规律探究题2021年一模（解析版）

规律探究题2021年一模1．观察以下等式：第1个等式：100-9×11=1；第2个等式：400-18×22=4；第3个等式：900-27×33=9；第4个等式：1600-36×44=16；第5个等式：2500-45×55=25；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n用的等式表示），并证明．【答案】（1）3600-54×66=36；（2），证明见解析．【分析】（1）根据所给等式，直接写出即可．（2）观察、分析题目发现每一个等式的结果是等式序号的平方，等式的第一个数是它序号10倍的平方，第二个数是序号的9倍，第三个数是序号的11倍，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意可以推导出：第6个等式为：3600-54×66=36；（2）猜想第n个等式为：（10n）2-9n×11n=n2；证明：左边=100n2-99n2=n2=右边，所以原等式成立．【点睛】本题为规律型题目，分析并找出题中的规律是解题的关键．2．观察与思考：我们知道，，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：......（1）推算：___________；（2）概括：___________；（3）拓展应用：求的值．【答案】（1）15；（2）；（3）5050【分析】（1）由前四个图可以直接推出．（2）由（1）分析可知，第n个算式=（1+2+3+…+n）2=．（3）由（2）可知，13+23+33+…+1003=（1+2+3+…+100）2=，进而求出这个算式的和．【详解】（1）∵13=12，13+23=32=（1+2）2，13+23+33=62=（1+2+3）2，13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2，∴13+23+33+43+53==（1+2+3+4+5）2=152；故答案为：15；（2）由（1）可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=，故答案为：；（3）【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键．3．观察下列等式：①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…（1）请按以上规律写出第⑥个等式：；（2）猜想并写出第n个等式：；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：＝．【答案】（1）；（2），见解析；（3）4752【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；（2）根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证；（3）根据=2，＝3，＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，进而可得答案．【详解】解：（1）第⑥个式子为：；故答案为：；（2）猜想第n个等式为：，证明：∵左边=＝右边，故答案为：；（3）原式＝1+2+3+…+97-1＝-1＝4752．故答案为：4752．【点睛】此题考查有理数计算规律探究，有理数的四则混合运算，因式分解的应用，根据例子得到式子的构成规律并应用解决实际问题是解题的关键．4．观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：__________________________；（2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得：故答案为：；（2）∵第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：…∴第n个等式：∵，∴等式成立；故答案为：，证明见解析．【点睛】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．5．观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5①52-4×22=9②72-4×32=13③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92—4×（）2=（）；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.【答案】（1）4，17；（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，证明见解析.【详解】试题分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解：（1）32﹣4×12=5①52﹣4×22=9②72﹣4×32=13③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=4n+1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=4n+1．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．6．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）请写出第5个等式：_____________________；（2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；（2）依据（1）中的规律，将特殊转化为一半即可；【详解】解：（1）；（2）；证明：右边左边；∴等式成立．【点睛】本题主要考查了数字找规律，准确计算是解题的关键．7．观察下列等式：①；②；③；……（1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________；（2）猜想并写出第个等式：_____________________；（3）请证明猜想的正确性．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据题目中式子的特点，可以写出第④个等式；（2）根据题目中式子的特点，可以写出相应的猜想；（3）根据分式的加减法可以证明猜想