湖南省岳阳市临湘市2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

数学试卷总分：120时长：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1.下列运算正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：A.，原式错误；B.，原式错误；C.，计算正确；D.，原式错误；故选：C．2.国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”国家环保部门大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及1375000000中国人，请将1375000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：B解析：解：．故选：B．3.观察如图所示几何体，从正面看到的图形是长方形的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解：A．从正面看到的图形是等腰三角形，故本选项不合题意；B．从正面看到的图形是长方形，故本选项符合题意；C．从正面看到的图形是等腰三角形，故本选项不合题意；D．从正面看到的图形是梯形，故本选项不合题意；故选：B．4.下列事件是必然事件的是（）A.任意选择某电视频道，它正在播新闻联播B.温州今年元旦当天的最高气温为15℃C.在装有白色和黑色袋中摸球，摸出红球D.不在同一直线上的三点确定一个圆答案：D解析：解：A.任意选择某电视频道，它正在播新闻联播，是随机事件，选项不符合；B.温州今年元旦当天的最高气温为15℃，是随机事件，选项不符合；C.在装有白色和黑色的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，选项不符合；D.不在同一直线上的三点确定一个圆，是必然事件，选项符合.故选：D.5.如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（）A. B. C. D.答案：B解析：解：由题意可得：，，∴当时，可根据可证，故选：B．6.如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（）A.70° B.75° C.80° D.85°答案：A解析：解：由折叠的性质得到，∠EBD＝∠CBD，∵∠CBD＝35°，∴∠EBC＝2∠CBD＝70°，∵ADBC，∴∠AFB＝∠EBC＝70°，故选：A．7.半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，－4）与⊙O的位置关系是（）A.在⊙O上 B.在⊙O内 C.在⊙O外 D.不能确定答案：A解析：解：∵圆心P的坐标为（3，-4），

∴，

∵⊙P的半径为5，

∴原点O在⊙P上．

故选：A．8.某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩.设原计划购买口罩包，则依题意列方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：设原计划购买口罩包，则实际购买x+5包，则，故选：B．9.如图，反比例函数和正比例函数的图像交于、两点，若，则的取值范围是（）A.或 B.或C. D.答案：A解析：解：根据图象，当，即反比例函数的值大于正比例函数值时自变量的取值范围为0＜x＜2或x＜-2，

故选：A．10.如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：D解析：解：①∵在正方形中，，∴，∴，∴，，故①正确；②∵在正方形中，，∴，∴，∵，E为的中点，四边形是正方形，∴，∴，故②正确；③如下图所示，过H点作，∵，∴，∴，∴，∴，故③正确；④过点B作于点P，交延长线上于点Q，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，由①得，∴，∵E是的中点，∴，，∵，，∴，∴四边形是正方形，∴，故④正确；⑤如图所示，连接，设，则，∵，∴，，由面积得，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.因式分解：________．答案：解析：解：．故答案为：12.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．答案：且解析：解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴k-2≠0且Δ=42-4（k-2）×2≥0，解得k≤4且k≠2．故答案为：且．13.一个直角三角形房梁如图所示，其中，，，，垂足为，那么________________．答案：解析：解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为：14.一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是________．答案：10解析：S=4×5÷2=10(cm2)．故答案为：10．15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_____．答案：60π解析：解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．∴母线长AB＝=10，半径r为6，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝10×6×π＝60π．故答案为60π．16.已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为___．答案：8解析：∵y＝ax2－4ax+c（a≠0），∴对称轴为直线，∵点A的坐标为(－2，0)，且A、B两点关于直线x=2对称，∴点B的坐标为(6，0)，∴AB=6－(－2)=8．故答案为：8．三、解答题（共9题，第17、18、19题每小题0分，第20、21题每小题0分，第22、23题每小题0分，第24、25题每小题0分，共计72分）17.计算：．答案：0解析：解：原式==0，故答案为：0.18.先化简，再求值：，其中．答案：，．解析：解：当时，原式．19.如图，在直角坐标平面内，已知点，点，点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）若P坐标为，过点P作直线轴，点A关于直线l的对称点是D，求△BCD的面积．答案：（1）（2）小问1解析：解：∵点A（8，0），点B（3，0），∴AB＝5，∵点C是点A关于点B的对称点，∴BC＝AB，则点C的坐标为（−2，0）；小问2解析：解：如图所示：根据题意可知，点D的坐标为（8，4），∴，，∴．20.为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为，在扇形统计图中，m的值为．（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．答案：（1）40人，30；（2）800人；（3）．解析：解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为200×20%＝40（人），则选择“书画展览”的人数为200﹣(40＋80＋20)＝60（人），∴在扇形统计图中，m%＝×100%＝30%，即m＝30，故答案为：40人，30；（2）估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2000×＝800（人）；（3）列表如下：abcda(b，a)(c，a)(d，a)b(a，b)(c，b)(d，b)c(a，c)(b，c)(d，c)d(a，d)(b，d)(c，d)由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，所以a同学参加的概率为＝．21.已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求四边形的面积．答案：（1）见解析；（2）解析：（1）证明：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，平行四边形为矩形；（2）解：四边形是菱形，，，，，，是等边三角形，，，．由（1）可知，四边形是矩形，矩形的面积．22.某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽永州”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案?答案：（1）A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元（2）共有2种购买方案，方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．小问1解析：解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，依题意得：，解得：．答：型垃圾桶的单价为80元，型垃圾桶的单价为60元．小问2解析：解：设购进型垃圾桶个，则购进型垃圾桶个，依题意得：，解得：．又为正整数，可以取29，30，该社区共有2种购买方案，方案1：购进型垃圾桶29个，型垃圾桶21个；方案2：购进型垃圾桶30个，型垃圾桶20个．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：（1）证明：作OF⊥AB于F∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º∴OC=OF∴AB是⊙O的切线（2）连接CE∵AO是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=∠CAD∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧∴∠ACE=∠CDE∴△ACE∽△ADC∴=tanD＝（3）先在△ACO中，设AE=x,由勾股定理得(x＋3)²=(2x)²＋3²，解得x=2,∵∠BFO=90°=∠ACO易证Rt△BOF∽Rt△BAC得，设BO=yBF=z即4z=9＋3y，4y=12＋3z解得z=y=∴AB=＋4=考点：圆的综合题．24.我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”．（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长”，“立信角”，请直接写出立信△ABC面积的最大值；（2）如图（2），在△ABD中，，，C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角，求立信△ABC面积的最大值；（3）如图（3），已知立信长（a是常数且），点C是平面内一动点且满足立信角，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．答案：（1）1（2）（3）是定值为小问1解析：解：∵，，点在以为直径，中点O为圆心的圆上运动，当时，取得最大值，此时AB=2，OC=1，此时．小问2解析：如图，过点作于点，，，，，，，，，，在以为半径，为圆心的上运动，当时，取得最大值，设的半径为，则，当三点共线时，取得最大值，此时，此时；小问3解析：解：如图，当位于上方时，，，ABC，∠BAC的平分线交于点D，，在的上运动，，所对的圆心角为，即，则是等边三角形，则的半径为，点D的运动轨迹为，长度为，当点位于的下方时，同理可得，综上所述，点D的运动轨迹长度是．25.如图，已知抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作，交x轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的横坐标；（3）点G为抛物线的顶点，抛物线对称轴与x轴交于点H，连接GB，点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当时，求点M的坐标；②过点M作轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，求m的值．答案：（1）；（2）（3）①或；②或或或小问1解析：解：∵抛物线经过，，∴设，将代入，得，解得即；小问2解析：如图，过点作于点，,，，是等腰直角三角形，轴