九年级数学上学期【第一次月考卷】（解析版）

九年级数学上学期【第一次月考卷】（苏科版）（满分120分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+y＝1 B．x2+1＝0 C．x（x+3）＝x2 D．x2+＝1【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．2x+y＝1是二元一次方程，故本选项不符合题意；B．x2+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；C．x（x+3）＝x2整理可得3x＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．x2+＝1是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．3．已知方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A． B． C． D．且k≠0【分析】令原方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可．【解答】解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，解得：k＜且k≠0，故选：D．【点评】方程有2个不相等的实数根应注意两种情况：Δ＞0，二次项的系数不为0．4．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵点P在半径为5cm的圆内，∴点P到圆心的距离小于5cm，所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）【分析】由已知点的坐标得出△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，得出△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，∴△ABC外接圆的圆心坐标是（，），即（3，1）．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、直角三角形的外心特征；熟记直角三角形的外心特征，根据题意得出三角形是直角三角形是解决问题的关键．6．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2﹣5＝0 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2﹣3＝0【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝3，（x+2）2＝3．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为（）A．y＝x2+3 B．y＝（x﹣6）2+3 C．y＝x2﹣7 D．y＝（x﹣6）2﹣7【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到新抛物线的函数解析式为：y＝（x﹣3﹣3）2﹣2+5，即y＝（x﹣6）2+3；故选：B．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．9．关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（）A．1 B．﹣2 C．2 D．3【分析】设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，根据根与系数的关系得出﹣3a＝﹣3，求出方程的解即可．【解答】解：设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，∴由根与系数的关系得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即方程的另一个根为1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关于a的方程是解此题的关键．10．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等；⑤平分弦的直径垂直于弦；⑥任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②④进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据垂径定理对⑤进行判断；根据三角形外接圆的定义对⑥进行判断．【解答】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确，符合题意；③圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故③错误，不符合题意；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误，不符合题意；⑤平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故⑤错误，不符合题意；⑥任意三角形一定有一个外接圆；故⑥正确，符合题意；其中正确的有①②⑥，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆的认识和圆心角、弧、弦的关系．二．填空题（共8小题）11．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．12．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得出2k﹣1≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（2k﹣1）×9≥0，解不等式即可得出k的取值范围【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣6x+9＝0有实数根，∴2k﹣1≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（2k﹣1）×9≥0，解得：k≤1且k≠，故答案为：k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝25度．【分析】根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠ADC＝∠BAD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°．故答案为：25【点评】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，两直线平行内错角相等等性质．14．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是60°．【分析】利用等边对等角即可证得∠C＝∠DOC＝20°，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．【解答】解：∵CD＝OD＝OE，∴∠C＝∠DOC＝20°，∴∠EDO＝∠E＝40°，∴∠EOB＝∠C+∠E＝20°+40°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解圆的半径都相等是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（9，2）．【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∠EAC＝∠EOB＝90°，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D（9，2）．故答案为：（9，2）．【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的性质．16．直角三角形的两边长为6和8，则此三角形的外接圆半径为4或5．【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．【解答】解：由勾股定理可知：①当8为斜边时，直角三角形的斜边长为：8；②当8为直角边时，直角三角形的斜边长为：62+82＝10；因此这个三角形的外接圆半径为4或5．故答案为：4或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．17．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝3或﹣3．【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（，0），直线y＝kx﹣2k+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为8．【分析】易知直线y＝kx﹣2k+3过定点D（2，3），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（，0），∴OA＝，∴OB＝OA＝．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×4＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．三．解答题（共8小题）19．按要求解下列方程：（1）（2x+3）2﹣5＝0；（2）2x2+1＝3x（用配方法）；（3）（x﹣4）2＝4x（4﹣x）；（4）2（x2﹣1）＝7x；（5）（2x﹣3）2+2＝3（2x﹣3）；（6）2x2﹣5x﹣1＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；（5）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（6）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（2x+3）2﹣5＝0，（2x+3）2＝5，2x+3＝±，2x+3＝或2x+3＝﹣，x1＝，x2＝；（2）2x2+1＝3x，x2+＝x，x2﹣x＝﹣，x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，x1＝1，x2＝；（3）（x﹣4）2＝4x（4﹣x），（x﹣4）2﹣4x（4﹣x）＝0，（x﹣4）2+4x（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4+4x）＝0，（x﹣4）（5x﹣4）＝0，x﹣4＝0或5x﹣4＝0，x1＝4，x2＝；（4）2（x2﹣1）＝7x，2x2﹣2﹣7x＝0，2x2﹣7x﹣2＝0，Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣2）＝49+16＝65＞0，∴x＝，x1＝，x2＝；（5）（2x﹣3）2+2＝3（2x﹣3），（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）+2＝0，（2x﹣3﹣1）（2x﹣3﹣2）＝0，（2x﹣4）（2x﹣5）＝0，2x﹣4＝0或2x﹣5＝0，x1＝2，x2＝2.5；（6）2x2﹣5x﹣1＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝25+8＝33＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．已知二次函数y＝．（1）将该二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数的图象的顶点坐标；（3）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围．【分析】（1）用配方法化成顶点式；（2）由顶点式直接写出顶点坐标；（3）结合函数的开口方向、增减性求y的取值范围．【解答】解：（1）y＝＝﹣（x+2）2+5．（2）由y＝﹣（x+2）2+5可知顶点坐标为（﹣2，5）．（3）∵a＝﹣，∴抛物线开口向下，∵顶点为（﹣2，5），∴对称轴为直线x＝﹣2．∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y取最大值5，∵﹣3＜x＜0，当x＝﹣3时，y＝，当x＝0时，y＝3＜，∴当﹣3＜x＜0时，3＜y≤5．【点评】本题考查了二次函数的顶点式、顶点坐标、增减性，通过开口方向和对称轴判断二次函数在﹣3＜x＜0时的增减性是解题的关键．21．如图，在矩形ABCD中，设AB＝a，AD＝b且a＞b．（1）若a，b为方程x2﹣kx+k+4＝0的两根，且a，b满足a2+b2＝40，求k的值．（2）在（1）的条件下，P为CD上一点（异于C、D两点），P在什么位置时，△APB为直角三角形？（3）P为CD上一动点（异于C、D两点），当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？【分析】（1）由一元二次方程的根与系数的关系得出a+b＝k，ab＝k+4，由已知条件得出（a+b）2﹣2ab＝40，得出k的方程，解方程即可；（2）设PD＝x，求出原方程的解得出AB＝6，AD＝2，则CP＝6﹣x，证出△ADP∽△PCB，得出对应边成比例，解方程求出PD即可；（3）当△APB为等腰直角三角形时，即PA＝PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，根据等腰直角三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝45°，于是推出△ADP与△PBC是等腰直角三角形，于是得到CD＝2AD，即a＝2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．【解答】解：（1）∵a，b为方程x2﹣kx+k+4＝0的两根，∴a+b＝k，ab＝k+4，∵a2+b2＝40，∴（a+b）2﹣2ab＝40，即k2﹣2（k+4）＝40，解得：k＝8，或k＝﹣6（不合题意，舍去），∴k＝8；（2）如图所示：设PD＝x，∵k＝8，∴方程为x2﹣8x+12＝0，解得：x＝6，或x＝2，∴AB＝a＝6，AD＝b＝2，∴CP＝6﹣x，∵∠APB＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠APD＝∠PBC，∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADP∽△PCB，∴＝，即＝，解得：x＝3±，即PD＝3±时，△APB为直角三角形．（3）当△APB为等腰直角三角形时，即PA＝PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠DAP＝∠PBC＝45°，∴△ADP与△PBC是等腰直角三角形，∴CD＝2AD，即a＝2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、矩形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由一元二次方程的根与系数的关系求出a、b是解决问题的关键．22．已知抛物线y＝﹣（x+2）2顶点为点，与y轴交于点B，在抛物线上有一点P，使△ABP的面积为8，求点P的坐标．【分析】先求直线AB解析式为y＝﹣2x﹣4，再在x轴上A点左边取一点Q，使△ABQ的面积为8，得Q（﹣6，0），过Q作AB的平行线交抛物线于P，此时△ABP的面积为8，联立直线PQ和抛物线，即可求出P的坐标．【解答】解：由y＝﹣（x+2）2得A（﹣2，0），B（0，﹣4），∴直线AB解析式为y＝﹣2x﹣4，在x轴上A点左边取一点Q，使△ABQ的面积为8，∴×AQ×OB＝8，∴AQ＝4，∴Q（﹣6，0），过Q作AB的平行线交抛物线于P，此时△ABP的面积为8，∵PQ的解析式为y＝﹣2x﹣12，∴解得P的坐标为（﹣4，﹣4）或（2，﹣16）．【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是根据面积求坐标．23．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【分析】（Ⅰ）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（Ⅱ）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．【解答】（Ⅰ）证明：当m＝0时，此方程为一元一次方程，此时x＝1．方程有实数根，当m不等于0时，Δ＝（m+2）2﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（Ⅱ）解方程得，x＝，x1＝，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．24．如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD，推出＝，推出＝．（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）∵＝，∴AD＝BC，∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝EC．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．【分析】（1）只要证明∠AEP＝∠ABP＝45°，∠PAE＝90°即可解决问题；（2）证明△CAP≌△BAE，推出∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴△PAE是等腰直角三角形．（2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，∴∠CAP＝∠BAE，∴△CAP≌△BAE，∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB，∴∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，∴PB2+PC2＝PB2+BE2＝PE2＝22＝4．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．26．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t＝秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）由题意可知PA＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝6﹣t，BQ＝2t，然后根据△PQB的面积＝5cm2列方程求解即可；（2）由t＝，可求得AP＝，QB＝3，PB＝，CQ＝9，由勾股定理可证明DQ2+PQ2＝PD2，由勾股定理的逆定理可知△