2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1一10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

1.（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<4B.x>4C.x>4D.x20

2.（3分）如图，在。ABC。中，ZC=70°,于点E,则NADE的度数为（）

.4,________________D

Bc

A.30°B.25°C.20°D.15°

3.（3分）下列各式中是最简二次根式的是（）

A.娓B.V8C.旧D.

4.（3分）下列线段a,b,c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A.a—\,b=2,c—2B.a—2,b—3,c—4

C.a—3,b=4,c—6D.a—1,b—1,c—y[2

5.（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：

成绩/m1.551.601.651.701.751.80

人数143462

这些运动员成绩的众数是（）

A.1.65B.1.70C.1.75D.1.80

6.（3分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=4,。是AB边的中点，则

CD的长为（）

D.717

7.（3分）下列命题中，正确的是（）

A.有一组对边相等的四边形是平行四边形

B.有两个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

8.（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目.下表是某班30名学生报

名项目个数的统计表：

报名项目个数0123

人数514ab

其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕.无论这个班报名2个项目和3

个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（）

A.中位数，众数B.平均数，方差

C.平均数，众数D.众数，方差

9.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OA8C的顶点A的坐标为（0,2）,顶点

B,C在第一象限，且点C的纵坐标为I,则点8的坐标为（）

A.(2,3)B.(3,3)C.(«,2b)D.(«,3)

2

10.（3分）如图1,四边形ABCQ是平行四边形，连接BQ,动点尸从点A出发沿折线AB

-BO-QA匀速运动，回到点A后停止.设点户运动的路程为x,线段4尸的长为y,图

2是y与x的函数关系的大致图象，贝gABC。的面积为（）

A.2475B.IOVTI

二、填空题（本题共21分，第11〜15题每小题3分，第16〜18题每小题3分）

11.（3分）计算：（•?）2=.

12.（3分）已知正方形ABCD的对角线AC的长为3双,则正方形ABCD的边长为.

13.（3分）如图，在nABCD中，对角线AC、8。相交于点。，点E是AB的中点，0E=5cm,

则AD的长是cm.

14.（3分）已知n是正整数,且＞/百三也是正整数,写出一个满足条件的〃的值:〃=.

15.（3分）如图，在矩形A8CQ中，点E在边AO上，EF平分乙4EC交8c于点尸.若A。

=7,AE=CD=3,则BF的长为.

16.（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正

方形.若正方形ABC。的面积为10,AH=3,则正方形的面积为.

18.（2分）如图，点C在线段AB上，4c是等边三角形，四边形CCEf"是正方形.

（1）ZDAE=°；

（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB,PC.若AC=2,BC=3,贝IPB+PC的最

小值为.

ACB

三、解答题（本题共49分，第19〜25题每小题6分，第26题7分）

19.（6分）计算：

（1）3亚X近；

②0WI方而

20.（6分）如图，在。A8CD中，点E,尸分别在边AB,C£＞上，BE=DF,EF与对角线4c

21.（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.（1丈=10尺）

大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它

高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水

的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽A8=10

尺，线段CD,CB表示芦苇，CDLAB于点E.

（1）图中。E=尺，EB=尺；

（2）求水的深度与这根芦苇的长度.

22.（6分）在Rt/XABC中，ZACB=90°，点。是边AB上的一个动点，连接CD作4E

//DC,CE//AB,连接ED.

(1)如图1,当CD_LAB时，求证：AC=ED-,

(2)如图2,当。是AB的中点时，

①四边形ADCE的形状是；(填“矩形”、“菱形”或“正方形”)

②若AB=10,ED=8,则四边形AOCE的面积为.

23.(6分)对于函数y=|x-1|,小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，

请补充完整：

(1)①对于函数y=|x-1|,当xWl时，y=-JC+1；当x>l时，y=；

②当时、函数y=|x-1|的图象如图所示，请在图中补全函数y=|x-1|的图象；

(2)当y=3时，X—；

(3)若点A(-1,>,1)和B(%2,”)都在函数y=|x-1|的图象上，且”>yi,结合函

数图象，直接写出k的取值范围.

24.(6分)某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读

情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时

长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图(不完整)如图(两个年级的数

据都分成6组：0WxV2,2<xV4,4Wx<6,6Wx<8,8<x<10,10Wx<

12)

八年级学生一周阅读时长统计图

七年级学生一周阅读时长统计图

图1图2

b.八年级学生一周阅读时长在6Wx<8这一组的数据是：66666.56.5777

77.57.5.

c.七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表:

年级平均数中位数众数

七年级6.22577

八年级6.375m8

根据以上信息，回答下列问题：

(1)图1中0％=%；

(2)①补全八年级学生一周阅读时长统计图(图2)；

②上表中m的值为.

(3)将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读

时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是年级的学生;(填“七”

或“八”)

(4)估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数.

25.(6分)在平面直角坐标系xO)，中，点A在x轴的正半轴上，点8在第一象限，作射线

OB.给出如下定义：如果点P在/的内部过点P作尸M_LOA于点PNLOB于

点N,那么称与PN的长度之和为点P关于Z80A的“内距离”，记作“(P,NBOA),

即d(P,NBOA)=PM+PN.

(1)如图1,若点P(3,2)在N8OA的平分线上，则PM=,PN=,

d（尸，NBOA）-；

（2）如图2,若NBOA=75°，点C（a,a）（其中a>0）满足"（C,ABOA）=2+圾,

求a的值；

（3）若NBOA=60°，点。（w，〃）在NBO4的内部，用含血"的式子表示"（。，

ZBOA）,并直接写出结果.

图1图2

26.（7分）已知NMCW=90°,点A是射线ON上的一个定点，点8是射线0M上的一个

动点，且满足OB>OA.点C在线段04的延长线上，且AC=08.

（1）如图1,CD//OB,CD=OA,连接A。，BD；

①△408与4______全等，ZOBA+ZADC^°；

②若04=〃，OB=b,则B£）=；（用含a,6的式子表示）

（2）如图2,在线段80上截取BE,使BE=OA,连接CE.若N054+N0CE=B，当

点B在射线0M上运动时，0的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如

果变化，请说明理由.

27.(6分)在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关

系:

例如：由(扬1)(圾-1)=1,可得扬।与1互为倒数，即—=72-—

V2+1V2-1

=扬1.类似地，1f-=M-近,31-=心近；—4=2—J

V3+V2V3-V22+V32-V3

2+«;

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

(1)」厂=_________,,1,=_______；("为正整数)

V^)+\l5Vn+lWn

(2)若一A——=2近1-m,则，"=______；

2V2tm

(3)计算：/,+「］「+厂1厂+…I/1/=__

V2+1V3+V2V4N37100+799

五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)

28.(6分)如图，△ABC和△£>"都是等边三角形，ZACD=a(60°<a<120°)，点P,

Q,M分别是AZ),CD,CE的中点.

(1)求NPQM的度数；(用含a的式子表示)

(2)若点N是BC的中点，连接MW,NP,PM,求证：△PNM是等边三角形.

if)

29.(8分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M(xi,y]),NQxi,"),我们将|xi

-匐+2|yi-”|称为点"与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN.

例如：点M(-2,7)与N(5,6)的“纵2倍直角距离”曲加=卜2-5|+2|7-6|=9.

(1)①已知点Pi(1,1),P2(-4,0),尸3(0,3),则在这三个点中，与原点O的

2

“纵2倍直角距离”等于3的点是；

②已知点P(x,y),其中y^O.若点P与原点。的''纵2倍直角距离”办0=3,请在

下图中画出所有满足条件的点P组成的图形.

(2)若直线)，=2x+〃上恰好有两个点与原点。的“纵2倍直角距离”等于3,求〃的取

值范围；

(3)已知点A(1,1),8(3,1),点TG,0)是x轴上的一个动点，正方形CDEF的

顶点坐标分别为C(z-X0),D(n工)，E(r+1,0),F(n-1).若线段AB上

2222

存在点G,正方形CDEF上存在点、H,使得dGH=5,直接写出f的取值范围.

Vn

5-

4-

3-

2-

1.

IIIII_____I1111.

-5Y-3-2-1O12345x

-1一

-4

2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

L（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<4B.x24C.x>4D.x20

【解答】解：在实数范围内有意义，

贝Ijx-42O,

解得：x-4.

故选：B.

2.（3分）如图，在aABCD中，/C=70°,£>E_LAB于点E,则NAOE的度数为（)

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形,

.•.NC=/A=70°，

'：DELAB,

：.ZAED=90°,

：.ZADE=90°-NA=90°-70°=20°,

故选：C.

3.（3分）下列各式中是最简二次根式的是（）

A.V5B.V8C.11D.^2

【解答】解：小正是最简二次根式；

B、近=反方=2衣，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式;

C、后掾,被开方数含分母，不是最简二次根式；

D、J不=10,被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

故选：A.

4.（3分）下列线段a,b,c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A.a—\,b—2,c—2B.a—2,b—3,c—4

C.a—3,b—4,c—6D.a=\,b=1,

【解答】解：A,l2+22^22,故不能构成直角三角形，不符合题意；

B、22+32^42,故不能构成直角三角形，不符合题意；

C、32+42/62,故不能构成直角三角形，不符合题意；

D.12+12=（&）2,故能构成直角三角形，符合题意.

故选：D.

5.（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示:

成绩/团1.551.601.651.701.751.80

人数143462

这些运动员成绩的众数是（）

A.1.65B.1.70C.1.75D.1.80

【解答】解：这组数据中1.75米出现了6次，次数最多，故这组数据的众数是1.75.

故选：C.

6.（3分）如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=1,BC=4,力是AB边的中点，则

CQ的长为（）

A.AB.2C.D.J17

22

【解答】解：在△A8C中，ZACB=90°,AC=1,BC=4,

则由勾股定理知：AB=VAC2+BC2=V12+42=^,

又；。为AB的中点，

:.CD=1AB=^-.

22

故选：C.

7.（3分）下列命题中，正确的是（）

A.有一组对边相等的四边形是平行四边形

B.有两个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

【解答】解：4、有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，本选项

说法错误，不符合题意；

B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，本选项说法错误，不符合题

意；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法错误，不符合题意；

。、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法正确，符合题意；

故选：D.

8.（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目.下表是某班30名学生报

名项目个数的统计表：

报名项目个数0123

人数514ab

其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕.无论这个班报名2个项目和3

个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（）

A.中位数，众数B.平均数，方差

C.平均数，众数D.众数，方差

【解答】解：；共有30名学生报名这3个项目，

把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，

则不报的和报1个的就有19人了，

所以中位数不会发生改变，

因为报2个项目和3个项目的一共有11人，

而报1个项目的就有14人，

所以众数也不会发生改变.

故选：A.

9.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形0ABe的顶点A的坐标为（0,2）,顶点

B,C在第一象限，且点C的纵坐标为1,则点8的坐标为（)

A.(2,3)B.(2,3)C.(5/3,25/3)D.(«,3)

【解答】解：延长BC交x轴于H,

•.•菱形。48c的顶点A的坐标为（0,2）,

：.OA^OC=BC=2,AO//BC,

...NB〃O=/4OH=90°,

♦.♦点C的纵坐标为1,

CH=1,BH=3,

OH--CH2='4-1=V3>

，点6（“，3）,

故选：D.

10.（3分）如图I,四边形ABCD是平行四边形，连接8力，动点尸从点A出发沿折线48

~BZ5~ZM匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图

2是y与x的函数关系的大致图象，则QABCD的面积为（）

图1图2

A.2475B.loVTlC.125/5D.36

【解答】解：在图1中，作垂足为E,

在图2中，取M(6,6),N(12,10),

图1图2

当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得4B=x=6,

当点P从8到0时，对应图2中曲线MN从点M到点N,得AB+BD=x=12,解得8。

=6,

当点P到点。时，对应图2中到达点M得A£）=AP=y=8=10,

在△ABO中，AB=BD=6,AD=\0,BE1.AD,

解得AE=5,

在RtZXABE中，AB=6,AE=5,

BP+AP=AB2,

解得8E=J五，

。A8CD的面积=AOXBE=10XVT1=10VT1，

故选：B.

二、填空题（本题共21分，第11~15题每小题3分，第16〜18题每小题3分）

11.（3分）计算：（夜）2=7.

【解答】解：原式=7,

故答案为：7.

12.（3分）已知正方形ABC。的对角线AC的长为3&,则正方形A8CD的边长为3.

【解答】解：•••四边形4BCC是正方形，

：.AB=BC,NABC=90°,

.•.18=24#,

：.AB=3,

故答案为3.

13.（3分）如图，在QABCZ）中，对角线AC、8。相交于点。，点E是AB的中点，0E=5cw,

则AD的长是10cm.

AD

【解答】解：：四边形ABC。为平行四边形，

:.BO=DO,

•.•点E是AB的中点，

.,.OE为aAB。的中位线，

：.AD^2OE,

OE=5cm,

'.AD=10cm.

故答案为：10.

14.（3分）已知n是正整数，且5/返工也是正整数，写出一个满足条件的n的值：〃=2.

【解答】解：；〃是正整数，且近蒜也是正整数，

.•.18-〃是一个完全平方数，

\T8-心0,解得：“W18,

.•.0＜后18,

则18-〃=12,解得：”=17,

或18-a=22,解得：n=14,

或18-"=32,解得：”=9,

或18-”=42,解得：〃=2,

当18-"=5?时，解得：”=-7,不符合”的范围.

故答案为：2或9或14或17（只填一个即可）.

15.（3分）如图，在矩形A8CD中，点E在边A。上，EF平分NAEC交BC于点F.若AO

=7,AE=CD=3,则BF的长为2

D

B1——《--------

FJ

【解答】解：:四边形A3CQ是矩形，

：.AD//BC,AD=BC=7,

・•・ZAEF=NEFC,

•・•石尸平分NAEC,

・•・ZAEF=NCEF,

：・/CEF=/CFE,

:.CE=CF,

・.・AQ=7,AE=CD=3,

：.DE=4f

£C=VDC2+DE2=^+^=5'

AFC=5,

:.BF=2,

故答案为2.

16.（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正

方形.若正方形45CQ的面积为10,AH=3,则正方形EFG4的面积为4.

【解答】解：:正方形ABCQ的面积为10,

・"。2=10,

'DH=JAD2_AH2=410-9=1,

丝△DGC,

：.AH=DG=3f

:・HG=DG-DH=2,

・•・正方形EFGH的面积=〃G2=4,

故答案为:4.

17.(2分)为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温

杯.现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效(单位：/?)如表：

甲组1112131415

乙组x6758

如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x=4或9.

【解答】解：甲组的平均数是2X(11+12+13+14+15)=13(h),

则甲的方差52=A[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]

乙组的平均数为X+6+7+5+8=26+X⑺,

55

乙的方差为：1[(X-26+x)2+(6.26+x)2+(7.26+x)2+(5.26+x)2+(8.26+x)

由题意得上[(x-26^)2+(6.26+^)2+。-26+^)2+(5.26+x)2+(8.26+x)

555555

2]=2,

解得x=4或x=9,

故答案为：4或9.

18.(2分)如图，点C在线段AB上，△D4C是等边三角形，四边形CQEF是正方形.

(1)ZDAE=15°；

(2)点尸是线段AE上的一个动点，连接PB,PC.若AC=2,BC=3,则PB+PC的最

小值为_/药_.

【解答】解：(1)4c是等边三角形,

：.ZDAC=ZADC=60a,AD=DC,

•..四边形CQEF是正方形,

：.CD=DE,NEDC=90°,

...△AQE是等腰三角形,

.-.ZDAE=A(180°-90°-60°)=15°,

2

故答案为15°；

(2)作C点关于4E的对称点C,连接CB与4E交点为P,

:.PB+PC=BC,

,：ZEAD=15°,ZDAC=60°,

.•./GAC=45°,

：AG_LCG,

：.ZDCA=45°,

VAC=2,

.,.GC=V2>

；.CC=2&,

过。作CHJ_AC,则△CC〃为等腰直角三角形，

CH=2,

与A重合，

：.CAVAC,

在RtzMBC中，AB=AC+BC=5,AC=2,

技，

；.P8+PC的最小值为技，

故答案为J药.

三、解答题（本题共49分，第19〜25题每小题6分，第26题7分）

19.（6分）计算：

（1）3MX氓;

⑵V18+A/io^V5-

【解答】解：（1）原式=3历］

—65/3;

（2）原式=3折J10。5

=3扬加

=4心

20.（6分）如图，在0ABec中，点E,F分别在边A8,8上，BE=DF,EF与对角线AC

•/四边形ABCD是平行四边形，

J.AB//CD,AB=CD,

:BE=DF,

：.AB-BE=CD-DF,

：.AE=CF,

，四边形AECF是平行四边形，

：.OE=OF.

21.（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.（1丈=10尺）

大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它

高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水

的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB=10

尺，线段CD,C8表示芦苇，CD上AB于点E.

（1）图中£）E=1尺，EB=5尺；

(2)求水的深度与这根芦苇的长度.

【解答】解：(1)由题意可得：£>E=1尺，BE—^AB=5R；

2

故答案为：1,5；

(2)设芦苇长0c=BC=x尺，

则水深EC=(x-1)尺，

在RtAECB中,

52+(x-1)2=x2,

解得：x=13,

则EC=13-1=12(尺),

答：芦苇长13尺，水深为12尺.

22.(6分)在RtZXABC中，ZACB=90°，点。是边AB上的一个动点，连接CD.作4E

//DC,CE//AB,连接ED

(1)如图1,当CQ_LA8时，求证：AC=ED；

(2)如图2,当。是AB的中点时，

①四边形AOCE的形状是菱形；(填“矩形”、“菱形”或“正方形”)

②若AB=10,ED=8,则四边形ADCE的面积为24.

图1图2

【解答】(1)证明：；A£〃OC,CE//AB,

:.四边形ACCE是平行四边形，

'：CD±AB,

：.ZADC=90°,

四边形AZJCE是矩形，

：.AC=ED.

(2)①解：'：AE//DC,CE//AB,

...四边形AOCE是平行四边形，

VZACB=90°,。为A8的中点，

:.AD=CD=BD,

...四边形AQCE是菱形，

故答案为菱形；

②；四边形ADCE是菱形，

.,.ACLDE,

XVAC1BC,

J.DE//BC,

'CCE//AB,

四边形ECBD是平行四边形，

:.DE=BC=8,

；AB=10,

，，MC=VAB2-BC2=V102-82=6,

二四边形AOCE的面积为/AODE=-^-X6X8=24.

故答案为24.

23.(6分)对于函数y=|x-1|,小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，

请补充完整：

(1)①对于函数y=|x-1|,当xWl时，y=-x+1；当x>l时，y=x-｝；

②当xWl时，函数y=|x-1|的图象如图所示，请在图中补全函数y=|x-1|的图象；

(2)当y=3时，x=-2或4；

(3)若点A(-1,y\)和3(工2,”)都在函数y=|x-1|的图象上，且y2>yi,结合函

数图象，直接写出X2的取值范围.

【解答】解：（1）①对于函数y=|x-1|,当时，尸-x+1；当Q1时，y=x-l；

故答案为：x-1；

②函数图象如图所示；

（2）把y—3代入y--x+\求得x=-2,

把y=3代入y=x-1求得x=4,

.,.当y=3时，x=-2或4,

故答案为-2或4；

（3）•.•函数图象关于直线x=l对称，

Ax=-1和x=3时的函数值相同，

观察图象，当月>）1时，X2<-1或X2>3.

24.（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读

情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时

长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

乙七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数

据都分成6组：0WxV2,2<xV4,4Wx<6,6Wx<8,8<x<10,10Wx<

12)

八年级学生一周阅读时长统计图

七年级学生一周阅读时长统计图

图1图2

b.八年级学生一周阅读时长在6Wx<8这一组的数据是：66666.56.5777

77.57.5.

c.七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表:

年级平均数中位数众数

七年级6.22577

八年级6.375m8

根据以上信息，回答下列问题：

(1)图1中〃％=10%；

(2)①补全八年级学生一周阅读时长统计图(图2)；

②上表中m的值为6.25.

(3)将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读

时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是八年级的学生;(填“七”

或“八”)

(4)估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数.

【解答】解：(1)图1中p%=l-(5%+22.5%+27.5%+30%+5%)=10%,即p=10,

故答案为：10；

(2)①4<x<6的人数为40-(5+12+10+2)=11(人)，

补全图形如下：

八年级学生一周闻读时长统计图

频数+

24681012闻读时长/h

图2

②由题意知，这组数据的第20、21个数据为6、6.5,

所以这组数据的中位数〃?=史久§=6.25,

2

故答案为：6.25；

(3)..•这名学生一周阅读时长是6.5小时，大于八年级阅读时长的中位数6.25小时，而

小于七年级阅读时长7小时，

...可以推断他是八年级的学生，

故答案为：A.

(4)一周阅读时长不低于8小时的人数为200X(30%+5%)+20()x1212=130(人).

40

25.(6分)在平面直角坐标系xO)，中，点A在x轴的正半轴上，点8在第一象限，作射线

OB.给出如下定义：如果点P在NBOA的内部过点P作于点例，PMLOB于

点N,那么称与PN的长度之和为点P关于NBO4的“内距离”，记作NBOA),

即d(P,ZBOA)=PM+PN.

(1)如图1,若点P(3,2)在NBOA的平分线上，则PM=2,PN=2,d(P,

ZBOA)=4；

(2)如图2,若/8。4=75°，点C(a,a)(其中a>0)满足"(C,ZBOA)=2+圾,

求a的值；

(3)若/BOA=60°,点Q(巾，n)在NBOA的内部，用含〃?，〃的式子表示4(Q,

ZBOA),并直接写出结果.

图1图2

图1

；0尸平分/403,PM±OA,PNLOB,

：.PM=PN,

,:P(3,2),

：.PM=PN=2,

：.dCP,ZBOA)=2+2=4,

故答案为：2,2,4.

(2)如图2中，过点。作CE_LOA于E,CF_L08于F.

图2

VC（〃，a）,

/.EC=0E=a,OC—yl~2a,

・・・NEOC=45°,

VZA0B=15°,

：.ZC0F=15°-45°=30°,

VCF1OB,

：.CF=l.OC=^a,

22

'：d（C,ABOA}=2+&,

**•—2+,^2,

2

•・a=2.

(3)如图3中，过点。作QELOA于E,QFVOB^F,延长FQ交x轴于J.

:・QE=n,OE=m,

VZJFO=90°,ZFG>J=60°,

：.ZQJE=30Q,

\'ZQEJ=90°,

:・QJ=2QE=2〃,EJ=y[^EQ=Ci,

OJ—0E+EJ=m+\f3n,

.•.FJ=(?ycos30°=(m+y〃)•返=逅〃+当，

_222

:.FQ=FJ-QJ="^3.m+—n-2n=^-^in-An,

2222_

：.d(Q,NBOA)=QE+QF="+2/L〃-1=返，w+L.

2222

26.(7分)已知NMON=90°,点4是射线ON上的一个定点，点B是射线0M上的一个

动点，且满足08>04.点C在线段04的延长线上，且AC=08.

(1)如图1,CD//OB,CD=OA,连接A。，BD；

①DCA全等,ZOBA+ZADC=90°；

②若OA=a,OB—b,则BO=_\Fj>(a+b)；(用含a,。的式子表示)

(2)如图2,在线段BO上截取8E,使BE=OA,连接CE.若/08A+N0CE=B，当

点B在射线OM上运动时，B的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如

果变化，请说明理由.

图1图2

【解答】解：(1)®'：CD//OB,

：.ZAOB=ZDCA=90c,

在aAOB和△OCA中,

'AO=DC

<ZAOB=ZDCA，

OB=CA

AAAOB^ADCA(SAS),

・・・NABO=NCAD,

9：ZCAD+ZADC=90°,

AZABO+ZADC=90°,

故答案为：OCA,90.

②如图1中，过点。作OR,30交80的延长线于R.

AAOB^ADCA,

：.OA=CD=a,OB=AC=b,

•：NR=NROC=/DCO=90°,

・・・四边形OCOR是矩形，

：・OR=CD=a,DR=OC=a+b,

RB=a+b,

：'BD=VBR2+DR2=V(a+b)2+(a+b)2^^2^+b).

故答案为：M(a+b).

(2)0的大小不变，P=45°.

理由：如图2中，过点C作CW，AC,使得CW=O4.

在AAOB和△WC4中，

'OA=CW

<ZAOB=ZWCA>

OB=CA

A/\AOB^/\WCA(SAS),

：.AB=AWfZABO=ZCAWt

VZABO+ZBAO=90°,

：.ZBAO+ZCAW=90°,

AZBAW=90°,

AZAWB=45°,

'：BE=OA9CW=OA,

：.BE=CW,

VCW//OB,

・・・四边形BECW是平行四边形，

：.EC//BW,

：.ZCJW=ZAWB=45°,

VZCJW=ZCAW+ZECOfZCAW=ZABO,

图2

图1

四、填空题（本题6分）

27.（6分）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关

系：

例如：由（扬1）（&-1）=1,可得与&-1互为倒数，即以」=&-1,，L

V2+1V2-1

=y+1•类似地，「L=M-近,3厂=心血；-^==2-M，—L==

V3N2V3-V22+V32-73

2+V3：

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

(1)1,=—江五二日―；（〃为正整数）

3厂=一届旄—，

V6+V5Vn+lWn

(2)若一—=2&-m,贝Ijm—_±^7_；

2V2+m

(3)计算：__1__+___1___+1+…]_I_=9

V2+1V3W2V4W3V100W99-

;

【解答】解：(1)(1)厂1/-[1——=--Vn+1-Vn("为正整数)

V6W5Vn+lWn

故答案为、后-V5;Vn+1-Vii；

(2)—1—=2近-m,

2y/2+^

：.(2点+〃?)(2&-胆)=1,

.'.8-,"2=1,解得;„=土沂；

故答案为土丁7；

(3)原式=我-1+«-料+T-杼•+715^-屈

=Vioo-1

=10-1

=9.

故答案为9.

五、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）

28.（6分）如图，AABC和△DCE都是等边三角形，ZACD=a（60°<a<120°），点P,

Q,M分别是AO,CD,CE的中点.

（1）求NPQM的度数：（用含a的式子表示）

（2）若点N是8c的中点，连接NM,NP,PM,求证：是等边三角形.

E

【解答】解：(1)•••△COE是等边三角形，

.•.ZCDE=60°,

•.,点P,Q,M分别是AQ,CD,CE的中点.

J.PQ//AC,QM//DE,

：.ZACD+ZPQC=180°,NCQM=NCDE=60°,ZACD^ZPQD=a,

AZP2