2020-2021学年宁夏吴忠中学高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年宁夏吴忠中学高一(下)期末数学试卷

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分).

1.已知集合4={尤[-3<x<3},集合8={小2-3尤-4N0},则()

A.(-3,1]B.[-2,3)C.(-3,-2]D.(-3,-1]

2.设4(1,1,-2),B(3,2,8)C(0,1,0),C关于面xOz对称的点为，则

线段AB的中点P到点。的距离为()

77「53

A.~2cT

3.已知根，〃是空间中两条不同的直线,a,0为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题

正确的是()

A.若机ua,则机_L0B.若机ua,HU0,则机

C.若m±p,则用〃aD.若aCB=m，n.Lm,贝〃_La

jr

4.已知角a终边过点(3,1),则tan(a+~%-)=()

A.2B.-2C.1D.当

5.以点(3,-1)为圆心，且与直线x-3y+4=0相切的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+1)2=20B.(x-3)2+(y+1)2=10

C.(尤+3)2+(y-1)2=10D.(x+3)2+(y-1)2=20

6.已知函数fGAsire+cos^，则下列说法正确的是()

A.f(x)的最大值为2

B.f(X)的最小正周期为71

C./(%)的图象关于直线x号兀对称

D./(x)为奇函数

7.已知非零向量之，芯满足，=2甫，且则之与E的夹角为()

8.已知圆(尤-1)2+(y+2)2=1上一点P到直线3x-4j-3=0的距离为d,则d的最小

值与最大值的差为()

34

A.mB.段C.1D.-2

55

9.已知sin(ir+a)+3cos(-a)=0,贝!Jsin2a=()

10.点尸(4,-2)与圆N+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()

A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1

11.直线y=kx+2与圆x2+y2+2x=0只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为()

A.号,1]B.号,1)C.号,+8)D.(-8,1)

12•点M是三角形A8C所在平面上一点，且满足(血+j而-2前)-(证-而)=0，则三角

形ABC的形状一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知向量a=(m,2m-1),b=(1>-2)，若a#b,则14a+2b|=-

14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

®AB±EF；

②A3与CM所成的角为60°；

③E尸与MN是异面直线；

@MN//CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

Z?

15.已知圆A：x2+y2-2ax=0(a>0)被直线尤+y-2=0截得的线段长为如，则圆A与圆

B：x2+y2+4.r+4_y-5=0的位置关系是.

16.三棱柱ABC-A向C1的侧棱垂直于底面，且AC=J§，BC=1,AB=AA[=2,若该三棱

柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

三、解答题(本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(1)直线I经过两直线h：3x+4y-2=0和/2：2x+y+2=0的交点，且直线/与直线3x+y

-1=0垂直，求直线/的方程;

(2)已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O：N+y2=l相切，求圆C的方程.

18.如图，四棱锥尸-4BC。中，底面ABC。为菱形，PAL平面ABC。，E为的中点.

(1)求证：尸8〃平面AEC；

(2)求证：平面PAC_L平面尸瓦)；

(3)当尸A=A8=2,■时，求三棱锥C-的体积.

O

19.已知向量a=(sinx,,b=(cosx,-1).

4

(1)若Z//E时，求cos2x-sin2x的值；

⑵若^-)，求sin(2x+^-)的值.

20.如图，矩形A3CD所在平面与半圆弧庙所在平面垂直，M是加上异于C,。的点.

(1)证明：平面平面5MC；

(2)在线段AM上是否存在点P,使得〃平面PBD?说明理由.

21.已知函数/(%)=2^/^sinxcosx+2cos2%-1(xGR).

TT

(I)求函数/(%)的最小正周期及在区间［0,彳］上的最大值和最小值；

(II)若/(xo)=§,工。曰口-,Y-］，求cos2xo的值.

542

22.在平面直角坐标系xoy中，直线/i：y=2x-4,h：y=x-1,设圆。的半径为1,圆心

在/l上.

(I)若圆心C也在直线/2上，

①求圆c的方程；

②过点A(2,0)作圆C的切线，求切线的方程；

（II）若圆在直线/2截得的弦长为衣，求圆C的方程.

参考答案

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分).

1.已知集合A={%|-3VxV3},集合3={x|N-3x-420},则APl3=()

A.(-3,1]B.[-2,3)C.(-3,-2]D.(-3,-1]

解：•・•集合A={R-3VxV3},

集合B={x|x2-3x-420}={小W-1或％24},

.•・AG5={x|-3VxW-1}=(-3,-1].

故选：D.

2.设A(l,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),C关于面xOz对称的点为O,则

线段A5的中点尸到点。的距离为()

解：C(0,1,0)关于MZ对称的点的坐标为E(0,-1,0),

3

由于A(1,1,-2),B(3,2,8),所以中点尸(2,y,3),

所以呼|=’22+(合+1)2+32=年,

故选：D.

3.已知根，〃是空间中两条不同的直线，a,0为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题

正确的是()

A.若mua,则用_L0B.若根ua,nep,则根_L〃

C.若mUa,m±p,则用〃aD.若aG0=m，n_Lmf则〃_La

解：不妨设aG0=/,

对于A,若mua且加〃/,则小〃0,故A错误；

对于5,若相，〃与/相交且不垂直，交点分别为M,N,显然小与〃不一定垂直，故5

错误；

对于C,若机_L0,则机ua或机〃a,又机Ua,故相〃a,故C正确；

对于O,由面面垂直的性质可知当〃U0时才有〃_La,故。错误.

故选：C.

4.已知角a终边过点(3,1),则tan(a+4)=()

A.2B.-2C.1D.

解：角a终边过点(3,1),所以tana=H=1,

x3

K1

冗tanCl+tarr^--+1

所以tan(a-H—)=-------------=------=2.

1-tanCLtan-^-l-^-X1

故选：A.

5.以点(3,-1)为圆心，且与直线x-3y+4=0相切的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+1)2=20B.(x-3)2+(y+1)2=10

C.(x+3)2+(y-1)2=10D.(x+3)2+(y-1)2=20

13-3X(-1)+4],—

解：r=&所求圆的方程为(％-3)2+(y+1)2=10.

故选：B.

6.已知函数f(x)=sin*+cos■会则下列说法正确的是()

A.f(x)的最大值为2

B.f(X)的最小正周期为IT

C./(x)的图象关于直线冗对称

D./(x)为奇函数

解：,**f(x)=sin-|-+cos-^-=V2sin(1十^-)，

・•・/(%)的最小正周期为4m最大值为故A,B错误;

当％=小T时，f(x)=&sin(-^+―)=-&,是最值，故/(%)的图象关于直线

x="|■兀对称，故。正确；

Y-JLv")L

/(-无)=6sin(-—+—)=-J^sin(―--—)W-/(无)，故/(无)不是奇函数，

2424

故。错误.

故选：C.

7.已知非零向量之，芯满足日|=2甫，且。-三)-Lb-则之与E的夹角为()

2兀5兀

解：丁(a-b，-Lb，

・尸—、一*一——2

•,(a-b)-b=a・b-b

=|af|bfcos<a.b>-b2=0,

,,cos<Ca,b>-J?!=f~

|a[|b|

2同之2，

..Y,b>eco,兀],

故选：B.

8.已知圆(x-1)2+(y+2)2=1上一点p到直线3x-4y-3=0的距离为小则d的最小

值与最大值的差为()

34

A.言B.-pC.1D.-2

55

解：圆(x-1)2+(>2)2=1的圆心坐标为(1,-2),半径为1,

|3+8-318

圆心到直线3x-4y-3=0的距离为"7不万二百>1，

q

・••圆(X-1)2+(y+2)2=1上一点尸到直线3x-4y-3=0的距离d的最小值为三，最

5

大值为

b

则d的最小值与最大值的差为■1T=-2.

DD

故选：D.

9.已知sin(ir+a)+3cos(-a)=0,则sin2a=()

「「

AA.—3BD.—3C.--3-D.—3

45102

解：因为sin(n+a)+3cos(-a)=0,

所以-sina+3cosa=0,可得sina=3cosa,即tana=3,

12sinac0sa2tana2X33

贝!Jsin2a=99-9-o~—~.

sina+c0sa1+tana1+35

故选：B.

10.点尸(4,-2)与圆N+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=1B.(X-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1

解：设圆上任意一点为(尤i,%),中点为(尤，y),

'Xj+4

x|=2x-4

<代入N+y2=4得(2尤-4)2+(2y+2)』4,化简得(%-2)2+(j+1)2=1.

y「2y+2

故选：A.

11.直线＞=日+2与圆尤2+y2+2x=0只在第二象限有公共点，则实数上的取值范围为（）

A.1]B.1）C.+8）D.（-8,1）

解：•••直线y=kx+2与圆x2+y2+2x=0只在第二象限有公共点

故选：B.

12.点M是三角形A8C所在平面上一点，且满足（血+诬-2元）•（疝-而）=0，贝后角

形A8C的形状一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

解：因为（MA+MB-2MC），（MA-MB）=0，

整理得<MA-K+MB-MC)*<MA-MB)=。，

则(CA+CB)><CA-CB)=0,

WJlCAl=ICBl-

故△ABC为等腰三角形.

故选：A.

二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知向量a=(以，2m-1),b=(1>-2)，若aRb，则|4a+2b尸—3,\/5.

解：：a//b)

-2m-(2机-1)=0,解得？w==，

4a+2b=(l,-2)+(2,-4)=(3,-6)，

14a+2b|=79+36=3A/5-

故答案为：3A/5.

14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

®AB±EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③所与MN是异面直线；

®MN//CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是①③.

/

E

解：把正方体的平面展开图还原成原来的正

方体如图所示，则跖与MN为异面

直线，AB//CM,MNA.CD,只有①③正确.

故答案为①③

c

15.已知圆A：x2+y2-2ax—0（a>0）被直线x+y-2=0截得的线段长为J，，则圆A与圆

B：x2+y2+4.¥+4y-5=0的位置关系是相交.

解：由圆A：x2+y2-2ax—0,得（x-a）2+y2—a2（a>0）,

圆心坐标为（a,0）,半径为a,

圆心到直线x+y-2=0的距离d=la掂-2I，

,圆A：x^+y1-2ax—0（a>0）被直线x+y-2=0截得的线段长为我，

2a

V2=2Ja-^~1—，解得。=-5（舍去）或a=l.

则圆A的圆心坐标为（1,0）,半径为1,

而圆8：炉+产田+郁-5=0为（尤+2）2+（y+2）』13,

圆心为（-2,-2）,半径为丁百，

|AB|=7（-2-l）2+（-2）2=V13'且-1<IAB|<V13+1，

.,.圆A与圆8：N+y2+4x+4y-5=0的位置关系是相交.

故答案为：相交.

16.三棱柱A8C-A向Ci的侧棱垂直于底面，且AC=J§，BC=1,AB=AA]=2,若该三棱

柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为8n.

解：因为AC=AC=百，BC=1,AB=AA[=2,可得底面△ABC为直角三角形，

再由侧棱垂直于底面，可此直三棱柱放在长方体中，

由题意可得过同一顶点的三条棱长分别为：1,弧,2,

设外接球的半径为R,则（27?）2=12+（M）2+22=8,即4R2=8,

所以外接球的表面积S=4-n:7?2=8TT,

故答案为：81T.

三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(1)直线/经过两直线h：3x+4y-2=0和/2：2x+y+2=0的交点，且直线/与直线3x+y

-1=0垂直，求直线/的方程;

(2)已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆。：/+、2=1相切，求圆C的方程.

3x+4y-2=0

解:(1)联立，解得交点为(-2,2),

2x+y+2=0

又直线/与直线3尤+y-1=0垂直，直线/的斜率为卷,

O

则直线/的方程为y-2=；(x+2),即％-3y+8=0；

O

(2)圆x2+y2=l的圆心坐标为。(0,0),|OC|=^42+(-3)2=5-

若两圆内切，则圆C的半径为5-1=4,则圆C的方程为(尤-4)2+。+3)占16；

若两圆外切，则圆C的半径为5+1=6,则圆的方程为(x-4)2+(>3)占36.

，圆C的方程为(%-4)2+(y+3)』16或(x-4)2+(y+3)2=36.

18.如图，四棱锥尸-ABC。中，底面428为菱形，PAL平面ABC。，E为尸。的中点.

(1)求证：尸8〃平面AEC；

(2)求证：平面PAC_L平面PBD-,

(3)当PA=AB=2,-时，求三棱锥C-尸2。的体积.

O

【解答】(1)证明：如图，设AC与8。的交点为O,连接。E,

为的中点，J.OE//PB,

平面AEC,PBC平面AEC,

.•.尸3〃平面AEC；

(2)证明：平面ABC。，：.PA±BD,

:底面ABC。为菱形，：.BD±AC,

又PAClAC=A,，台。，平面PAC,

而BOu平面PBD,：.平面PAC_L平面PBD；

(3)解：为AC的中点，

Vc-PBD—VA-PBD，

兀

VPA=AB=2,ZABC=—,

•*VA-PBD=Vp-ABD《X^X2X2Xsinl20°

三棱锥C-PBD的体积为2/3.

3

19.已知向量a=（sinx,§）,b=（cosx,-1）.

4

（1）若;iiE时,求cos2x-sin2x的值;

（2）若x€（^-，^-），求sin（2x"^"）的值.

解：（1）由向量a=（sinx,—）,b=（cosx,-1）,且&"b得：_sinx=­cosx

①，

^-sinxcosx=vcos2x=>sin2x=-"-cos2x-

42

再将①式代入sin2x+cos2x=1得：coJ乂="^.

2b

痂-o525168

故cos'2%-sin2x=—cosxJX--=>—.

22255

——37

⑵f（x）=a*b=sinxcosx^-=

94

所以sinxccisx），BPsin2x=­•

bb

因为xCC-，等），所以2x€（今，冗），所以cos2x=4}si门22x=[■•

4N/D

JU7T71

所以sin（2x+—^）—sin2xcos--+COS2A:Siii,

444

—Mv4&v3_V2

-TXT~X?"w-

20.如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧而所在平面垂直，M是加上异于C,。的点.

(1)证明：平面AAW_L平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点尸，使得MC〃平面尸3。？说明理由.

A/

【解答】（1）证明：矩形ABC。所在平面与半圆弦而所在平面垂直，

所以4。_1半圆弦而所在平面，CMu半圆弦面所在平面，

：.CM±AD,

M是15上异于C，。的点.J.CMLDM,DMDAD^D,

，CAf_L平面AM。，CA/u平面CMS

平面平面BMC；

（2）解：存在2是4加的中点，

理由：连接2D、AC交于0,取AM的中点P,连接0P,连接尸。，PB,

可得MC〃OP,MCC平面BZJP,OPu平面BOP,

所以MC〃平面PBD.

4-----B

21.已知函数无)=2J^sinxcosx+2cos2尤-1(x£R).

（I）求函数/（无）的最小正周期及在区间［0,彳］上的最大值和最小值;

(II)若/(迎)=§,xoG[—7~,m-]，求cos2xo的值.

542

解：(1)由/(x)=2-^3sinxcosx+2cos2x-1,得

f(x)=1/3(2sinxcosx)+(2cos2x-I)=J^sin2x+cos2x=2sin(

所以函数/（尤）的最小正周期为TT.

因为/（x）=2sin（2r+3）在区间［0，3-］上为增函数，在区间［］-,二］上为减函数,

6662

又/（0）=1,/（3）=2,/（3）=-1，所以函数/（无）在区间［0,3