2020-2021学年新教材高中数学-课时素养检测一-正弦定理(含解析)新人教B版必修第四册-2

2020-2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理（含解析）新人教B版必修第四册-2020_2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理含解析新人教B版必修第四册2020-2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理（含解析）新人教B版必修第四册-2020_2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理含解析新人教B版必修第四册PAGE/2020-2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理（含解析）新人教B版必修第四册-2020_2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理含解析新人教B版必修第四册一正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,B=60°,则C等于 ()A.30° B.45° C.150° D.30°或150°【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,B=60°,则由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,因为c<b,所以C=30°.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=QUOTE,则b= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选A.因为在△ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得b=1.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形【解析】选B.由正弦定理可以得到sinBcosC+sinCcosB=sin2A,故sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.因为A∈(0,π),故sinA≠0,所以sinA=1.因为A∈(0,π),故A=QUOTE,所以△ABC为直角三角形.4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccosA,QUOTEsinA=1,则sinC的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为QUOTEsinA=1,即sinA=QUOTE.又a=2ccosA,cosA=QUOTE>0,所以cosA=QUOTE.由条件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即QUOTE=2×QUOTEsinC,所以sinC=QUOTE.5.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形 ()A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsinA<a<b,所以B有两解.6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能正确的是()A.a=2b B.b=2aC.C=QUOTE D.C<QUOTE【解析】选AC.由sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,得sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,C=QUOTE或2b=a.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且QUOTEa=2csinA,则角C=________.

【解析】由QUOTEa=2csinA及正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为sinA≠0,所以sinC=QUOTE,又因为△ABC是锐角三角形,所以C=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,若AB=QUOTE,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________.

【解析】如图所示,由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE.且AB>AC,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=QUOTEAC·AB·sinA=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知△ABC中,a=QUOTE,b=QUOTE,B=45°,求A,C和边c.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.因为a>b,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=QUOTE=QUOTE;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】若在△ABC中,AC=QUOTE,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,故BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,△ADC是△ABD面积的QUOTE倍.(1)求QUOTE的值.(2)若A=30°,AB=1,求AD的值.【解题指南】(1)根据△ADC是△ABD面积的QUOTE倍列式,由此求得QUOTE的值.(2)用B表示C,利用正弦定理和两角差的正弦公式,化简(1)所得QUOTE的表达式,求得tanB的值,进而求得∠ADB的值,利用正弦定理求得AD的值.【解析】(1)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)因为A=30°,所以C=150°-B,由(1)得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTEcosB+QUOTEsinB,即sinB=-QUOTEcosB,得tanB=-QUOTE.易得B=120°,因为AD平分∠BAC,所以∠ADB=30°+15°=45°.因为AB=1,由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE=QUOTE,得AD=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知△ABC中,a=1,b=QUOTE,B=45°,则A等于 ()A.150° B.90° C.60° D.30°【解析】选D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.又a<b,所以A<B=45°.所以A=30°.2.在△ABC中,若内角满足A>B,则下列结论一定正确的是 ()A.sinA>sinB B.sinA<sinBC.sinA>cosB D.cosA>cosB【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.【解析】选A.设A,B对应的边分别为a,b,因为A>B,所以a>b,由正弦定理得,2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.3.在△ABC中,若sinA>sinB,则A与B的大小关系为 ()A.A>B B.A<BC.A≥B D.A,B的大小不能确定【解题指南】先由正弦定理说明a>b,然后再根据△ABC中大角对大边的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB.因为sinA>sinB.所以a>b,所以A>B.4.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若QUOTE=QUOTE,则△ABC的形状是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.由已知QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE或QUOTE=0,即C=90°或QUOTE=QUOTE.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=QUOTEbsinA,则sinB=________.

【解析】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA=QUOTEsinB·sinA,故sinB=QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则QUOTE=________.

【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,QUOTE=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即QUOTE=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则cosB=________.

【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因为A-C=90°,所以2sinB=sin(90°+C)+sinC.所以2sinB=cosC+sinC.所以2sinB=QUOTEsin(C+45°).①因为A+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-QUOTE,代入①式中,2sinB=QUOTEsinQUOTE.所以2sinB=QUOTEcosQUOTE.所以4sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE.所以sinQUOTE=QUOTE.所以cosB=1-2sin2QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则QUOTE的值等于________,AC的取值范围为________.

【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=θ⇒B=2θ.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=1⇒QUOTE=2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°,又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒QUOTE<cosθ<QUOTE,所以AC=2cosθ∈(QUOTE,QUOTE).答案:2(QUOTE,QUOTE)三、解答题(共38分)9.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2QUOTE,A=30°,试求ac的值.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由条件b=6,a=2QUOTE,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2QUOTE,b=6,c=4QUOTE,所以ac=2QUOTE×4QUOTE=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,则有a=c=2QUOTE.所以ac=2QUOTE×2QUOTE=12.10.(12分)已知在△ABC中,D为BC中点,cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,(1)求∠BAC的值.(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因为cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD=QUOTE,sin∠CAD=QUOTE,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE,因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.(2)在△ABC中,QUOTE=QUOTE,在△ABD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又因为BC=2BD,所以QUOTE=QUOTE.11.(14分)如图所示,扇形AOB,圆心角∠AOB为60°,半径为2,在弧AB上有一动点P.过P引平行于OB的直线交OA于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.【解析】因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以C