第二十四章《圆》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

第二十四章《圆》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．A【分析】根据圆、圆心角、弧、弦的相关知识进行解答即可．【详解】解：圆心角性质是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此①错误；平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，因此②项错误；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，因此③错误；经过圆心的直线是圆的对称轴，因此④正确．故选A．【点睛】本题主要考查圆圆、圆心角、弧、弦等知识点，解决本题的关键是要熟练掌握圆的相关性质和定理．2．B【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．【详解】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．3．C【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．4．D【分析】根据垂径定理可得,再利用勾股定理直接求得的长，即可得出答案．【详解】解：设半径为，，，根据垂径定理得：，，在中，，，，解得，即的半径为5．故答案为：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算．5．A【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故选：A．【点睛】本题考查了切线性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．C【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，利用底面周长即为扇形的弧长计算即可．【详解】解：圆锥的高为4，母线长为5，由勾股定理得：圆锥的底面半径为：，展开扇形的弧长为：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．7．C【分析】作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，然后证明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即可求出DE的长度．【详解】解：作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，如图则四边形BCGF是矩形，，，∵，点F是AB的中点，∴，∴四边形BCGF是正方形，∴∠GFH=90°，∵DE是直径，则∠DFE=90°，∴，∴，∵，，∴△DFG≌△EFH，∴DF=EF，∵在直角△DFG中，，，∴，在直角△DEF中，；故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，证明DF=EF．8．D【分析】根据圆中弦的概念可判断①，根据等弧的概念结合圆心角与弧的关系可判断②，根据垂径定理的推论可判断③，根据四点共圆的判定方法可判断④，根据切线的性质可判断⑤，从而可得答案．【详解】解：直径是圆中最长的弦；说法正确，故①符合题意；等弧是能够互相重合的弧，则等弧所对的圆心角相等；说法正确，故②符合题意；平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；原说法不准确，故③不符合题意；对角互补的四边形内接于圆；这是四点共圆的判定方法，说法正确，故④符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，说法正确，故⑤符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是圆中的基本概念，垂径定理，弧，圆心角的关系，四点共圆的判定，切线的性质定理，掌握以上基本概念与定理是解本题的关键．9．C【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=40°．【详解】解：∵AB是直径，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．10．D【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【详解】解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，∴圆的直径为7﹣2＝5（cm），∴该圆的半径是2.5cm；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，∴圆的直径＝7+2＝9（cm），∴圆的半径为4.5cm，故选：D．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．11．D【分析】过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得．【详解】解：如图，过点作于点，由题意得：边心距，六边形是正六边形，，是等边三角形，，，，解得，则正六边形的周长为，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．12．C【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．【详解】如图，连接,，边长为的正方形内接于，即，，，为的直径，，，分别与相切于点和点，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，．故选C．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．110°##110度【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得到∠AEC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求得∠ADC的度数．【详解】解：∵点是的中点，∴，∴∠AED=∠CED=35°，∴∠AEC=70°，∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=110°．故答案为：110°【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．14．70【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB是⊙O的切线，即可得∠PAO=∠PBO=90°，又由∠APB=40°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB=40°，∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故答案为：70．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．20【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到，求出r即可．【详解】解：设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，∵，∴四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，∴OD=（r-8）cm，在Rt△AOD中，即，解得：r=20，即该圆的半径为20cm．故答案为：20．【点睛】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．16．【分析】先作出辅助线，进而得出两个弓形的面积相等，即可确定阴影部分的面积等于△BCD的面积，计算求解即可.【详解】如图，连接BD．∵菱形ABCD中∠A=60°，∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形．∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积．∴阴影部分的面积等于△BCD的面积．过点D作，于点E，在Rt△CDE中，CD=4cm，CE==2cm，∴，∴△BCD的面积等于（cm2），即阴影部分的面积等于cm2．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积是解题的关键．17．##【分析】作关于的对称点，取中点，连接，，，由题意可得出点的运动轨迹，同时通过作点关于的对称点的方式可以将进行转换，进而即可求解．【详解】解：如图所示，作关于的对称点，取中点，连接，，．可得，在以为直径的圆上，，为直角三角形，点M在以CD为直径的圆上，为斜边的中点，，此时当，，三边共线时，有长度的最小值等于，，分别是，的中点，，，，，长度的最小值为，

，的最小值为，故答案为．【点睛】本题主要考查了轴对称问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理及圆的基本性质，本题的重难点在于找出点的运动轨迹，属于中等题．18．(1)∠CAD=35°；(2)DE=4-．【分析】（1）由OD⊥AC，求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，进一步计算即可求解；（2）由勾股定理求出BC，根据垂径定理得出AE=EC，再根据三角形中位线定理求出OE，结合图形进一步计算即可求解．（1）解：∵OD⊥AC，∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，∵OA=OD，∴∠OAD==55°，∴∠CAD=55°-20°=35°；（2）解：∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∵AB=8，AC=6，∴BC=，∵OD⊥AC，∴AE=EC，∵OA=OB=OD=4，∴OE=BC=，∴DE=4-．【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活运用勾股定理是解题的关键．19．(1)见解析；(2)12【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论；（2）由切线长定理可得出答案．（1）证明：连接OB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°，在△APO和△BPO中，，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OB⊥PB，∴PB与⊙O相切；（2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；故答案为：12．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接OD，由切线性质得∠ODF=，进而证明∠BDF+∠A=∠A+∠B=，得∠B=∠BDF，便可得BF=DF；（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC=4-r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．（1）解：（1）连接OD，如图1，∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，∴∠ODF=，∴∠ADO+∠BDF=，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD+∠BDF=，∵∠C=，∴∠OAD+∠B=，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF；（2）连接OF，OD，如图2，设圆的半径为r，则OD=OE=r，∵AC=4，BC=3，CF=1，∴OC=4-r，DF=BF=3-1=2，∵∴∴．故圆的半径为．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，已知切线，往往连接半径为辅助线，第（2）题关键是由勾股定理列出方程．21．(1)60°(2)∠BOC=90°-∠A，见解析【分析】（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC和∠DCF的度数，再根据切线长定理得到∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70°，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，证明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，先求出∠A的度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF=120°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．（2）同（1）方法二求解即可．（1）解：方法一：由题意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，由切线长定理可知，∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70°，∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL)，Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，∴∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，∴∠EOF=120°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．（2）解：同（1）方法二可得，∠EOB=∠DOB，∠COD=∠COF，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．22．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：线段是的直径，，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．23．(1)见解析(2)2cm【分析】（1）连接OC，由切线的性质易得到，进而推出，结合易得，即可求解；（2）设半径为r，进而求出，然后根据勾股定理求解．（1）证明：连接OC，∵是⊙O的切线，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴BC平分∠PBD；（2）解：设半径为r，则，则，在Rt△POC中，由勾股定理得：，∴，∴，即⊙O的半径是2cm．【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，理解相关知识是解答关键．24．(1)B（1，）