2021-2022学年广东省深圳市光明区高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年广东省深圳市光明区高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）角旦匚的终边落在（

3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知集合A={X|2%2>X},则CRA=（）

A,{x|B.{xIx</}C-{xD-{x[0<x</}

3.（5分）扇子最早称“翟”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣

赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之

中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2）AO=120C7〃，圆心角为45°,

且C为4。的中点，则该扇形窗子的面积为（）

O

图2

B.1350TIC77?’C.1350c7打D.ISOOncm-

4.（5分）下列命题是假命题的是（）

A.函数y』7|x|是偶函数

B.命题'勺x€R+,的否定是“VX6R+,加>0”

C.若心心0,则？〉包工

aa+1

D.VAG（0.1）,x>xi

5.（5分）已知2°」+a=0,贝!]是"x+l>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）角a的终边经过点（-3,4）,则cos（费-玲）cos--1-）的值为（）

7.（5分）要得到函数y=sinx+cosx的图象，只需将函数y=J，cos2x的图象上所有的点

（）

A.先向右平移三个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐

8

标不变）

B,先向左平移二个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的工（纵坐标

82

不变）

C.先向右平移二个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐

4

标不变）

D.先向左平移三个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的工（纵坐标

42

不变）

8.（5分）已知函数f（x）=iogx-d^l（a>0且“W1）在（0，L］上无零点，在（工，1）

a22

上有零点，则实数。的取值范围为（）

A.（0,-1）B.（1,1）U（1,+8）

c.（0,D.e，i）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知幕函数F（x）=（/M-2）则（）

A./n=3B.定义域为［0,+8）

C.（-1.5）"'<（-1.4）D.Vf（2）=2

（多选）10.（5分）下列各式的值为1的是（）

Atan200+tan250

,tan20°tan25°-1

1

B,3

log627+log68-（-^-）

C.sin720cosl80-cosl08°sin180

D.2cos222.5°-1

（多选）11.（5分）函数f（x）=Asin（3x+0）（A>0，3〉0,|<j-）的部

分图象如图所示，则下列说法正确的是（)

C.函数/（x）在（0,n）上的值域为（4，1]

D.方程f（X）4（O<兀）的解为必必则COS（X[+乂2）=A

'x+3—a（x0）

（多选）12.（5分）已知函数/（x）={6（a>0且。W1）在R上为单调

a，T（x<0）

函数，g（x）=-cosx,xG[-2n,如],则下列结论错误的是（）

A.实数。的取值范围为（1,+8）

B.存在x€|m,n]（-如），使g（x）的值域为产，-2.]

C.函数/（x）与g（x）的图象的交点个数可能为2,3,4

D.函数f（x）与g（x）的图象上一定存在关于直线），=1对称的点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）己知函数/（2x-l）=x,贝.

14.（5分）已知3，"=10,则/g0.09=.（结果用含加的代数式表示）

15.（5分）已知定义在R上的减函数f（x）满足/（x）V（-X）=0,尸（-1，2）是其图

象上一点，那么/（x+1）|<2的解集为.

16.（5分）如图，在直角梯形A8C£>中，/A=90°,AD//BC,AD=2,BC=3,E为AB

上一点，S.DEA.EC,则△£>《（？面积的最小值为,此时AB=.

A.----

E

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知tan(兀+a)=-^--

(1)求cos2a的值;

(2)求—『sin2a----的值.

2cos2a-sin2a

18.(12分)已知集合人={却<》<2},集合B={x|?-2ar+7<0,aGR).

(1)若a=3,求月U8；

(2)若xCA是的充分条件，求a的取值范围.

19.(12分)已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，当xWOfl寸，f(x)=log2(3-x)-

x-3.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式/(3x-l)<f(x+2).

20.(12分)已知函数f(x)=2sin2xW^sin2x,x€［久，兀〉

6

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

⑵若-判断方程/(x)-a=0的根的个数.

21.(12分)珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、挤压、发泡等工艺制成的一种新型的包装

材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，

若本季度在原材料上多投入x(l<x<10)万元，珍珠棉的销售量可增加吨，“增

产部分每吨的售价为(3—贵)万元，另外生产P吨珍珠棉还需要投入其他成本史万元.

p2

(1)写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系；

(2)当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润〉最大？最大为多少万元？

22.(12分)已知函数f(x)上2-

2X+1

(1)求/(-2)4/(2)的值；

(2)求函数/(x)的值域；

(3)若g(x)=(f(x)产———+2a，且对任意的XI，xzeR,都有|g(xi)-g(x2)

2X+1

|<3,求实数”的取值范围.

2021-2022学年广东省深圳市光明区高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）角且L的终边落在（）

3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】象限角、轴线角.

【分析】根据象限角的概念即可求解.

【解答】解：因为圭；=300。6（270°,360°）,

所以角的终边落在第四象限.

故选：D.

【点评】本题主要考查了象限角的概念，属于基础题.

2.（5分）已知集合4={卫2，>刈，贝UCRA=（）

A,{x|B.C.{x|odx<5}D.{x[0<x</}

【考点】补集及其运算.

【分析】可求出集合4然后进行补集的运算即可.

【解答】解：：A={x[x<（^x>/}，

CRA=（x10<X<y}-

故选：C.

【点评】本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，补集及其运算，考

查了计算能力，属于基础题.

3.（5分）扇子最早称“婴”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣

赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之

中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2）AO=120C7〃，圆心角为45°,

且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为（）

AB

O

图I图2

A..15兀dB.1350-ITCTO2C.1350C，/D.1800HC/H2

【考点】扇形面积公式.

【分析】根据扇形面积S=」a/?2,并结合割补法，即可得解.

2

【解答】解：因为AO=120cs,且C为AO的中点，所以CO=60C7〃，

所以该扇形窗子的面积S=SmoAB-S^OCD=1\AO^ZAOB-」L|CO|2・NAO8

22

22

=Ax1202X2L-AX60X2L=1350nc/n.

2424

故选:B.

【点评】本题考查扇形面积的求法，牢记扇形面积公式是解题的关键，考查运算求解能

力，属于基础题.

4.(5分)下列命题是假命题的是()

A.函数yf/|x|是偶函数

B.命题TX£R+,阮W0”的否定是“VX6R+,lnx>0”

C.若a>b>0,则旦>包文

aa+1

D.Vxe(0,1),

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】直接利用函数的性质，命题的否定，数的大小比较判断A、B、C、。的结论.

【解答】解：对于A：函数f(x)=VIxI，满足/(-x)—f(x),故函数/(x)是偶函

数,故A正确；

对于&命题uBxER+,InxWO”的否定是“Vx€R+,InxX)",故B正确；

对于C,电了+1=b-a,ya>h>(),：.b-a<0,从而—a<即

aa+1a(a+1)a(a+1)

旦〈更1,潍误，

aa+1

对于O：对于(0,1),犬>/,故£>正确.

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，命题的否定，数的比较，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于基础题.

5.（5分）已知2°」+。=0,则“x>a”是“尤+1>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【分析】求出a的范围，根据集合的包含关系判断即可.

【解答】解：V20-,+<a=0,.\a=-20'<-1,

故“x>a”是“x+l>0”的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是基础题.

6.（5分）角a的终边经过点（-3,4）,则cos俣；）cos--）的值为（）

A.上B.2C.D.&

551010

【考点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的三角函数.

【分析】利用诱导公式，二倍角公式化简所求式子可得工osa,再由任意角的三角函数

2

的定义，得解.

【解答】解：；

cosCOS(-7------^-)=coscos(2+三-工”

242

cos(z-a--+——K)xsi.n(z-a--+-n--).=—sin(a+-兀--)、=-±1cosa=1-^X-_3±=-3

24242222510

故选：C.

【点评】本题考查三角函数的化简与求值，熟练掌握诱导公式，二倍角公式，任意角的

三角函数的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

7.（5分）要得到函数y=siar+cosx的图象，只需将函数y=\/^CQS2X的图象上所有的点

（）

A.先向右平移三个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐

8

标不变）

B.先向左平移三个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的工（纵坐标

82

不变）

C.先向右平移三个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐

4

标不变）

D.先向左平移三个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的工（纵坐标

42

不变）

【考点】函数y=Asin（cox+cp）的图象变换.

【分析】利用两角和的余弦公式化筒为）=&85（X--）,再由函数'=48$（0）X+（p）

4

的图象变换规律得出结论.

【解答】解：y=sinx+cos无=*\/^cos

4

将函数y=&cos2x的图象上所有的点向右平移三个单位长度得到y=&cos2a-三）

88

=V^cos（2x-

4

再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得至ljy=&cos（x-2L）.

4

故选：A.

【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（u）x+（p）的图象变换规律，统一这两个

三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题.

8.（5分）已知函数f（x）=logaX-产（a>0且在（0，上无零点，在g，1）

上有零点，则实数。的取值范围为（）

A.（0,/）B.（1,1）|J（1,+co）

c.（0,/］D.g,1）

【考点】函数零点的判定定理.

【分析】将问题转化成研究方程logx=4k1在（0,工］上无实数根，在R,1）上有

实数根，即考查函数g（x）=logX,h（x）=4x-1的交点情况，作出函数图像数形结

a

合即可得到答案.

【解答】解：函数“X）在（0,寺］上无零点，在4，1）上有零点，

即方程/（x）=0在（0,上无实数根，在8，1）上有实数根，

即logx=4/1在(o,工］上无实数根，在(工，1)上有实数根，

a22

设g(X)=logaX，h(x)=45^1,

函数刀(x)在R上单调递增，且h(O)q,h(y)h(1)=1'

h(x)=4广1>0恒成立，

若。>1,则在炉(0,1)时，g(x)=log«x<0,故不满足条件.

由于g(x)与h(x)的图象在(0,上无交点，在弓，1)上有交点,

'0<a<l

根据函数的图象可知，

g(y)>h(y)

解得卜(，

故选：D.

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.(5分)已知基函数f(x)=(相-2)贝IJ()

A.m=3B.定义域为［0,+8)

C.(-1.5),n<(-1.4)mD.Vf(2)=2

【考点】幕函数的概念、解析式、定义域、值域.

【分析】由题意，利用基函数的定义和性质，得出结论.

【解答】解：对于基函数/(x)=应有m-2=1,求得加=3,可得

=/,故A正确：

由于它的定义域为R，故B错误；

由于函数/(x)是R上的增函数，-1.5V-1.4,/.(-1.5)3<(-1.4)3,故C正确；

由于(2)=弧=2近,故。错误，

故选：AC.

【点评】本题主要考查嘉函数的定义和性质，属于基础题.

(多选)10.(5分)下列各式的值为1的是()

Atan200+tan250

-tan20°tan250-1

1

B,

log627+log68-(y)3

C.sin72°cosl80-cosl08°sinl8°

D.2COS222.50-1

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；对数的运算性质；两角和与差的三角函数.

【分析】结合和差角公式，二倍角公式及对数的运算性质分别检验各选项即可求解.

o

【解答】解：A：tan20"+tan25'=_tan(20+25°)=-tan45°=-1,A错误；

tan20tan25-1

1

B：Iog627+log68-83'=log6(27X8)-2=3-2=1,B正确；

C：sin72°cosl8°-cosl08°sinl8°=sin72°cos18°+cos72°sinl8°=sin90°=1,C

正确；

D：2cos222.5°-l=cos45°=亚，£)错误.

2

故选：BC.

【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及对数的运算性质在求解三角函数值

中的应用，属于基础题.

(多选)11.(5分)函数f(x)=Asin(3x+Q)(A>0，3>0,|的部

分图象如图所示，则下列说法正确的是()

C.函数/（x）在（0,n）上的值域为（4，1]

D.方程f（x）4（O<X<兀）的解为必必则COS（X[+乂2）=A

【考点】命题的真假判断与应用；由丫=人$皿（3X+（p）的部分图象确定其解析式.

【分析】由图可得A、3,过点（工，-1）得中从而得到了（公，令x=0可判断A；将

3

x=WL代入f（X）可判断B；由0<x<n时得[<sin（x工）<1>可判断C；

626

盯+乂2二号-,cos（x[+x2）=十可判断D

【解答】解：由图可知：A=l,工二L-（工）=兀，

233

贝ijT=2m从而3=1,

又,：/(x)=sin(无+(p)过点(一^-,-1)，

3

・/几人、

••sin(+®)=-T

・・・兀—人—+(|)=兀--+2k^，

O4

7T

得。=一丁+2k兀,kCZ，

6

又：I0I

.♦・@不y兀

・/7T

••f(x)=sin(x一丁＞

6

对于A,令x=0,得f(o)=sin(—^)=得，故A错误；

对于8,将*=卫二代入/(、)得sin(耳•工)=0,故B正确;

666

对于c,当o<xvn时，_2L<X_2L<^2L,J_<sin(x_2L)值域为

66626

(-A,1］,故C正确;

cos孚=」，故。正确•

32

故选：BCD.

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.

1v+2—.()

6Xa"""(心°且启］)在上为单调

(多选)12.(5分)已知函数/(x)=.R

a'-l(x<0)

函数，g(x)=-COfiX,AG[-如，如],则下列结论错误的是()

A.实数。的取值范围为(1,+8)

B.存在n](-2TT^zn<n^2n),使g(x)的值域为[―,—]

C.函数/(x)与g(x)的图象的交点个数可能为2,3,4

D.函数f(x)与g(x)的图象上一定存在关于直线y=l对称的点

【考点】分段函数的应用.

【分析】对于A：由/(X)在R上为增函数，列不等式组，求出实数〃的取值范围；对

于&C、D,利用图像法进行判断.

【解答】解：对于A：当时，f(x)」~x+3-a在1°，+8)上为增函数，

6

又一(无)在R上为单调函数，

所以当xVO时，f(x)=/-1在(-8,0)上为增函数，

从而〃>1,且a°-1W3-小解得aW3,

所以实数。的取值范围为(1,3],A错误；

对于3：取机=-6,〃=6,则-2n<-6=mV6=〃V2n,

当在［-6,6］时，-1=COSTIW-cosxWl=cosO,故g(x)的值域为［-1,1］,

也就是喀，A],故B正确.

对于C：

图1

当x<0时，两函数的图象一定有2个交点，

当时，两函数的图象可能有。个交点、I个交点、2个交点，或3个交点，

故当〃>1时，两个函数图象的交点的个数为2,3,4,5,所以C正确；

对于函数gG)关于直线y=l对称的函数解析式为/?(x)=2+cosx,如图2,

图2

当4=3时，/(x)与h(x)的图象无交点，所以。错，

故选：AD.

【点评】本题考查分段函数的单调性以及函数的零点与方程根的关系，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知函数=x,P!lJ/(-2)=_JL_.

-2-

【考点】函数的值.

【分析】整利用体思想令2%-1=-2,求出x代入即可求解.

【解答】解：令2x7=-2,得x=［，所以

故答案为：

2

【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

14.(5分)已知3"=10,则收0.09=2-2.(结果用含〃?的代数式表示)

m

【考点】对数的运算性质.

【分析】由3加=10,得，g3=工,由此利用对数的运算法则能求出/gO.O9.

m

【解答】解：由3"'=10知，zn=log310=——,

1§3

m

qp

.,•/^0.09=/g-^-=ig9-igioo=21g3-2=£-2.

100m

故答案为：1-2.

m

【点评】本题考查对数化简求值，考查指数、对数的互化、对数的运算法则等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

15.(5分)已知定义在R上的减函数/(x)满足/(X)+fC-x)=0,P(-1,2)是其图

象上一点，那么/(x+1)|V2的解集为(-2,0).

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【分析】由已知判断了(X)的奇偶性，解绝对值方程，将不等式转化为/(I)</(x+l)

</(-1),再利用单调性去掉“尸，即可求解不等式的解集.

【解答】解：由/(x)叩(-x)=0知/(X)为奇函数，

\'\f(x+1)|<2,二-2</(x+1)<2.

■:于(-1)=2,：.f(1)=-2,：.f(1)</(x+1)</(-1),

又知函数f(x)在R上为减函数，

可得-1<x+lV1,解得-2<x<0,

：.\f(x+1)|<2的解集为(-2,0).

故答案为：(-2,0).

【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想

与运算求解能力，属于基础题.

16.（5分）如图，在直角梯形A8C。中，ZA=90°,AD//BC,AO=2,BC=3,E为AB

上一点，±LDEVEC,则面积的最小值为6,此时A8=5

【考点】三角形中的几何计算.

【分析［设AE=x（x>0）,由已知可得，迪M,EB=@，的面积S=&耳旦,

BCEBx2x

可求其最小值，以及此时AB的值.

【解答】解：设AE=x(x>0),'：DEVEC,NAEQ+NBEC=90°,又,：NECBM

BEC=9Q°,

:.NAED=NECB,又N4=NB=90°,.*.△AEDS^BCE,迪M，即至上，得

BCEB3EB

当且仅当正般即尤=2时等号成立,.'.△DEC面积的最小值为6,止匕时肘=24=5.

2x

故答案为：6；5.

【点评】本题考查解三解形，以及函数的最小值，属中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知tan（兀+a）

（1）求cos2a的值；

（2）求---1-sin2a-----的值.

2cos2a-sin2a

【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系.

【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的余弦公式即可求解.

（2）利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答】解：⑴tan（兀+a）=tana

-tana=^^4

cosa2

cosa=2sina,

两边平方得cos2a=4sin2a,

，cos2a=4(1-cos2a),解得cos2Q

.943

••cos2a=2cosa-1=2X£-I*・

bb

(2)1-sin2a_(sina-cosa)?cosQ,-sin』_

2cos'a-sin2a2cos.(cos。-sin。)2cosCL

y1-1^tarn_a1^^1X-1=_-1-

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函

数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

18.(12分)已知集合4={x|lVx<2},集合B={x*-2ar+7V0,a€R}.

(1)若a=3,求4UB；

(2)若x6A是的充分条件，求a的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件.

【分析】(1)先求出集合8,再求并集即可；

(2)先设函数/(x)=7-2"+7,再结合充分性列不等式组[f(D4°求解即可.

If(2)<0

【解答】解：(1)若4=3,

贝物={x|X2-6X+7<0}={x|3-V2<X<3-H/2)»

又4={x|l<x<2},

.••AUB=[XIl<x<3W2].

(2)若xeA是xeB的充分条件，

贝I」AUB,

设/(x)=7-2ar+7,

Jf⑴<0即产4

1f(2)<0a

解得：。24,

即。的取值范围为[4,+8).

【点评】本题考查了集合的运算，重点考查了充分必要条件，属基础题.

19.(12分)已知函数/(无)是定义在R上的偶函数，当xWO时，/(x)=log2(3-x)-

x-3.

(1)求函数/(X)的解析式；

(2)解不等式/(3x7)</(x+2).

【考点】函数与方程的综合运用；函数奇偶性的性质与判断.

【分析】(1)根据题意，设x>0,则-x<0,结合函数的奇偶性可得的表达式，

综合可得答案；

(2)根据题意，判断在［0,+8)上的单调性，结合奇偶性，有f(3x-1)V/(x+2)

=|3x-l|<|x+2|=>8.r2-10%-3<0,再求出解集.

【解答】解：(1)根据题意，设x>0,则-x<0,

f(x)是定义在R上的偶函数，则/(X)=于(-x)=log2(3+x)+x-3,

-

log9(3-x)x~3,x<0

故/1(x)=1,

log2(3+x)+x-3,x>o

(2)由(1)知，x>0时，f(x)=log2(3+x)+x-3,

又由y=k)g2(3+x)与y=x-3在(0,+°°)上都是增函数，

则/(x)在(0,+8)上为增函数，

/(%)为偶函数，则f(x)在(-8,0)上为减函数，

故/(3尤-1)</(x+2)=|3x-l|<|x+2|=8/-10x-3<0,

解得」<x<3.

42

该不等式的解集为卜|-j<x<1-}.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题.

20.(12分)已知函数f(x)=2sin2xW^sin2x,x€［手，兀〉

6

(1)求函数F(x)的单调递增区间；

(2)若判断方程/(x)-a=0的根的个数.

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性.

【分析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.

(2)利用函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可.

【解答】解：

兀兀

f(x)=l-cos2x+V3sin2x=V3sin2x-cos2x+l=2sin(2x一,兀］

（1）由T+2k兀<2x/<2+2k打，k€z，得

乙bN

TTTT

一^-+k兀4x《.+k兀，k€z，

63

..•函数f（x）的增区间为［咯+k冗，二+k兀］（k€z>

63

由于髭Z,

函数/（X）在［［，兀］上的单调递增区间为［［，工］,卢三，兀］.

6636

（2）方程/（x）-。=0的根的个数也就是函数y=/（x）与函数图象的交点个数.

由（1）知，，（x）在［工，工］为增函数，在［二土，且L］为减函数，在［旺，兀］

63366

为增函数,

而

/兀、/兀、1/兀、兀tCG/5兀、3兀

f(-(­T-)+1=-1,f(―)=2sin-^-+l=3,f(―r—)=2sin—7—+1=-1

bNS/bZ

f（兀）=2sin』^+l=0，

0

根据图象可知，

当-2<a<-1时，方程无解，

当-l<aWO时，方程有3个根，

当”=-1或0<“<1时，方程有2个根.

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用函数的

单调性以及函数与方程之间的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题.

21.（12分）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、挤压、发泡等工艺制成的一种新型的包装

材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，

若本季度在原材料上多投入x（l<x<10）万元，珍珠棉的销售量可增加吨，“增

Px+1

产部分每吨的售价为(3')万元，另外生产/，吨珍珠棉还需要投入其他成本昱万元.

p2

(1)写出该公司本季度增加的利润y万元与x之间的函数关系；

(2)当x为多少万元时，公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【分析】(1)根据题中等量关系，列出函数解析式.

(2)对函数进行变形，再结合基本不等式，即可求解.

【解答】解：(1)y=p(3/)x<10)

p2x+1

(2)y=2^-x-8=18-[-^T-+(X+1)],

x+1x+1

Vl<x<10,

.,.2<x+l<ll,

备+(x+1)>2^-^--(x+1?=10'

当且仅当旦=x+「即x=4时等号成立，

x+1

yWl8-10=8,

故当x=4万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元.

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题.

22.(12分)已知函数f(x)上交,

2X+1

(1)求f(-2)4/(2)的值；

(2)求函数/(x)的值域；

(3)若g(x)=(f(x))2l———+2a，且对任意的xi,X26R,都有|g(xi)-g(x2)

2X+1

|<3,求实数4的取值范围.

【考点】不等式恒成立的问题.

【分析】(1)代入x=2,x=-2,计算可得所求和；

(2)由指数函数的值域和不等式的性质，可得所求值域；

(3)运用换元法，令于(%)=6则g(x)=h(f)=F-2atfrG(-1,1),讨论对称

轴与区间的关系，结合二次函数的单调性可得最值，解不等式可得所求范围.

［解答］解：。)f(-2)+f(2)=+：2+,24

22、

2'+12+11+14+155

4

().、「(2乂+1)+2_21

⑵2fix)=----;-----—-L

2X+12X+1

因为2、>0,所以2*+1>1,

0<—<2>即-1<二一-1<1-

2X+12X+1

所以函数f(x)的值域为(-1,1)；

(3)

g(x)=(f(x))2一察一i-2a=(f(x))2-2a(―^—-1)=(f(x))2-2af(x>

2X+12X+1

令/(x)—t,则g(x)=h(f)=P-2at,re(-1,1),

函数h(t)的对称轴为f=a,

①当时，函数人⑺在(-1,1)上单调递减，所以|g(XI)-g(X2)\<h(-1)

-h(1)W3,

所以(l+2a)-(1-2a)W3,解得此时a的取值不存在；

②当aW-1时，函数//⑺在(-1,1)上单调递增，所以|g(xi)-g(^2)\<h(1)

-/z(-1)W3,

所以(l-2“)-(l+2a)W3,解得此时a的取值不存在；

③当-l<a〈l时，函数人(f)在(-1,a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，

所以|g(xi)-g(X2)\<h(-1)-h(〃)W3,且|g(xi)-g(%2)\<h(1)-h(a)

<3,

即1+2〃-(-/)忘3,且1-2a-(-a2)W3,

从而a的范围为1-^3-1-

综上，实数a的取值范围为

即a的取值范围是［1-V3-1］.

【点评】本题考查函数的单调性和求值，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和

运算能力、推理能力，属于中档题.

考点卡片

1.补集及其运算

【知识点的认识】

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,

通常记作U.（通常把给定的集合作为全集）.

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合4相对于全集

。的补集，简称为集合A的补集，记作CuA,^CvA={x\xeU,且正4}.其图形表示如图所

01A

U

示的Venn图.

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与

函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

2.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则4”为真时，可表示为pnq,称p为4的充分条件，q是p的必

要条件.事实上，与“p=q”等价的逆否命题是它的意义是：若q不成立，

则P一定不成立.这就是说，q对于p是必不可少的，所以说“是p的必要条件.例如：p-.

x>2；q：x>0.显然x€p,则xCq.等价于xCq,则'即一定成立.

2、充要条件：如果既有“pnq”,又有“qnp”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条

件q是p成立的充要条件，记作“poq”.p与4互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必

要条件，缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，

必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若poq为假命题且q0P为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q0P为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q