2019年全国卷ⅠⅡ Ⅲ文数高考全国统一考试-文库数学题及答案

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席熬得题段答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1•设z=W，则以卜

A.2B.73C.72D.1

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则30%集=

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7）

3.已知a=log20.2,0=2°,,c=0.2°3,则

A.a<b<cB.a<c<hC.c<a<bD.b<c<a

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是避二1（苴二1乜）.618,

22

称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚

脐的长度之比也是避二L若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长

2

度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

einr+r

5.函数於尸-----。在E，兀］的图像大致为

cosx+x'

6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,1000,从这些新生中用系统抽样

方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生

7.tan255°=

A.-2-5/3B.~2+y/3C.2-eD.2+6

8.已知非零向量a,6满足回=2且(a-b)1b,则。与》的夹角为

71兀27157t

A.—B.-C.—D.—

6336

1

9.如图是求-----1的程序框图，图中空白框中应填入

2+AA1+2A2A

Y2y2

10.双曲线C：J—==13>0/>())的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率为

ab-

11

A.2sin40°B.2cos40°C.---------D.----------

sin50°cos50°

11.ZViBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,1,已矢口asinAsin8=4c$inC,cosA=-—,UPJ—=

4c

A.6B.5C.4D.3

12.已知椭圆C的焦点为耳(一1,0),6(1,0),过出的直线与。交于A,8两点.若|人6|=2|63|,

|A5|=|3FJ,则C的方程为

2222222

A厂2i心%>

A.Fy=1B.-----F—=1C.—+—=1D.—+—=1

2324354

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=3(/+x)e*在点(0,0)处的切线方程为.

3

14.记S”为等比数列｛4"｝的前”项和,若4=1,§3=—，则$4=_________.

4

37r

15.函数/(x)=sin(2x+j-)-3cosx的最小值为.

16.已知NAC8=90°,尸为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,3c的距离均为那么P

到平面ABC的距离为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：60分。

17.(12分)

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意

或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

un(ad-bcf

Ij：K—.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(群土0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)

记S"为等差数列｛“"｝的前〃项和，已知S9=P5.

(1)若43=4,求｛为｝的通项公式;

(2)若ai>0,求使得Sn>a„的n的取值范围.

19.(12分)

如图，直四棱柱ABC。的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是BC,

BBi,40的中点.

(1)证明：MN〃平面CiDE；

(2)求点C到平面COE的距离.

20.(12分)

已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f'(x)为/(x)的导数.

(1)证明：f(%)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若xG［0,兀］时，f(x)>ax,求“的取值范围.

21.(12分)

已知点A,8关于坐标原点。对称，\AB\=4,。加过点A,8且与直线x+2=0相切.

(1)若A在直线x+y=0上，求。例的半径；

(2)是否存在定点P,使得当4运动时，为定值？并说明理由.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

1一产

X—，

产

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为《1+(f为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的

At

正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为20cos6+V3psin6+11=0.

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)求C上的点到/距离的最小值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知4,byC为正数，且满足〃灰尸1.证明：

(1)-+—+a2+b2+c2；

abc

(2)(a+0)3+S+c)3+(c+a)3224.

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文科数学-参考答案

一、选择题

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

二、填空题

5

13.y=3x14.—15.-416.V2

8

三、解答题

17.解：

40

(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为——=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概

50

率的估计值为0.8.

30

女顾客中对该商场服务满意的比率为一=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.

50

100x(40x20-30x10)2

(2)K2=-------------------~4./oZ.

50x50x70x30

由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

18.解：

(1)设｛%｝的公差为d.

由怎=—%得q+4d—0.

由。3=4得q+2d=4.

于是4=8,d=-2.

因此｛。“｝的通项公式为。“=10-2〃.

(2)由(1)得q=—4d,故4=伽_5)4S“二〃(△[".

由q>0知d<0,故S...q,等价于及2—11〃+10,,(),解得iw〃qo.

所以”的取值范围是｛〃|啜！h10,〃eN｝.

19.解:

(1)连结因为M,E分别为6g，8C的中点，所以ME〃瓦C,且=又因为N

为的中点，所以NO=gd。.

由题设知OC，可得4。幺A。，故佐纳，因此四边形MNDE为平行四边形，肱V〃£D.

又MNa平面GOE,所以MN〃平面GOE.

(2)过C作GE的垂线，垂足为

由已知可得。E_L6C,DE1C,C,所以平面GCE，故OELCH.

从而C”,平面C,DE，故的长即为C到平面CQE的距离，

由已知可得CE=1,GC=4,所以C1E=J石，故CH=噜-.

从而点C到平面C.DE的距离为生叵.

20.解：

(1)设g(x)=/'(x),则g(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx.

当xw(0,今时，g'(x)>0；当兀)时，g'(x)<0,所以g(x)在(0$单调递增，在(3,兀单

调递减.

又g(0)=0,g®>0,g(7i)=一2,故g(x)在(0,兀)存在唯一零点.

所以/'(x)在(0,K)存在唯一零点.

(2)由题设知/(兀)..。兀,/(兀)=0,可得cEO.

由(1)知，.f'(x)在(0,兀)只有一个零点，设为与,且当xe(O,x(J时，/'(x)>0；当xe(x(),兀)时，

r(%)<0,所以/(x)在(0,/)单调递增，在(不㈤单调递减.

又/(0)=0"㈤=0,所以，当xe[0,汨时，/(x)..0.

又当q,O,XG[O,TC]时,屋0,故，(x)..办.

因此，”的取值范围是(—oo,0].

21.解：(1)因为M过点A,8,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由己知A在直线x+y=O上，且

关于坐标原点O对称，所以M在直线y=x上，故可设M(a,a).

因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r=|a+2|.

由已知得依。|=2,又MO_LA。，故可得2a2+4=(a+2>,解得。=()或“=4.

故M的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(l,0),使得—|MP|为定值.

理由如下：

设例(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

由于M0LA0,故可得/+尸+4=(*+2)2,化简得M的轨迹方程为V=4x.

因为曲线C：V=4x是以点P(l,0)为焦点，以直线x=-l为准线的抛物线，所以|例H=x+L

S\MA\-\MP\=r-\MP\=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.

1一户,/yV门_『丫4/

22.解：(1)因为—1<—<l,且/+2=―、+__J=l,所以C的直角坐标方程为

1+“r3U+R(i+/)2

Y+?=l(x~l).

I的直角坐标方程为2x+Gy+11=0.

.(x=cosa,

(2)由(1)可设C的参数方程为《(a为参数，一兀<。<兀).

y-2sina

1-.4cosIa--1+11

,,,.-jnL±、J2cosa+2>/3sina+ll|I3J

C上的点到/的距离为----------------------1=-----'厂——.

V7V7

当。=一半时，4cos(a-mJ+ll取得最小值7,故C上的点到/距离的最小值为五.

23.解：(1)因为之2〃。,。2+02又abc=l,故有

ab-\-bc+ca111

/+〃+。2之曲+be+ca==—+—+一.

abcabc

所以'+』+!</+〃+02.

abc

(2)因为a,b,。为正数且出(=1,故有

3333

(a+b)3+s+。)3+g+a)>3^(^+b)(b+c)(a+c)

=3(Q+6)(/?+C)(Q+C)

>3x(2y[ab)x(2\[bc)x(2y[ac)

=24.

所以(Q+»3+s+c)3+(c+Q)3>24.

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文科数学

本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上

答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合A二{%|元>一1},B={x\x<2},则4nB=

A.(-1,+8)B.-8,2)

C.(-1,2)D.0

2.设z=i(2+i),则乞二

A.l+2iB.一l+2i

C.l-2iD.-l-2i

3.己知向量。=(2,3),b=(3,2),则|。-》|二

A.V2B.2

C.572D.50

4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只

测量过该指标的概率为

23

A.-B.一

35

2

C.一D

5-I

5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

6.设/U)为奇函数，且当於0时，—则当x<0时，J(x)=

A.e-A-lB.e-x+l

C.D.—e'+1

7.设a,£为两个平面，则a〃夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与夕平行

B.a内有两条相交直线与“平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

兀37r

8.若xi=—,必=—是函数_/(x)=sin6yx(。>0)两个相邻的极值点，则①=

44

_3

A.2B.一

2

C.1D.—

2

X2y2

9.若抛物线(p>0)的焦点是椭圆—+上-=1的一个焦点，贝IJ〃二

3Pp

A.2B.3

C.4D.8

10.曲线y=2sinx+cosx在点(n,-1)处的切线方程为

A.=0B.2x-y-2兀-1=0

C.2x+^-27t4-l=0D.x+y—兀+1=0

Tl

11.已知(0,—),2sin2a=cos2a+l,则sina=

2

75

B.

5

。・竽

，■-，=1（a>0,b>0）的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径的圆与

12.设F为双曲线C：

圆/+y=层交于P、。两点.若|PQ=|OF|,则C的离心率为

A.夜B.6

C.2D.&

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2x+3y-6>0,

13.若变量x,y满足约束条件,x+y-340,贝！Jz=3x-y的最大值是.

y-2<0,

14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有

20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率

的估计值为.

15.AA8c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但

南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边

形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点

都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为I.则该半正多面体共有个面，其棱长为一

.（本题第一空2分，第二空3分.）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

如图，长方体的底面A8CO是正方形，点E在棱上，BE±ECt.

q

(1)证明：8E_L平面EBQ；

(2)若AE=AiE,AB=3,求四棱锥E-台与。。的体积.

(12分)

已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，4=2,4=24+16.

(1)求｛6,｝的通项公式;

(2)设2=10g24,求数列｛4｝的前"项和.

19.（12分）

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度

相对于前一年第一季度产值增长率），的频数分布表.

y的分组[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企业数22453147

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（精确到0.01）

附：V74»8.602.

20.（12分）

22

已知耳，工是椭圆。：0+当=1（。＞6＞0）的两个焦点，尸为C上一点，。为坐标原点.

a~b

（1）若△PO6为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点尸，使得且△片「用的面积等于16,求人的值和〃的取值范围.

21.（12分）

己知函数/（x）=（x-l）lnx-x-l.证明：

（1）/（x）存在唯一的极值点；

（2）/（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在极坐标系中，0为极点，点/（外,％）（2。＞0）在曲线C：Q=4sin。上，直线/过点44,0）且与0M

垂直，垂足为P.

7T

(i)当4=5时，求为及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段。加上时，求P点轨迹的极坐标方程.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

己知/(%)=\x-a\x+\x-2\{x—a).

(1)当。=1时，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若xe(—8,1)时，f(x)<0,求。的取值范围.

1.C2.D3.A4.B5.A6.D

7.B8.A9.D10.C11.B12.A

3兀

13.914.0.9815.—16.V2—1

4

17.解：(1)由已知得BiG_L平面ABBiA，BEu平面ABBiA，

故4G，阻

又8ELEG，所以8E_L平面SBC.

(2)由(1)知NBEBi=90。.由题设知RsABEZRtAAiBiE,所以NAE3==,故AE=AB=3,

AAt=2AE=6.

作EFJ.BBi,垂足为F,则EFL平面8BCC，且£尸=筋=3.

所以，四棱锥E-5BCC的体积V=gx3x6x3=18.

18.解：（1）设｛%｝的公比为q,由题设得

2/=4q+16,即d-2q-8=0.

解得q=-2（舍去）或q=4.

因此｛q｝的通项公式为=2X4"T

(2)由(1)得2=(2〃-l)log22=2〃—l,因此数列｛〃,｝的前"项和为1+3++2〃-1=〃.

19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为

工。.21.

100

2

产值负增长的企业频率为—=0.02.

100

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企

业比例为2%.

(2)y=j^(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,

15.

s2=之〃,(凹一歹)~

100金八'7

=言*2+(-0.20)2X24+02X53+0.202X14+0.402x7]

=0.0296,

=V0.0296=0.02xV74«0.17,

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.

20.解：(1)连结P/"由为等边三角形可知在△月尸鸟中，/与「玛=90°,|Pg|=c,

仍用=/。，于是2a=归用+归用=(百+1%，故。的离心率是e=(=6—1.

(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当!|y|-2c=16,1——上一=-1,鼻+2=1,

2x+cx-cab

即力=16,①

x2+y2=c2,②

由②③及。2=/+°2得y2=又由①知y2=,故6=4.

CC

2

由②③得/=二卜2一6)，所以,22沙2,从而/=62+0222/=32,故。240.

当8=4,a24正时，存在满足条件的点P.

所以/?=4,a的取值范围为［4血,+oo).

21.解:(1)/(x)的定义域为(0,+oo).

X—11

fr(x)=----i-lnx-1=Inx——.

xx

因为y=lnx单调递增，y=L单调递减，所以/'")单调递增，又/'(1)=一1<0,

X

/'(2)=ln2—g=若1>0,故存在唯一x°e(l,2),使得/、'(%)=0.

又当尤<不时，/'(x)<0,/(x)单调递减；当x>/时，./''(x)〉。，/(x)单调递增.

因此，/（X）存在唯一的极值点.

（2）由（1）知/（无0）</（1）=-2,又/（e2）=e2-3>0,所以/（x）=0在（%,+8）内存在唯一根

x=a.

由得一vic/.

a

又/（工]=（工_1]111工_,_1=且0=0,故,是/1）=0在（0,毛）的唯一根.

JJaaaa

综上，/（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

22.解：（1）因为M（夕（）,4）在C上，当时，夕o=4sin]=2G.

IT

由已知得|OP1=1。41COS]=2.

设。（。,仍为/上除尸的任意一点.在RtAOPQ中夕cos]6—=|OP|=2,

经检验，点P（2g）在曲线「cos（6-1]=2上.

所以，/的极坐标方程为夕cos（6—g）=2.

（2）设P（0。），在RtZXOAP中,10pHOA|cos6=4cos6,即p=4cos^..

TTTT

因为P在线段OM上，且APLQM,故。的取值范围是.

_42_

IT7T

所以，尸点轨迹的极坐标方程为夕=4cos。，9G--.

23.解：(1)当〃=1时，/(x)=|x-1|x4-|x-2|(x—1).

当x<l时，/(x)=-2(x-l)2<0；当xNl时，f(x)>Q.

所以，不等式/(x)<0的解集为(―』).

(2)因为/(。)=0,所以

当a21,xG(-8,1)时，/(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.

所以，。的取值范围是［1,+8).

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2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时:选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合/={-1,0,1,2),3二仲241}，则幺口3二

A{-1,0,1}B,{0,1}C.{-1,1}D,{0,1,2}

2.若z(l+i)=2i>贝2

A._]_]B._]+]C,1—1D.

3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

1111

A.——B.——C.—D.——

6432

4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本

校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》

的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学

生总数比值的估计值为

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

/（X）-干上,奴“

5.函数」'7ZsiiLX-si在n［0,2兀］的g零点个数为

A.2B.3C.4D.5

6.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前4项和为15,且国二3a+40，则国二

A.16B.8C.4D.2

7.已知曲线y—ael+xlllX在点（L非）处的切线方程为片2户6,贝I

A.a=efb=-lB.a=efb=lC.a=e\b=lD.a=e\b二一1

8.如图，点N为正方形4仇浦的中心，为正三角形，平面占平面4?勿，M是线段面的中点，则

A.B-N,且直线身/、是相交直线B.B群EN,且直线5%是相交直线C.BS4EN,且直线用/、EV是异面直线

D.B胖EN,且直线冽/,EV,是异面直线

9.执行下边的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出s的值等于

A.)———B.，一——C.。———D.0———

一一,5,6一,7

一

Y2V2

io.已知/是双曲线a2_r_二］的一个焦点,点尸在。上,。为坐标原点，若\OP\=\OF\^/\OPF

45

的面积为

3579

A.—B.—C.—D.—

?999

卜+介6,

12x—y>0n3(v)ED、2x+v>9

11.记不等式组l-表示的平面区域为D命题/''-V/;命题

e

q■v®y)〃2丫+修12下面给出了四个命题

①0V[②」prq③PLq④

这四个命题中，所有真命题的编号是

A.①③B.©©C.②③D.③④

是定义域为R的偶函数,且在单调递减,则

1_32

dog?4)>一

A.(21)>/(P)

123

/(logs4)>/(2-3

B.)>/<P

321

九一"

2>/(p)>J(10g34)

2

>/(10g34

D./(P)))

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

已知向量则

13.0=(2,2)4=(-8,6),cos<%b>=

记&为等差数列他”｝的前"项和，若CFL=5,6'^7/=13，则S1inU=

22

*----J+-----二］1

的两个焦点,“为c上-点且在第t限若.%为等腰三角

设外外为椭圆

15.c：3620

形，则M的坐标为.

ABCD-A^C^

I6.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥

O-EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，

AB=BC=6cm,AA=4cm

l,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需

原料的质量为__________g.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第

22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠

给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过•段时间后用某种科学方法

测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

甲离子残聊百分比直方图乙离子残留百分比宜)

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

18.(12分)

.A+C

asm-二-〃-s-in/

△^43°的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2

(1)求B；

(2)若A4BC为锐角三角形，且c=l,求A4BC面积的取值范围.

19.（12分）

图1是由矩形ADE8、RtAA8C和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,/F8C=60。.将其沿A8,

BC折起使得BE与8尸重合，连结DG,如图2.

(1)证明图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABUL平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACGO的面积.

20.(12分)

已知函数/(X)=2工3一芯+2.

(1)讨论/(丫)的单调性；

(2)当0<a<3时，记J(")在区间［0,1］的最大值为M,最小值为机，求"一〃’的取值范围.

21.(12分)

X21

已知曲线C：产______。为直线尸一一上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B.

22

(1)证明：直线AB过定点：

5

(2)若以E(0,一)为圆心的圆与直线4B相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

(-)选考题：共1()分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.I选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

如图，在极坐标系3中，4(2,0)，5(^2,—)-0(^2,--)-。(2,兀)，弧”，BC，

44

83所在圆的圆心分别是(i,o)，(1,—)-(1,7T)-曲线A/1是弧前，曲线A!?是弧正*，曲线

八“3是弧,

(1)分别写出A/】，M］，A」？的极坐标方程；

(2)曲线A［由，力』3构成，若点P在M上，且1。昨6,求P的极坐标.

B

c