2020-2021学年长春八中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年长春八中高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

1.下列命题中：

①若》,yeC,贝ijx+yi=1+i的充要条件是x=y=1；

②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；

③若复数Z1，z2,Z3满足（Z1-Z2）2+（Z2-Z3）2=0,则Z]=Z?=Z3.

正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.定义在R上的函数f（x）,且/（x）,f（x+1）都是偶函数，当xe[-1,0）时/（x）=G）x,则/（log28）

等于（）

A.3B.1C.-2D.2

3.已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列（即

ar=a2=1,an+2=册+i+。式几eN*））的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方

形中画一个圆心角为90。的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,自然界存在

很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对

应的扇形的弧长为（）

4.己知f(x+l)=/(%-1),/(%)=/(-%+2),方程7。)=0在［0,1］内有且只有一个根％=：,

则/(x)=0在区间［0,2013］内根的个数为()

A.2011B.1006C.2013D.1007

5.下列命题中，真命题是

A.匕0EK，使得＜0

B.函数/（X）=2*-/有两个零点

a

c.a=0的充要条件是一二一1

h

D.a>1）>1是aA>1的充分不必要条件

6.已知锐角4,B满足2tcm4=tan（A+B）,贝McrnB的最大值为（）.

A.2显B.显C.土D.在

W4

7.已知x,y为正实数，则（）.

A.2lgx+lgy=21gx+2lgyB.2Ig(x+y)=2lgx-2lgy

C.21gxlgy=21gx4-2lgyD.21g(秒)=2lgx-2lgy

8.己知Z7={y|y=log2x,x>l},F={_yy=1，x>2},则“尸=()

X

11

A.[2,+8)B.(0,-)

C.(0,+00)D.(-00,0]u[-,+8)

9.当曲线y=1+4中与直线丁=k（x-3）+3有两个不同交点时:贝Ik的取值范围为（）

A.（等，竽）B.（竽9

C.（昌）D.&喳

10.设函数/■（%）=ln|2%+1|+ln|2%-1|,则/（%）（）

A.是偶函数，且在G，+8）单调递增

B.是奇函数，且在（-：,手单调递减

C.是偶函数，且在单调递增

D.是奇函数，且在（一8,-》单调递增

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

11.设a=，og26,b=logs｝，则下列结论正确的有（）

A.a+b<0B.2=1C.ab<0D.+

12.如图，在正方体4BCD-PBiG为中，M,N,P分别为棱1

CG的中点，则下列结论正确的是()

A.41cJ■平面/MN

B.点P与点。到平面/MN的距离相等

C.平面D】MN截正方体4BCD-&BiGDi所得截面图形为等腰梯//

I9I/

形场

D.平面/MN将正方体4BCD-&B1QD1分割成的上、下两部分的体积之比为7：17

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.哥函数/(久)=X。的图象经过点(43),则实数a=.

14.已知s讥a=$则8$2(]+弓)=.

15.已知函数/(%)=2y/3sinxcosx+2cos2x—1.

(1)求/(%)的单调递减区间；

(2)若/(a+》=个/("勺，且f(a)=f(£),角a,£的终边不共线，求tan(a—°)的值.

16.已知函数=忱]；，>1，则/(嗨5)=.

四、解答题(本大题共5小题，共70.0分)

17.(1)求值：sin50°(l+V3tanl0°)

1TT

(2)已知：sinx-cosx=0<x<TT,求sin(2x-:)的值.

18.已知函数f(x)=4si7i(3%+。)，xER,其中(A>0,3>0,0V。V今的周期为yr,且图象上一

个最低点为“(第一2).

(1)求/Q)的解析式；

(2)当时，求“X)的最值.

19.已知函数/(%)=ln(e，+a+l)(a为常数)是实数集R上的奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)若关于光的方程意=x2-2ex+m有且只有一个实数根，求m的值.

J\.XJ

20.已知函数/(x)=asinx-cosx—\[3acos2x+亨a+b.

(1)当a>0写出函数的单调递减区间；

(2)设％6[0,与，求/(%)的最值.

21.已知函数/1(%)=(4-3a)/-2%+Q,x€[0,1],求/(%)的最大值.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：对于①，若x,y&R,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1,故①错误；

对于②，纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集和实数集，故②错误；

20>

对于③，若实数Z1，z2>Z3满足⑵一z2y+(z2-Z3)=则Z1=Z2=Z3,而复数不一定成立，故③

错误.

故选：A.

直接利用复数的运算，负数的分类，复数的运算判断①②③的结论.

本题考查的知识要点：复数的运算，负数的分类，复数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思

维能力，属于基础题.

2.答案：D

解析：解：由门x+1)是偶函数，可得/(—x+l)=/(x+l),

则函数/(x)为周期为2的周期函数，

•••f。唯8)=/⑶。&2)=/(3)=/(3-4)=/(-I).

又当时，/(x)=G)，

.-./(log28)=/(-l)=2.

故选：D.

由函数+1)是偶函数，可得/(—x+1)=f(x+1变形得到函数的周期，然后利用函数的周期性

把f(log28)转化为求给出的函数解析式范围内的值，从而得到答案.

本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，

是中档题.

3.答案:C

解析：解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，

根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13,

对应的弧长/=2兀X13x；=手，

故选：C.

根据题意，分析要求所对应的扇形的弧，所在圆的半径，由弧长公式可得答案.

本题主要考查了斐波那契数的规律，扇形的弧长公式，属于基础题.

4.答案:C

解析：解：•；f(%)=/(-％+2),,•・/(%)的图象关于直线x=1对称，-x)=/(I+%).

又+1)=/(%-1),二/■(%-1)=f(l一%),即/(%)=/(-%),故函数/(%)为偶函数.

再由/(%+1)=f(x-1)可得/(%+2)=/(%),故函数/(%)是周期等于2的周期函数，

・••出)=0，

•••/(-》=0,再由周期性得/(-1+2)=/(|)=0,

故函数f(x)在一个周期［0,2］上有2个零点，即函数/(x)在每两个整数之间都有一个零点，

f(无)=0在区间［0,2013］内根的个数为2013,

故选C；

由条件推出f(l-x)=/(l+x),进而推出/。)为偶函数，且/(x)是周期等于2的周期函数，根据

/(1)=0,求出/(|))=0,从而得到函数/'(X)在一个周期的零点个数，且函数f(x)在每两个整数之

间都有一个零点，从而得到f(x)=0在区间［0,2013］内根的个数.

本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体

现了化归与转化的数学思想，属于中档题.

5.答案：D

解析：选项A因VxeR,/＞0,故A错.

选项B当x=_］时，y=，＜0,当x=_g时，^=r一］＞0可知，函数y=2*_/有一个

零点是负值，同时还有两个零点x=2与工=4,故8错.

选项C当5=0时，显然知不是充要条件.

故选。.

6.答案：D

侬!朴鹭-fcm，.他颔iid

解析：根据公式可得：=tan[(i4+B)—A]=

3詈愉嘱里,蜀幄胤窟口富脚颗就

31

又>0,贝ij—■——-\-2tanA>2后,则tanB<—尸=.

------＜编幽通斓幅帆蜃一骞氏4

［注］直接按和角公式展开也可.

7.答案：D

解析：根据指数与对数的运算法则可知，

2igz+igy_2igx.2igy,故A错，B错，C错;

。中，21g(xy)=2lgx+lgy=2，BX-2lsy,故选D.

8.答案：A

解析：解：〃=螂产碱，则”F=,+00),故选A.

9.答案：B

解析：解：由y=1+"-％2,得/+(y-1)2=i(y21),

直线y=k(x-3)+3恒过定点(3,3),

作出两曲线图象如图：

由圆心(0,1)到直线kx-y-3k+3=0的距离等于1,可得1号等^=1>

解得/或/c=过正.

44

T77_3-1_1

又kpA=?

二当曲线y=1+6=/与直线y=k(x-3)+3有两个不同交点时，则k的取值范围为(F，；］.

故选：B.

把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合求解.

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档

题.

10.答案：A

解析：解：根据题意，函数/(x)=ln|2x+l|+ln|2%—l|,必有则有

即函数的定义域为｛x|x片±3，

/(-%)=ln|-2x+l|+ln|-2x-l|=ln|2x+1|+ln|2x-1|=f(x),即函数/(x)为偶函数，

/(%)=ln|2x+1|+ln|2x-1|=ln|4x2-1|,

设t=|4%2—1|,X±1,则y=

4%2—1,%<-1

1—4x2,—|<%<

(4%2-l,x>

在区间(一叫一手、(0弓)上，亡=|4%2-1|为减函数，而丫=仇亡为增函数，则/(%)为减函数，

在区间(一表0)、C，+8)上，t=|4/一1|为增函数，而y="t为增函数，则/(%)为增函数，

故选：A.

根据题意，先求出函数的定义域，分析f(-%)与f(%)的关系，即可得函数的奇偶性，设£=|4/-1|,

贝的=》3由复合函数的单调性判断方法分析可得了。)的单调性，综合即可得答案.

本题考查复合函数的单调性以及函数奇偶性的判断，涉及分段函数的单调性，属于基础题.

11.答案：BCD

解析：

本题考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于中档题.

根据对数的运算性质和不等式的性质判断ABC,根据基本不等式判断。.

解：设a=[0926/=则a+b=log26+log3；=log26-log36>0,故A错误；

1-1=log62+log63=log66=1,故B正确；

a=log26>0,b=log3^<0,

ab<0,故正确；

22222

,+表=(log62)+(-log63)=(log62)+(log63)=(log62+log63)-2log62log63>1-2x

(小产史)2=1-：=：,故O正确.

故选：BCD.

12.答案：BCD

解析：解：设4B=1,建立空间直角坐标系如图所示:

对于4,4式1,0,1),C(0,1,0),所以石■?=

1N©1,1,1),。式0,0,1),

所以而=(一：,0,1席?=C，L0)，

设平面D]MN的法向量为元=(x,y,z),

n-MN=0\--x4--z=0

则，即—

n-D^N=0

令％=1,得y=-g,z=l,所以元=(1,一/1),

因为砧与记不共线，所以因为G/7/DiC〃4/,

所以41c与平面D1MN不垂直，选项A错误；

对于B,P(0ji),PM=(l,0,0),点P到平面DiMN的距离为di=k=W『=3

N/11T"T*1

74

___>1,IDMnll1-7+zl2

£>(0,0,0),DM=(1,1，5),点。到平面。1"7的距离为d2==3,

所以点P与点D到平面DiMN的距离相等，选项B正确；

对于C,连接45，AM,则四边形4D1MN是平面为MN截正方体4BCD-AIBICI£)I所得截面图形，

因为MN〃AD「且MNH4C1，所以四边形AZ^MN是梯形，

又因为4M=DiN,所以梯形4D1MN是等腰梯形，选项C正确；

对于D,平面QMN将正方体4BCC-4IBIGDI分割成的上、下两部分，

计算几何体B1MN--414D1的体积为匕=2x(Zx*x1+l-x-x---x1x1+-xlxl)xl=—.

322272222224

另一部分几何体的体积为%=13-3=葛，

所以上、下两部分的体积之比为匕：V2=7：17,选项。正确.

故选：BCD.

设4B=1,建立空间直角坐标系，利用向量表示直线的方向向量，求出平面。的法向量，由此

判断41c与平面QMN不垂直，得出选项A错误；

分别计算点P到平面DiMN的距离和点。到平面D】MN的距离，判断选项B正确；

画出平面QMN截正方体4BCD-/IIBIGDI所得截面图形，判断四边形A/MN是等腰梯形，得出选

项C正确；

计算平面。1MN将正方体分割成的上、下两部分体积，求出体积比，判断选项。

正确.

本题以命题的真假判断为载体，考查空间中的线面之间的关系和多面体的体积计算问题，是中档题.

13.答案：一：

解析：解：基函数/(攵)的图象经过点(41)，

解得a=—

故答案为：-

把点的坐标代入基函数/。)的解析式，求出a的值即可.

本题考查了用待定系数法求事函数解析式的应用问题，是基础题目.

14.答案：!

解析：解：化简可得cos2G+»

l+cos(a+^)

2

.1

_1-sina_1_3_1

-2-2-3

故答案为：I

由二倍角的余弦公式的变形应用及诱导公式可把原式变为siTia的式子，代值计算可得.

本题考查二倍角的余弦公式的变形应用，属基础题.

15.答案：解：(1)/(x)=2y/3sinxcosx+2cos2x-1=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

6

由2/CTT4—W2xH—42/CTTH--(kGZ),

262

求得左兀+^<X</C7T+y(/c6Z),

・•・f(%)的单调递减区间为[k/r+3々兀+eZ).

oo

(2)/(a+,)=y/(a-^),2sm(2a+])=V3sin(2a),

^2cos2a=>/3sin2aytan2a=竽.

若角a,£的终边不共线，且f(a)=f(6)，

・・・讥讥夕+-),

2s(2a+6-)6=2s(2

*,*2a+&+234~~=2/CTT+TT,kWz,•••a+/?=ku+—,

故tan(a+0)=V3.

tan(a—S)=tan[2a—(a+S)]

2V30

tan2a—tan(a+0)V3

1+tan2atan(a+/?)2A/3有

1H——xV3

-----V-3-.

9

解析：(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求

解即可.

(2)由题意可得tan2a的值，2sin(2a+$=2s讥(20+弓)，由此求得a+0的值，利用角的变换可得

tan(a-/?)的值.

本题主要考查利用三角恒等变换进行化简求值，复合三角函数的单调性与对称性，属于中档题.

16.答案：2

解析：解：log256(2,3),log25-2<1.

函数/'(X)=>r则/。%5)=/(log25-l)=/(log25-2)=/(log2^)=2,喏=

故答案为：

判断10g25的范围，利用分段函数求解函数值即可.

本题考查分段函数的应用，函数值的求法，对数运算法则的应用，考查计算能力.

17.答案:解：(l)sin50℃l+V3tanl0°)=sin50°(l+

2GcoslO0+sinlO°)

coslO°+V3sinl0°

=sm50°•=sin500•

coslO0coslO°

2sin40°sin80。

=sm50°•

COS10°cos100

(2),・,sinx—cosx=sin2%+cos2x=1,

又0<x<71,

：•sinx>0.

sinx=-4

解方程组可得

cosx=|

247

・•・sin2x=2sinxcosx=—,cos2x=cosz7x—sin7zx=——

y[2.Qyf2o6-24—遮X(—乙)=卫立

・•・sin(2x—g)=—sm2x----cosLX=­x—

222252,25750

解析：(1)利用切化弦，然后利用三角函数的诱导公式化简即可;

(2)利用同角三角函数基本关系式以及三角函数的诱导公式化简求值即可.

本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题.

18.答案：(本题满分12分)

解：⑴由最低点为M(g,-2),得4=2,

由T=7T得3=—=—=2,:./(%)=2sin(2x+9).

由点M(第一2)在图象上,得2s出(等+@)=-2即sin(等+0)=-1,

即

—3+(p=2k7i―2―,kWZ,0=2/CTT—6—■>kEZ,

又3G(05)，.・.：・①=7，/(x)=+g).

Lk=\O,2Osin(2x

(2)vxG[0,^]..-.2x+=e[=J,

...当+(=a即x=0时，f(x)取得最小值1；

当2》+看=今即％时，/(x)取得最大值亚

解析：(1)利用函数的周期以及函数的最值，求解43,0即可得到函数的解析式.

(2)通过x的范围求出函数的相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可.

本题考查三角函数的解析式的求法，注意正弦函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

19.答案:解：(1)函数/(%)=ln(ex+Q+1)(。为常数)是实数集R上的奇函数，故f(0)=ln(2+a)=0,

・•・a=—1,

函数/(%)=ln(ex)=x.

(2)由(1)知，关于x的方程照=久2-2ex+m,即止=M-2ex+m.

令/i(X)=%(%)=x2-2ex+m,1•/(x)='*，故当xG(0,e]时，//(x)>0,函数人(x)=?

为增函数；

当x>e时，f；(x)<0,函数人(x)=卓为减函数，故当无=e时，A(x)=?取得最大值为方

对于函数力(久)=M-2ex+m,在(0,e]上是减函数，在(e,+8)上是增函数，

故当x=e时，函数心(x)=x2-2ex+nt取得最小值为m-e2.

要使关于x的方程箫=/-26%+6有且只有一个实数根，只有!=m—e2,求得m=e2+5,

2

即当m=e2+｝时，关于x的方程卷=x-2ex+m有且只有一个实数根.

解析：(1)由条件利用其函数的性质，求得实数a的值.

22

(2)关于x的方程即手=x-2ex+m,令/i(x)=等，f2(x)=x-2ex+m,利用导数求得万⑶=

W取得最大值为%函数月。)=/一2"+6的最小值为根—02.再根据i=巾一02,求得m的值.

本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，函数的恒成立问

题，属于中档题.

20.答案：解：(l)f(x)=asinxcosx—\[3acos2x+ya+h

a73V3

=—sinlx———a(l+cos2x)+—a4-h

=asin(2x—g)+b,

因为a>0,

则由$+2/CTTW2.X——w+2/CTT,kWZ,

则与+kTiWxW—Fkji,k£Z,

则函数