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文档简介
江西奉新县2023-2024学年高考数学考前最后一卷预测卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直线过双曲线C:的左焦点F,且与双曲线C在第二象限交于点A,若(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为A. B. C. D.2.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.903.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.4.已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.15.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.6.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.7.已知且,函数,若,则()A.2 B. C. D.8.设集合,,若,则()A. B. C. D.9.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为A. B. C. D.10.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A. B. C. D.11.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.160012.已知数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和,则数列的前2020项和为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在等差数列()中,若,,则的值是______.14.在平面直角坐标系中,点在曲线:上,且在第四象限内.已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________.15.设复数满足,其中是虚数单位,若是的共轭复数,则____________.16.某校初三年级共有名女生,为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况,统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)一张边长为的正方形薄铝板(图甲),点,分别在,上,且(单位:).现将该薄铝板沿裁开,再将沿折叠,沿折叠,使,重合,且重合于点,制作成一个无盖的三棱锥形容器(图乙),记该容器的容积为(单位:),(注:薄铝板的厚度忽略不计)(1)若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖,求,的值;(2)试确定的值,使得无盖三棱锥容器的容积最大.18.(12分)某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险,现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析,按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如下图所示;参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计,该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄(单位:岁)保费(单位:元)(1)用样本的频率分布估计总体分布,为使公司不亏本,求精确到整数时的最小值;(2)经调查,年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元,如果参保,保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁,若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元;若没有购买该项保险,针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小,并判断该老人购买此项保险是否划算?19.(12分)已知抛物线:的焦点为,过上一点()作两条倾斜角互补的直线分别与交于,两点,(1)证明:直线的斜率是-1;(2)若,,成等比数列,求直线的方程.20.(12分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.21.(12分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.22.(10分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
直线的倾斜角为,易得.设双曲线C的右焦点为E,可得中,,则,所以双曲线C的离心率为.故选B.2、A【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.3、D【解析】
根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.4、A【解析】
由可确定集合中元素一定有的元素,然后列出满足题意的情况,得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4种情况,所以选A项.【点睛】考查集合并集运算,属于简单题.5、C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.6、D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.7、C【解析】
根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,∴,则,则.即.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.8、A【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.9、C【解析】
因为,,所以根据正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因为存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正数的取值范围为,故选C.10、D【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意,,故,故,故,故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.11、B【解析】
由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.12、D【解析】
由题意,设每一行的和为,可得,继而可求解,表示,裂项相消即可求解.【详解】由题意,设每一行的和为故因此:故故选:D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-15【解析】
是等差数列,则有,可得的值,再由可得,计算即得.【详解】数列是等差数列,,又,,,故.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的性质,也可以由已知条件求出和公差,再计算.14、【解析】
先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.15、【解析】
由于,则.16、【解析】
根据数据先求出,再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解:,.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为:.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面积,再由已知得到平面,代入三棱锥体积公式求的值;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,写出三角形面积,求其平方导数的最值,则答案可求.【详解】解:(1)由题意,为等腰直角三角形,又,,恰好是该零件的盖,,则,由图甲知,,,则在图乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由题意知,在等腰三角形中,,则,,.令,,,.可得:当时,,当,时,,当时,有最大值.由(1)知,平面,该三棱锥容积的最大值为,且.当时,取得最大值,无盖三棱锥容器的容积最大.答:当值为时,无盖三棱锥容器的容积最大.【点睛】本题考查棱锥体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用导数求最值,属于中档题.18、(1)30;(2),比较划算.【解析】
(1)由频率和为1求出,根据的值求出保费的平均值,然后解一元一次不等式即可求出结果,最后取近似值即可;(2)分别计算参保与不参保时的期望,,比较大小即可.【详解】解:(1)由,解得.保险公司每年收取的保费为:∴要使公司不亏本,则,即解得∴.(2)①若该老人购买了此项保险,则的取值为∴(元).②若该老人没有购买此项保险,则的取值为.∴(元).∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算.【点睛】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力,掌握频率分布直方图的基本性质,知道数学期望是平均数的另一种数学语言,为容易题.19、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设,,由已知,得,代入中即可;(2)利用抛物线的定义将转化为,再利用韦达定理计算.【详解】(1)在抛物线上,∴,设,,由题可知,,∴,∴,∴,∴,∴(2)由(1)问可设::,则,,,∴,∴,即(*),将直线与抛物线联立,可得:,所以,代入(*)式,可得满足,∴:.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,在处理直线与抛物线位置关系的问题时,通常要涉及韦达定理来求解,本题查学生的运算求解能力,是一道中档题.20、【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,可得圆心到直线的距离,再由勾股定理,计算即得.【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,可得曲线C:()的直角坐标方程为,表示以原点为圆心,半径为r的圆.由直线l的方程,化简得,则直线l的直角坐标方程方程为.记圆心到直线l的距离为d,则,又,即,所以.【点睛】本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,是基础题.21、(1);(2)【解析】
(1)首先通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先确定m的值,然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】(1)因为函数定义域为,即恒成立,所以恒成立由单调性可知当时,有最大值为4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,
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