《初中数学知识点》

第一章有理数

1.1正数和负数

像-3,-2.7%,-4.5,-1.2这样在正数前加上符号“一”(负)的数叫做负数。有时，为了明

确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号。一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号。

0既不是正数，也不是负数。

1.2有理数

1.2.1有理数

正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

整数和分数统称为有理数。

1.2.2数轴

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

三要素：方向；原点；单位长度。

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0.

1.2.4绝对值

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作同

O

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是。.即

⑴如果a>0,那么同=a；

(2)如果a=0,那么同=0；

(3)如果aV0,那么同=-a。

一般地，(1)正数大于0,。大于负数，正数大于负数；

(2)两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

3.一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a+b=b+a.

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

1.3.2有理数的减法

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即a-b=a+(-b).

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与o相乘，都得0.

乘积是1的两个数互为倒数。

有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

乘法交换律：ab=ba.

有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

乘法结合律：(ab)c=a(be)

有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

2

分酉己律：a(b+c)=ab+ac

1.4.2有理数的除法

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a+b=a

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.

注意：因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合

运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做累。

在/中，a叫做底数，n叫做指数，当/看作a的n次方的结果时，也可读作“。的n次塞”

负数的奇次嘉是负数，负数的偶次幕是正数。

正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次募都是0.

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

1.5.2科学记数法

把一个大于10的数表示成axlO"的形式（其中a大于或等于1且小于10,n是正整数），

使用的是科学记数法。

1.5.3近似数

3

第二章整式的加减

2.1整式

都是由数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。

2.2整式的加减

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

去括号时的规律：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

整式加减的运算法则：

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

第三章一元一次方程

3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

方程：含有未知数的等式。

一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样

4

的方程叫做一元一次方程。

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

3.1.2等式的性质

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b,那么a±c=b±c.

等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b,那么ac=bc；

如果a=b（c/0）,那么

cc

3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母

归纳：解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

等。通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据

等式的基本性质和运算律等。

3.4实际问题与一元一次方程

归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程包括设、歹！J、解、检、答等步骤，即设未知

数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基

础。

5

第四章几何图形初步

4.1几何图形

4.1.1立体图形与平面图形

4.L2点、线、面、体

4.2直线、射线、线段

基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单说成：两点确定一条直线。

当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。

尺规作图：无刻度的直尺和圆规作图。

基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

4.3角

4.3.1角

角的度、分、秒是60进制的。

4.3.2角的比较和运算

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

4.3.3余角和补角

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的

6

余角。

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的

补角。

性质：同角（等角）的补角相等。同角（等角）的余角相等。

第五章相交线与平行线

5.1相交线

5.1.1相交线

/I和/2有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线（/I和/2互补），具有这种关系

的两个角，互为邻补角。

Z1和/3有一个公共顶点，并且/I的两边分别是/3的两边的反向延长线，具有这种位置

关系的两个角，互为对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

5.1.2垂线

两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

/I和/5分别在直线AB,CD的同一方（上方），并且都在直线

EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角。

/3和/5都在直线AB,CD之间，并且分别在直线EF两侧

（/3在直线EF左侧，N5在直线EF右侧），具有这种位置

关系的一对角叫做内错角。

7

Z3和N6也都在直线AB,CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），

具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。

5.2平行线及其判定

5.2.1平行线

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

5.2.2平行线的判定

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等，两直线平行。

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

5.3平行线的性质

5.3.1平行线的性质

性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

532命题、定理、证明

命题由题设和结论两部分组成。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

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如果题设成立，并不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

5.4平移

第六章实数

6.1平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即必=4,那么这个正数X叫做a的算术平方根。

A的算术平方根记为血，读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定：0的算术平方根是0.

一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方跟或二次方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；

0的平方根是0；

负数没有平方根。

6.2立方根

一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

类似于平方根，一个数a的平方根，用符号“正”表示，读作“三次根号a"。其中a是被

开方数，3是根指数。

6.3实数

很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无线不循环小数又叫做无理数。五也是无理

数。

有理数和无理数统称实数。这样，我们学过的数可以这样分类：

9

正有理数

有理数0有限小数或无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

所有实数还可以按大小分类如下：

‘正实数

实数<0

.负实数

数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个实数。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a

表示一个实数，则

a,当a>0时；

|a|=<0,当a=0时；

-a,当a<0时。

第七章平面直角坐标系

7.1平面直角坐标系

7.1.1有序数对

我们把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）o

7.1.2平面直角坐标系

我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称

为X轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；

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两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

坐标平面被两条坐标轴分为四个部分，每个部分称为象限，由X轴和y轴的正半轴围成的是

第一象限，逆时针依次是第二象限、第三象限和第四象限。

7.2坐标方法的简单应用

7.2.1用坐标表示地理位置

7.2.2用坐标表示平移

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

二元一次方程：方程含有两个未知数（x和y）,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样

的方程叫做二元一次。

二元一次方程组：这个方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共

有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

8.2消元——解二元一次方程组

代入消元法:把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出

来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这中方法叫做代入

消元法，简称代入法。

加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方

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程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加

减消元法，简称加减法。

8.3实际问题与二元一次方程组

8.4三元一次方程组的解法

含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样的

方程组叫做三元一次方程组。

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二

元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

第九章不等式与不等式组

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用符号或“〉”表示大小关系的式子，叫做不等；用符号表示不等关系的式子

也是不等式。

与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的

过程叫做解不等式。

不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

如果a>b,那么a±c>b±c。

不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b,c>0,那么ac>bc（或—〉一）。

cc

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不等式性质3:不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

nh

如果a>b,c<0,那么acVbc（或—V—）。

cc

9.2一元一次不等式

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

9.3一元一次不等式组

类似于方程组，把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。

第十章数据的收集、整理与描述

10.1统计调查

考察全体对象的调查叫做全面调查。

抽样调查是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象

的情况。

全校学生是要考察的全体对象，称为总体，组成总体的每一学生称为个体，而被抽取调查的

那部分学生构成总体的一个样本。

10.2直方图

把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。

对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫做频数）。

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

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以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形。

三角形三边的关系（三边构成三角形的条件）：

1.三角形两边的和大于第三边。2.三角形两边的差小于第三边。

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

三角形的高：从4ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段

AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的中线：连接4ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做AABC

的边BC上的中线。

三角形的角平分线：画/A的平分线AD,交NA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做

△ABC的角平分线。

三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

三角形的垂心：三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。

三角形的内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

11.1.3三角形的稳定性

三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

直角三角形两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

11.2.2三角形的外角

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

11.3多边形及其内角和

J4

11.3.1多边形

定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11.3.2多边形的内角和

多边形内角和公式：n边形内角和等于（n-2）X180°。

多边形的外角和等于360°。

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合角

叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

12.2三角形全等的判定

三角形全等的判定：

L三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。

2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）

4.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

直角三角形全等的判定：

斜边和一个直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）

12.3角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（可以用来判断点在角平分线上或判

J5

断是不是角平分线）

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.1轴对称

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称

图形，这条直线就是它的对称轴。

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于

这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线

段的垂直平分线。

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

13.2画轴对称图形

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

等腰三角形的性质：性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合

一”）

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成

“等角对等边”）

13.3.2等边三角形

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等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

三个角相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

134课题学习最短路径问题

依据：两点的所有连线中，线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段

最短。

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数塞的乘法

mnm+n

a.a=a（m,n都是正整数）即同底数惠相乘，底数不变，指数相加。

14.1.2塞的乘方

/zn\n_mn

9）（m,n都是正整数）即幕的乘法，底数不变，指数相乘。

14.1.3积的乘方

（aby=a"b"（n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕

相乘。

14.1.4整式的乘法

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数塞分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字

母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相

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加。

vn,riffi—n

aR=a(a^0,m,n都是正整数，并且m>n)即同底数幕相除，底数不变，指数

相减。

。°=1(aWO)这就是说，任何不等于0的数的0次幕都等于1.

单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则

连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先把每个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

2

(a+b)(a-b)=a-^；也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方

差。这个公式叫做(乘法的)平方差公式。

14.2.2完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b\(a-b)2=a2-2^+^2.也就是说，两个数的和(或差)的平方,

等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。这两个公式叫做(乘法的)完全平方

公式。

a+b+c=a+(b+c)a-b-c-a-(b+c).

,»

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括

到括号里的各项都改变符号。

14.3因式分解

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，

也叫做把这个多项式分解因式。

1431提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因

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式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

14.3.2公式法

/—〃=S+功值一切即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

a2+2ab+b2a2-2^+Z？2=（a-b）2,即两个数的平方和加上（或减去）这

两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平分。

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来某些具有特殊

形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

第十五章分式

15.1分式

15.1.1从分数到分式

AA

一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子万八T八T下山

A,BBb叫做分式。分式b中，

A叫做分子，B叫做分母。

15.1.2分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于o的整式，分式的值不变。

A_A>CAA^C

上述性质可以用式子表示为3B・C,BB+C（CNO）,其中A,B,C是整式。

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。经过约分后的分式，其分子与分

母没有公因式，叫做最简公式。

把几个分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除

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乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

,这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。

15.2.2分式的加减

分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

15.2.3整数指数幕

正整数指数幕运算性质：

(1)a"'・a"=a"'+"(m,n是正整数).

(2)5"=amn(m,n是正整数).

(3)(ab)"=a"b"(n是正整数).

(4)a』”=(aW0,m,n是正整数,m>n).

(5)T)"=《(n是正整数)

bb.

一般地，当n是正整数时，

a—"=V(a#0)、,”(awO)是俄的倒数。

。O这就是说，

15.3分式方程

定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为o,则整式方程的解是原

分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

第十六章二次根式

20

16.1二次根式

一般地，我们把形如、的式子叫做二次根式‘称为二次根号。

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起

来的式子，我们称这样的式子为代数式。

16.2二次根式的乘除

一般地，二次根式的乘法法则是：Va-Vb=Vab（a^O,b20）.

卓=RaNO,b>0）.

一般地，二次根式的除法法则时：JbVb

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

16.3二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行

合并。

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么相+4=。2.

17.2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c?.,那么这个三角形是直

角三角形。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另

一个叫做它的逆命题。

21

第十八章平行四边形

18.1平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

18.1.1平行四边形的性质

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对角线互相平分。

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一点直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

18.1.2平行四边形的判定

平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等。

直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

22

18.2.2菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边相等的四边形是菱形。

18.2.3正方形

正方形，它的四条边都相等，四个角都是直角。因此正方形既是矩形，又是菱形。它既有矩

形的性质，又有菱形的性质。

第十九章一次函数

19.1函数

19.L1变量与函数

我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与y,并且对于x的每一个确定的值，y都

有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当*=2时丫=>

那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，时描述函数的常用方法，这种式子

叫做函数的解析式。

19.1.2函数的图象

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数值的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那

么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

归纳：描点法画函数图象的一般步骤如下：

第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；

23

第二步，描点一在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出

表格中数值对应的各点；

第三步，连线一按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。

表示函数的三种方法：解析式法、列表法和图想法。

19.2一次函数

19.2.1正比例函数

一般地，形如y=h（k是常数'kHO）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

一般地，正比例函数丫=入（k是常数'kHO）的图象是一条经过原点的直线，我们称它

为直线y=kx。当k>°时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x

的增大y也增大；当k<°时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x

的增大y反而减小。

19.2.2一次函数

一般地，形如ynh+b（k，b是常数'k*°）的函数，叫做一次函数。当b=0时，

y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数时一种特殊的一次函数。

一次函数丫=卜*+1?（k*0）的图象可以由直线y=kx平移|兄个单位长度得到

（当b>0时，向上平移；当bVO时，向下平移）。一次函数y=kx+b（k/0）的图

象也是一条直线，我们称它为直线丫=卜*+1\

一次函数的图象性质：

当k>0时，y随x的增大而增大；

当k<0时，y随x的增大而减小.

由于一次函数丫=kx+b中有卜和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件

列二元一次方程组（以k和b为未知数）。解方程组后就能具体写出一次函数的解析式。

24

1923一次函数与方程、不等式

一般地，因为每个含有未知数X和y的二元一次方程，都可以改写为

y=kx+b（k,b是常数'的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于

是也对应一条直线。这条直线上每个点的坐标（x,y）都是这个二元一次方程的解。

由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两

个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量

为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值时多少；从“形”的角度看，解这样的方

程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标。因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到

方程组的解。

第二十章数据的分析

20.1数据的集中趋势

20.1.1平均数

在求n个数的平均数时，如果西出现/次，“2出现人次……"出现4次

（这里力+力+…+。=〃），那么这n个数的平均数：n.

也叫做和斗’…，演这k个数的加权平均数，其中左力，…，。分别叫做为％2，“”演的权。

20.1.2中位数和众数

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间

位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组

数据的中位数。

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

20.2数据的波动程度

方差：衡量数据波动的大小，记作

25

1=：[区一天）2+仪2一天产+…+（x“一天）2]

方差公式:

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元

二次方程。一元二次方程的一般形式是：

ax?+bx+c=0（a。0）.其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系

数；c是常数项。

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一

元二次方程的根。

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了将次,

把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

21.2.2公式法

一般地，式子b?—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a。0）.根的判别式，通常用希腊

字母“△”表示它，即4=62—4ac.

归纳：当A＞。时，方程ax2+bx+c=0（a。0）.有两个不等的实数根；当△=（）时，方程

ax2+bx+c=0（a。0）.有两个相等的实数根；当△＜（）时,方程ax?+bx+c=0（a。0）.无

实数根。

当△20时，方程取2+bx+c=0（a00）.的实数根可写成

26

2

x=-b±Vb-4ac的形式，这个式子叫做一元二次方程瞅2+bx+c=0的求根公式。

2a

解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出

根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

21.2.3因式分解法

使方程化为两个一次式的乘积等于o的形式，再使这两个一次式分别等于o,从而实现降次。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式

解方程；因式分解要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因

式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解再解某些一元二次方程时比较

简便。总之，解一元二次方程的基本思想是：将二次方程化为一次方程，降次。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比

的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。

hc

即％+/=，再入2=—.（韦达定理）

aa

21.3实际问题与一元二次方程

第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质

22.L1二次函数

一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a。。）的函数，叫做二次函数。其中，x是自

变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

22.1.2二次函数＞=加的图象和性质

27

归纳：抛物线y=的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶

点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物

线y=a%2,向越大，抛物线的开口越小。

从二次函数丁=以2的图象可以看出：如果a>0,当x<0时，，y随着x的增大而减小，当

x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0,当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，

y随x的增大而减小。

22.1.3二次函数丁=。（》一立）2+%的图象和性质

把抛物线丁=2/向上平移1个单位长度，就得到抛物线丁=2/+1；把抛物线丁=2必向

下平移1个单位长度，就得到抛物线丁=2d-1。

如州力物/y=—/y=—（%+1）2

忙地切决2向左平移1个单位长度，就得到抛物线.2.把抛物线

y=--X2y=（x-1）2

2向右平移1个单位长度，就得到抛物线.2。

总结：上加下减，左加右减。

归纳一般地，抛物线y=g一4+左与尸加形状相同，位置不同。把抛物线>=加

向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线丁=°（工一»2+（平移的方向、距离要根据h,

k的值来决定。

抛物线y=a（x—+上有如下特点：

（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

（2）对称轴是x=h。

（3）顶点是（h,k）o

从二次函数丁=。（*一〃）2+%的图象可以看出：如果a>0,当x<h时，y随x的增大而减

小，当x>h时，y随x的增大而增大；如果a<0,当x<h时，y随x的增大而增大，当

x>h时，y随x的增大而减小。

28

22.1.4二次函数丁=4+云+。的图象和性质

一般地，二次函数丁=62+桁+0可以通过配方化成丁="5一力）2+k的形式，即

2

/b.2^ac-b

户心+五）+FT

2

2bb4ac-b

因此，抛物线yefx+c的对称轴是-一豆顶点是（一天，^）

从二次函数安小+法+'的图象可以看出:

x<__b_x>__L

如果a>0,当2。时，y随X的增大而减小，当2。时，y随X的增大而增大;

x<-Ax>-±

如果a<0,当2a时，y随X的增大而增大，当2a时，y随x的增大而减小。

归纳：求二次函数的解析式,以+bx+C,需求出a,b,c的值。

由已知条件（如二次函数图象三个点的坐标）列出关于a,b,c的方程组，求出a,b,c的

值，就可以写出二次函数的解析式。

22.2二次函数与一元二次方程

归纳：一般地，从二次函数>+0的图象可得如下结论。

（1）如果抛物线y="/+以+。与x轴有公共点，公共点的横坐标是％,那么当x=x<）时,

函数值是0,因此尤="。是方程依2+法+C=0的一个根。

（2）二次函数丁=。£+法+。的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共

点，有两个公共点。这对应着一元二次方程以2+Zzx+c=0的根的三种情况：没有实数根,

有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

22.3实际问题与二次函数

一般地，当a>0（a<0）时，抛物线丁=狈2+陵+。的顶点是最低（高）点，也就是说，

29

b