分）

【解析】求第二类曲面积分的基本方法：套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化

为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.

这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若E垂直yQz平面,则

jjPdydz=0.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.

先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.

方法i：注意K。=o,（因为s关于冲平面对称,被积函数关于z轴对称）

"1+y+z

所以/=n•，畔

7x+y+z

S由上下底圆及圆柱面组成.分别记为SpS?,§3.S],S2与平面yOz垂直n

xdydz

rrxdydzff22=o.

“77777

JJx+y+z

2

在53上将%+/=R-代入被积表达式n/=1兰丝.

3/?2+z2

%

S3在yz平面上投影区域为D>:—在S3上，x=+^R2-y2,S3关

于yz平面对称,被积函数对x为奇函数,可以推出

fJJ小，Jdydz=2x2x戏工

7?2+Z2

Dyz

1八

c万「

=8—R2-1arctan—Z=-7T2R.

4RR。2

rrxdydz

方法2：S是封闭曲面，它围成的区域记为。，记/=Jj7?2+z2,

再用高斯公式得I=\\\j-[-^-^\dV=\\\-^dV=\Rdzjj

嵋。+z)蓝R+zJ必R+z

=2〃R2crfR_1dz=1—/oR(先一后二的求三重积分方法)

J。R2+Z22

其中。(z)是圆域：x'+y-^R2.

【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域。是由分片光滑的闭曲面E所围成，函数

P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在。上具有一阶连续偏导数,则有

fffl――+―+—=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,

嵋IOxdydzJ

或讨竺+&+空小(Pcosa+Qcos/?+Hcos/)dS,

号(dydz?

这里£是Q的整个边界曲面的外侧，cosa.cos/?>cosy是2在点(x,y,z)处的法向量的

方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

五、(本题满分9分)

【解析】由全微分方程的条件，有

aa

小孙(%+y)-f(x)y]=—[f(x)+x2y],

oyox

即x2+2xy—f(x)=/"(x)+2xy,亦即/"(%)+/(%)=x2.

y"+y=冗2

因而是初值问题..的解，此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的

必=0，儿0=1，

IIA—VIA-V

齐次方程的特征方程为r2+l=0的根为名=土"原方程右端/=e°，.必中的a=o,不同

于两个特征根，所以方程有特解形如Y=AX2+BX+C.

代入方程可求得A=l,B=0,C=2,则特解为V—2.

由题给/(0)=0,/'(0)=1,解得/(x)=2cosx+sinx+x2-2.

于(x)的解析式代入原方程,则有

[xy2+2y-(2cosjr+sinx)y]tZx+[x2y+2x-2sinx+cosx]t/y=0.

先用凑微分法求左端微分式的原函数：

(-^y2dx2+x2dy2)+2(ydx+xdy)-yd(2sinx-cosx)-(2sinx-cosx)dy=0,

d(gx2y2+2xy+y(cosx-2sinx))=0.

其通解为^x2y2+2xy+y(cosx-2sinx)=C其中C为任意常数.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(无)是二阶线性非齐次方程

/+P(x)y'+Q(x)y=/(%)的一个特解.y(x)是与之对应的齐次方程

7+P(尤)y'+Q(x)y=0的通解,则y=7(%)+y(x)是非齐次方程的通解.

2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

Mx),可用特征方程法求解：即y"+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程

变为y"+py'+qy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0,在复数域内解出两个特征根小g；

分三种情况：

v

(1)两个不相等的实数根小马，则通解为y=ge环+C2e;

1

(2)两个相等的实数根(=弓,则通解为y=(C1+C2x)e";

(3)一对共轨复根生=々土i/3,则通解为y=©以(Qcos/3x+C2sin/).其中CrC2

为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程y"+P{x}y'+Q(.x)y=于(x)的一个特解y\x),可用待定

系数法,有结论如下：

kAx

如果/(x)=匕(X)於,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)=xQn(x)e

的特解,其中Q“,(x)是与匕,(为相同次数的多项式,而左按2不是特征方程的根、是特征方

程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果/(x)=/有(x)cosox十月(x)sincox］,则二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+p(x)y'+q(x)y=/(%)的特解可设为

y=］，版［底)(x)coscox+R?(x)sina)x\,

其中R：(x)与R7(九)是根次多项式，m=max{/,"},而%按X+。(或4-。)不是特征

方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

六、(本题满分8分)

【解析】lim/®=0表明x-0时/(%)是比尤高阶的无穷小,若能进一步确定/(%)是x

的P阶或高于P阶的无穷小，p>L从而/(』)也是1的P阶或高于P阶的无穷小,这就

nn

001

证明了级数X/(—)绝对收敛・

n-1〃

方法一：由lim」@=0及/(x)的连续性得知/(0)=0,/'(0)=0,再由/(%)在点x=0

3X

的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则，lim/孚为“1”型的极限未定式，又分

子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有

Km-—⑴

52x522

nlim

xf0

心

1

由函数极限与数列极限的关系nlim=^|no）|.

2

001001001

因Y-y收敛ny/（-）收敛,即y/（-）绝对收敛.

〃=i〃gR〃=1n

方法二：由lim」(2=0得知/(0)=0,/f(0)=C,可用泰勒公式来实现估计./(x)在点

x=0有泰勒公式：

/(X)=/(0)+广(0)x+1f'XOx)^=1/W)-v2(0<^<l,%e［一反加)

因/(%)在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数,

nm3>0,/"(%)在xe[-3,5]有界，即三"〉0,有|(尤)区M,xe\-S,5]

n|/(x)|=||/W)|x2<^MX2,X^[一瓦切.

对此(5>0,BN,〃>N时，0<,<Sn<-M\.

n2九2

001001001

又收敛nZ/(-)收敛,即y_/•(L)绝对收敛

„=in„in„=in

=

【相关知识点】正项级数的比较判别法：

88

设y"〃和y乙都是正项级数,且Hm2=A则

ZTMiun

0000

⑴当0<A<+oo时，WX和2为同时收敛或同时发散;

n-\n-1

00000000

⑵当A=0时，若收敛，则2%收敛；若发散则发散;

n-in-1n-1n-1

00000000

⑶当A=+8时，若工匕,收敛，则X"“收敛；若发散，则»“发散•

n-1n=\n=ln-1

七、(本题满分6分)

【解析】方法1：用定积分.

设高度为z处的截面Dz的面积为S(z),则所求体积V=『S(z)dz.

JO

A3所在的直线的方向向量为(0—1,1—0,1—0)=(—LL1),且过A点,

所以A3所在的直线方程为=-=2=：或1.

—ill[y=z

2

截面Dz是个圆形,其半径的平方代=%2+9=(1—z)2+Z,则面积

S(z)=71R2=»[(1—z)2+Z2],

由此V=7i[(l-z)2+z2]dz=(1-2z+2z2)dz=7T^z-z2

方法2：用三重积分.

V=ffldV=r呵：dz\f^rdr=^,

Q」

或者V===Jo；r[(l-z)2+z2]dz

=司'()(l-2z+2z2)6fe

(,23丫171

I3Jo3

八、(本题满分8分)

「1100]

【解析】(1)由己知，(I)的系数矩阵，A=

010-1

由于〃—r(A)=2,所以解空间的维数是2.

取X3，乂为自由变量，分别令(七,％)=(1,0),(0,1),求出Ax=0的解.

故(I)的基础解系可取为(0,0,1,0),(-1,1,0,1).

⑵方程组(I)和(H)有非零公共解.

将(II)的通解