第7章 锐角三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（解析版）

第7章锐角三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝＝，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指在直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．2．（2022·江苏淮安·九年级期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．3．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在4×4的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据勾股定理求出和的各边长，由三边对应成比例的两个三角形相似可得，所以可得，求值即可.【详解】解：由勾股定理，得，，，，，，，，，，.故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形，灵活利用正方形方格的特点是解题的关键.4．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．【详解】解：如图，连接AC在Rt△BEC中，BC=∵AD⊥BC，∴×BC×AD=8，即，解得，在Rt△ADB中，，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．5．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（

）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【答案】A【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．【详解】解：如图∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．6．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（）米．A．0.4 B．0.5 C． D．0.6【答案】D【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．【详解】解：在Rt△AOH中，sinA，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角形函数值进行计算即可．【详解】解：；故选C．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．8．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．【详解】解：∵sin60°＝，cos30°＝，∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）．故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．9．（2022·江苏盐城·九年级期末）在中，，，，则的（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由，，可利用锐角三角函数求出AC边的长，再利用勾股定理，即可求出BC的长．【详解】解：如图，在中，，，，在中，．故选D．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形以及勾股定理．10．（2022·江苏泰州·九年级期末）在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=，则△ABC的面积等于（）A．15 B． C．6 D．【答案】D【分析】作BC边上的高AD，由sinB=，即可求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】如图，作BC边上的高AD，∵sinB=，即，∴，∴AD=3，∴．故选D．【点睛】本题考查解直角三角形．正确画出图形，根据正弦值求出底边BC上的高是解题关键．11．（2022·江苏无锡·九年级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（

）A．30° B． C． D．【答案】C【分析】求斜坡的坡度，关键是斜坡的铅垂直高度和水平长度，根据已知条件，由勾股定理可求出AC的长即可得出结果．【详解】解:又∴斜坡AB的坡度故选：C．【点睛】本题主要考查了坡度的概念，涉及到构造直角三角形，用勾股定理求出相应的边长．二、填空题12．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在中，，是斜边上的中线，，，则的值是______．【答案】【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可．【详解】解：∵，是斜边上的中线，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如果是锐角，且，那么的值是_____．【答案】##【分析】在Rt，，，由，可设，则,勾股定理求出，即可得到答案．【详解】解：如图，在Rt，，，∵，∴设，则,由勾股定理得，∴，故答案为：【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知是锐角，，则=______°．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．15．（2022·江苏淮安·九年级期末）比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．【答案】＜【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．【详解】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度的增大而增大，∴sin50°＜sin60°，故答案为：＜．【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的前提．16．（2022·江苏·洪泽新区中学九年级阶段练习）若一斜坡的坡角为60°，则它的坡度________【答案】【分析】根据斜坡的坡度＝坡角的正切值，即可求解．【详解】解：∵斜坡的坡角为60°，tan60°=，∴斜坡的坡度，故答案是：.【点睛】本题主要考查斜坡的坡度，掌握斜坡的坡度＝坡角的正切值，是解题的关键．三、解答题17．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知：如图，在中，求的值．【答案】【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得．【详解】解：在中，∴，∴．【点睛】本题主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键．18．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）计算：．【答案】【分析】直接利用零指数幂和负指数幂运算法则、绝对值的运算、特殊三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：==【点睛】此题主要考查了零指数幂，负指数幂，绝对值的运算，三角函数值的运算，正确化简各数是解题关键．19．（2022·江苏·九年级专题练习）计算：4°．【答案】2【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．【详解】解：【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．20．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）在中，，分别是，，的对边．(1)已知，，求；(2)已知，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知直角边和斜边的长，可以利用的余弦即可求解；（2）根据余弦是邻边与斜边的比，已知斜边的长，由比例的性质即可求解．【详解】（1）解：如图所示，，，∴，根据特殊角的三角函数可知，；（2）解：如图所示，∵，，即，∴．【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键．21．（2022·江苏·沛县教师发展中心九年级阶段练习）如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，）【答案】63米【分析】设，可得，，在中，由即可求解．【详解】解：如图，，，．在中，，．．设，则，在中，，，解得．答：古塔的高度约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．【典型】一、单选题1．（2021·江苏·九年级专题练习）下列计算错误的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案.【详解】解：A.sin-sin=，故A符合题意;B.,故B不符合题意;C.,故C不符合题意;D.,故D不符合题意;故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义及运算，注意运算的准确性.二、填空题2．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_．【答案】．【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决．【详解】联立得，解得，或，∴点的坐标为，点的坐标为，∴，作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，，得，∴直线的函数解析式为，当时，，即点的坐标为，将代入直线中，得，∵直线与轴的夹角是，∴点到直线的距离是：，∴的面积是：，故答案为．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题3．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米．（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．（参考：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）【答案】（1）DE=1.6；（2）两段楼梯AD与BE的长度之比为5：3．【分析】（1）延长BE交AC于F，则∠BFC=∠DAC=37°，可得FC===6.4米，再由四边形ADEF为平行四边形，可得DE=AF，即可求解；（2）过E作EG⊥AC，垂足为G，则EG=MN=3米，可得EF===5米，再求出BF===8米，可得BE=3米，即可求解．【详解】解：（1）如图，延长BE交AC于F，则∠BFC=∠DAC=37°，∴=tan37°，∴FC===6.4米，根据题意得：DE∥AC，EF∥AD，∴四边形ADEF为平行四边形，DE=AF=AC-FC=8-6.4=1.6米；（2）过E作EG⊥AC，垂足为G，则EG=MN=3米，∴=sin37°，∴EF===5米，∴AD=EF=5米，∵=sin37°，∴BF===8米，∴BE=BF-EF=8-5=3米∴AD：BE=5：3，即两段楼梯AD与BE的长度之比为5：3．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．4．（2021·江苏·九年级专题练习）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．【详解】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，在Rt△DEB中，tan∠DBE=，∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．

又∵∠DAC=45°，∴AE=DE．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．

∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴，交于A、B两点，点C是BO的中点且（1）求直线AC的解析式；（2）若点M是直线AC的一点，当时，求点M的坐标.【答案】（1）（2）【分析】(1)令x=0得y=4，故B（0，4），由得|AO|=2，所以A（-2，0），再由C是BO的中点，得C（0，2），设AC的解析式为y=kx+b，把点A、点C的坐标代入即可；（2）分两种情况分别讨论即可求得．【详解】（1）令x=0得y=4，故B（0，4），∴BO=4∵∴，即AO=2，∴A（-2，0），∵C是BO的中点，∴C（0，2），设AC的解析式为y=kx+b，则解得：∴直线AC的解析式为：；（2）∵B（0，4），点C为BO中点．∴BC=2，S△ABC=S△AOC，∵S△ABM=2S△AOC，当M在第一象限时，∴S△BCM=S△AOC，∴BC•xM=×2×2，∴xM=2，代入y=x+2得y=4，∴M（2，4），当M在第三象限时，S△BCM=3S△AOC，即BC•|xM|=3××2×2，∴|xM|=6，∴xM=-6，代入y=x+2得y=-4，∴M（-6，-4），综上，M点的坐标为（2，4）或（-6，-4）．【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线的交点以及三角形的面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．6．（2021·江苏盐城·一模）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）（2）或（3）为定值，定值为8．【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．【详解】（1）∵抛物线经过点，．∴，解得：．∴抛物线的函数表达式为．（2）①若点在轴下方，如图1，延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点．∵当，解得：，∴∵，，∴，，，，∴中，，，∵，为中点，∴，，∴，即，∵，∴，∴中，，，∴，∴.∵，∴，∴中，，，.∴，，∴，，即，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线：.∵，解得：（即点），，∴.②若点在轴上方，如图2，在上截取，则与关于轴对称，∴，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线：.∵，解得：（即点），，∴.综上所述，点的坐标为或．（3）为定值.∵抛物线的对称轴为：直线，∴，，设，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线：，当时，，∴，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线：，当时，，∴，∴，为定值．【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．7．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．【答案】（1）（2，-4）

（2）

（3）（0,4）【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．【详解】解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．点D的坐标为；(2)如图所示：根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．故(3)如图所示：过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),故点F的坐标为(0,4)．【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．8．（2022·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)6(3)点的坐标为，或，或，或，【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数解析式即可求解；（2）根据面积比求出AE的长度，进而得到OE的长度，求出点E的坐标，结合点C的坐标，利用锐角三角函数的定义求解；（3）根据二次函数解析式求出点D的坐标，分两种情况：当四边形DCQP为平行四边形时；当四边形DCQP为平行四边形时来求解．（1）解：将，，代入解析式中，则有：，解得：．抛物线的解析式为：．（2）解：，．．．．点的坐标为，．又点的坐标为．在中，，，.（3）解：点的坐标为，或，或，或，．理由：，顶点的坐标为．①当四边形为平行四边形时，四边形为平行四边形，，．，即．．令，则．，点的坐标为，，，．②当四边形为平行四边形时，四边形为平行四边形，，．，即．，令，则．．点的坐标为，，，．综上所述，满足条件的点的坐标为，或，或，或，．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，理解相关知识是解答关键．9．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【答案】（1）证明见详解；（2）．【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．【详解】解：（1）证明：连接DE，∵∴∠CAD=∠CED，∵是的平分线，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD，∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE，∵AD为直径，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵为直径，∴是的切线；（2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴,∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴DE=DC=3，∴BC=BD+CD=8，在Rt中，∵，∴设AC=3x，AB=5x，∴，∵x＞0，∴x=2，∴AB=5x=10，AC=3x=6，∵△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，∴在Rt△ADE中，,∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，∴△ADE∽△AFD，∴，即,∴．【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．【易错】一．选择题（共1小题）1．（2022秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．【分析】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函数定义即可求．【解答】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．故选：A．【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求线段的长是求解本题的关键．二．填空题（共4小题）2．（2022春•泰兴市校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是．【分析】令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，依据正弦的定义即可得到sinB的值．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，所以sinB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握：锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦．3．（2022•钟楼区校级模拟）已知sinθ＝，则锐角θ＝60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：∵sinθ＝，∴锐角θ＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．4．（2022•宝应县一模）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，电梯最大通行高度BC为2.04m．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】根据题意可得∠CAB＝27°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答．【解答】解：由题意得：∠CAB＝27°，在Rt△ABC中，AC＝4m，∴BC＝AC•tan27°≈4×0.51＝2.04（m），∴电梯最大通行高度BC为2.04m，故答案为：2.04．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2022•泗阳县一模）在锐角△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，∠C＝α．则cosα＝．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义求出BD，AD的长，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴AD＝AB•sin60°＝8×＝4，BD＝AB•cos60°＝8×＝4，在Rt△ADC中，AC＝7，∴CD＝＝＝1，∴cosC＝＝，∴cosα＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．三．解答题（共13小题）6．（2022•宜兴市校级二模）计算：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0．（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，即可解答．【解答】解：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0＝2+﹣1＝；（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°；（2）化简：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，即可解答．【解答】解：（1）﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°＝﹣+（﹣）﹣3×1＝﹣1﹣3＝﹣4；（2）（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣4a2+b2＝﹣3a2+2ab+2b2．【点评】本题考查了绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．（2022•洪泽区一模）如图，一条河的两岸平行，小刚在A点处观测河对岸C点的一棵树，测得∠CAE＝60°；他沿河岸走了30米到达B点，此时观测河对岸D点的另一棵树，测得∠DBE＝45°，已知河宽50米，求两棵树之间的距离．（结果保留根号）【分析】过点C作CM⊥AE，垂足为E，过点D作DN⊥AE，垂足为E，根据题意可得CM＝DN＝50米，CD＝MN，然后在Rt△ACM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，再在Rt△BND中，利用锐角三角函数的定义求出BN的长，从而求出AN的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CM⊥AE，垂足为E，过点D作DN⊥AE，垂足为E，则CM＝DN＝50米，CD＝MN，在Rt△ACM中，∠CAE＝60°，∴AM＝＝＝（米），在Rt△BND中，∠DBE＝45°，∴BN＝＝50（米），∵AB＝30米，∴AN＝AB+BN＝30+50＝80（米），∴CD＝MN＝AN﹣AM＝（80﹣）米，∴两棵树之间的距离为（80﹣）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022•如皋市一模）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝42°，求点D离地面的高DE．（结果取整数，参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠B的度数，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝42°，∴∠B＝∠C＝69°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，在Rt△DEB中，DB＝140cm，∴DE＝DB•sin69°≈140×0.93≈130（cm），∴点D离地面的高DE约为130cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．11．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【分析】连接MC，过点M作HM⊥NM，根据题意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，从而利用平行线的性质求出∠CMN＝62°，进而求出∠CMH＝28°，然后在Rt△CMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2022•高新区二模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形BAC和EDF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，闸机通道的宽度（即BC与EF之间的距离）是66.4cm，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．（1）求闸机的“两圆弧翼扇形”展开最大时的圆心角的度数（即∠ABC或∠DEF的度数）；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，300人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约5分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数和一个人工捡票口平均每分钟检票人数．【分析】（1）连接AD，并向两方延长分别交BC，EF于点M，N，根据题意可得MN⊥BC，MN⊥EF，MN＝66.4cm，AD＝10cm，AM＝DN＝28.2cm，然后在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为2x人，根据题意可得﹣5＝，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接AD，并向两方延长分别交BC，EF于点M，N，由题意得：MN⊥BC，MN⊥EF，AM＝DN，∵MN＝66.4cm，AD＝10cm，∴AM＝DN＝（MN﹣AD）＝28.2（cm），在Rt△ABM中，AB＝60cm，∴sin∠ABM＝＝＝0.47，∴∠ABM＝28°，∴闸机的“两圆弧翼扇形”展开最大时的圆心角的度数为28°；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为2x人，由题意得：﹣5＝，解得：x＝30，经检验：x＝30是原方程的根，当x＝30时，2x＝60，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人，一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为30人．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．13．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【分析】过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，从而求出EF，DM的长，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出MN的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（2022•天宁区模拟）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）根据题意可得AF∥DM，从而可得∠ACM＝α，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，即可解答；（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，根据题意可得AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，∠BDC＝30°，然后在Rt△BDN中，利用锐角三角函数定义求出DN的长，从而求出DM的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：AF∥DM，∴∠ACM＝∠FAC＝α，在Rt△AMC中，MC＝米，tanα＝2，∴AM＝MC•tan∠ACM＝25×2＝50（米），∴无人机的飞行高度AM为50米；（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，则AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，∵AF∥DM，∴∠FBD＝∠BDC＝30°，在Rt△BDN中，DN＝＝＝150（米），∴DM＝MN+DN＝150+25＝175（米），∴CD＝DM﹣MC＝175﹣25≈132（米），∴河流的宽度CD约为132米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）【分析】过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，从而可得四边形MNCD是矩形，进而可得DM＝CN，先在RtABM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，并且可以求出∠ABM＝30°，从而求出∠CBD＝20°，进而求出∠BCD＝70°，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，∴∠AMB＝∠BME＝∠CNM＝∠CDM＝∠CDB＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴DM＝CN，在RtABM中，∠BAE＝60°，AB＝20cm，∴∠ABM＝90°﹣∠BAE＝30°，BM＝AB•sin60°＝20×＝10（cm），∵∠ABC＝50°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，在Rt△BCD中，BC＝10cm，∴BD＝BC•sin70°≈10×0.94＝9.4（cm），∴DM＝BM﹣BD＝10﹣9.4≈7.9（cm），∴DM＝CN＝7.9cm，∴点C到AE的距离为7.9cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．16．（2022•高邮市模拟）如图1，某商场门口放置一台可伸缩的测温仪，底座AB与地面垂直，底座高AB＝30cm，连杆BC＝CD＝80cm，BC、CD与AB始终在同一平面内．（1）如图2，转动连杆CD使∠BCD成平角，转动连杆BC使∠ABC＝145°，求连杆CD的端点D离地面的高度DE．（2）如图3，将图2中的连杆BC固定，把连杆CD绕点C逆时针旋转20°，此时连杆端点D离地面l的高度减小了多少？（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）【分析】（1）过点B作BF⊥DE，垂足为F，根据题意可得AB＝EF＝30cm，∠DFB＝∠ABF＝90°，从而求出∠DBF＝55°，进而求出∠D＝35°，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后进行计算即可解答；（2）如图2：过点C作CM⊥DE，垂足为M，在Rt△DMC中，利用锐角三角函数的定义求出DM的长，如图3：过点D作DG⊥l，垂足为G，过点C作CN⊥DG，垂足为N，根据题意可得∠DCN＝35°，然后在Rt△DNC中，利用锐角三角函数的定义求出DN的长，最后计算DM﹣DN的值，即可解答．【解答】解：（1）过点B作BF⊥DE，垂足为F，则AB＝EF＝30cm，∠DFB＝∠ABF＝90°，∵∠ABC＝145°，∴∠DBF＝∠ABC﹣∠ABF＝55°，∴∠D＝90°﹣∠DBF＝35°，∵BC＝CD＝80cm，∴BD＝DC+CB＝160（cm），在Rt△BDF中，DF＝DB•cos35°≈160×0.8＝128（cm），∴DE＝DF+EF＝128+30＝158（cm），∴连杆CD的端点D离地面的高度DE为158cm；（2）如图2：过点C作CM⊥DE，垂足为M，在Rt△DMC中，DC＝80cm，∠D＝35°，∴∠DCM＝90°﹣∠D＝55°，DM＝CD•cos35°≈80×0.8＝64（cm），如图3：过点D作DG⊥l，垂足为G，过点C作CN⊥DG，垂足为N，由题意得：∠DCN＝55°﹣20°＝35°，∴在Rt△DNC中，DC＝80cm，∴DN＝DC•sin35°＝80×0.6＝48（cm），∴DM﹣DN＝64﹣48＝16（cm），∴连杆端点D离地面l的高度减小了16cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（2022•宿豫区二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）【分析】（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，利用平行线的性质可得∠BMH＝66.4°，然后在Rt△BMH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而求出HP的长，即可解答；（2）延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，利用平角定义先求出∠NMK的度数，再在Rt△NMK中，利用锐角三角函数的定义求出KM的长，从而求出PQ的长，进行比较即可解答．【解答】解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2022•秦淮区二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．（1）求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；（2）比较路径①：A﹣C﹣D﹣B和路径②：A﹣E﹣F﹣B的长短，则较短路径为①（填序号），两路径相差0.5km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）【分析】（1）过点A作AG⊥PQ，垂足为G，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG，CG的长，再在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，进行计算可求出CE的长，即可解答；（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为Q，根据题意得：CE＝DF＝2km，根据三角形的外角可得∠FBD＝30°，从而可得BD＝DF＝2km，然后在Rt△BHD中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，从而在Rt△BHF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，然后再在Rt△AEG中，利用勾股定理求出AE的长，最后分别计算出路径①和路径②的长，即可解答．【解答】解：（1）过点A作AG⊥PQ，垂足为G，在Rt△ACG中，AC＝6km，∠ACG＝45°，∴AG＝AC•sin45°＝6×＝3（km），CG＝AC•cos45°＝6×＝3（km），在Rt△AEG中，∠AEG＝71.6°，∴EG＝≈＝（cm），∴CE＝CG﹣EG＝3﹣＝2≈2.8（km），∴两座桥CD，EF之间的距离约为2.8km；（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为Q，由题意得：CE＝DF＝2km，∵∠BDH是△BDF的一个外角，∴∠FBD＝∠BDH﹣∠BFD＝30°，∴∠BFD＝∠DBF＝30°，∴DB＝DF＝2km，在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，∴BH＝BD•sin60°＝2×＝，∴BF＝2BH＝2（km），在Rt△AEG中，AE＝＝＝2，∴路径①的长＝AC+CD+BD＝6+0.5+2≈9.32（km），路径②的长＝AE+EF+BF＝2+0.5+2≈9.86（km），9.86﹣9.32≈0.5（km），∴较短路径为：①，两路径相差0.5km，故答案为：①，0.5．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【压轴】一、填空题1．（2022·江苏·南京钟英中学九年级阶段练习）是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是___________．【答案】##【分析】先证明，如图，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论．【详解】解：∵都是等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，如图，设交于点T．∵，∴，∵，∴，∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=4，AC=2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O重合时运动结束、在整个运动过程中，点C运动的路程是_____．【答案】【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．【详解】解：如图3，连接OG．∵∠AOB是直角，G为AB中点，∴GO=AB=半径，∴原点O始终在⊙G上．∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，∴BC=，连接OC，则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC=，∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．如图4，C1C2=OC2-OC1=4-2=2；如图5，C2C3=OC2-OC3=；∴总路径为：C1C2+C2C3==，故答案为：．【点睛】此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．二、解答题3．（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）小华同学利用折纸探究图形折叠过程中所蕴含的数学道理，点为矩形纸片边上一点，小华将沿着折叠至，已知，请你帮助小华解决下列问题：操作与实践：如图1，当点与点重合时，与交于点，求的面积．探究与发现：如图2，当点为中点时，与交于点，求的长；拓展与延伸：线段、射线分别与线段交于点，小华在折叠的过程中发现的形状随着长度的变化而变化，当为直角三角形时，求的长．【答案】操作与实践：；探究与发现：；拓展与延伸：或【分析】操作与实践：根据折叠的性质得出，则，则，设，则，勾股定理即可求解，求得，根据三角形面积公式计算即可；探究与发现：由折叠可知，，延长交于点，则，设，则，中，，得出，证明，根据相似三角形的性质得出比例式，计算即可得出；拓展与延伸：分两种情况讨论，①当，在上时，由，得出，求得，②当时，得出，勾股定理求得，然后根据，即可求解．【详解】操作与实践解：∵四边形是矩形，，∴，，∴，由折叠可知，∴∴设，则∵∴解得：即∴探究与发现：∵四边形是矩形，∴，∴∵点是的中点，∴由折叠可知，如图，延长交于点，则∵，∴，∴，∴，设，则，在中，，即，解得，即，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得；拓展与延伸：①当，在上时，如图，∵四边形是矩形，，∴，∵，∴，∴即，∴；②当时，如图，∵，∴，∴，∴，∵沿着折叠至，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，综上所述的长为或．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正切，掌握折叠的性质是解题的关键．4．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，已知⊙M与坐标轴分别交于，，，D，经过点A的直线l与y轴交于点．(1)①；②点M的坐标为；(2)当直线l与⊙M相切时，求m的值；(3)当时，点Q为直线l（除点A外）上的动点，且，请直接写出满足条件的Q点的横坐标．【答案】(1)①1；②(2)(3)3或【分析】（1）①连接，根据题意可得，可得，再根据圆周角定理，即可求解；②连接，过点M作轴于点E，轴于点F，根据题意可得，，再由垂径定理可得，，即可求解；（2）证明，可得，即可求解；（3）连接，延长交直线l于点G，根据勾股定理逆定理可得，再由圆周角定理可得，从而得到当点Q与点A重合时，点Q满足条件，再证得，可得满足条件的点Q和点A关于直线对称，分别求出直线和直线l的解析式，可得到点G的横坐标，即可求解．【详解】（1）解：①如图，连接，∵，，∴，∴，∵，∴；故答案为：1②如图，连接，过点M作轴于点E，轴于点F，由①得：，∴，∵，，，∴，∴，，∵轴，∴，∴，同理，∴点M的坐标为；故答案为：（2）解：如图，∵直线l与⊙M相切，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴点P的坐标为，即；（3）解：如图，连接，延长交直线l于点G，∵，∴，∴，∴，∴，∵，当点Q与点A重合时，点Q满足条件，此时点Q的横坐标为3，；当点Q在直线的下方时，∵点，即，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，此时满足条件的点Q和点A关于直线对称，即点G为的中点，设直线的解析式为，把点代入得：，解得：，∴直线的解析式为，同理直线l的解析式为，联立得：，解得：，即点G的横坐标为，∴此时点Q的横坐标为；综上所述，满足条件的点Q的坐标为3或．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，解直角三角形，垂径定理，勾股定理及其逆定理的应用等知识，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，垂径定理，勾股定理及其逆定理的应用等知识，并利用数形结合思想解答是解题的关键．5．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．(1)【观察发现】与的位置关系是______；(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析；(4)，理由见解析．【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；（2）连接，，由可知点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，则，由翻折变换的性质可得，证明，可得结论；（3）连接，，，延长至点H，求出，，可得，然后证明，可得，进而得到即可解决问题．（4）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根据相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出，，再根据勾股定理列式即可得出结论．【详解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性质可知，，故答案为：；（2）解：，理由：如图，连接，，∵为中点，∴，∴点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，∴，∴，由翻折变换的性质可知，∴，∴；（3）解：结论：；理由：如图，连接，，，延长至点H，由翻折的性质可知，设，，∵四边形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：结论：，理由：如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，∵，∴，∴，∴，，在中，则有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，，，两动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒个单位长度的速度沿线段OC向点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿着线段BO向点O运动，当点P运动到点C时，P、Q同时停止，设这两个点运动时间为t（s），(1)直接写出点A、B的坐标；(2)当的面积为时，求t的值；(3)在运动过程中，是否存在P、Q两点，使得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)，或，(3)或或【分析】（1）由矩形的性质和已知条件求出、即可得出、的坐标；（2）作于，则，证出，得出对应边成比例，得出，由的面积，求出的值，再求出，即可得出的坐标；（3）分三种情况：①当时；②当时；③时；分别得出的方程，解方程即可．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，，，，，，，；（2）作于，如图1所示：则，，，即，，的面积，解得：或，当时，，；当时，，；点的坐标为，，或，；（3）存在；分三种情况：如图2所示：①当时，，，由（2）得：，，，，解得：，或；②当时，，，解得：（负值舍去），；③时，，，解得：．综上所述：的值为或或．【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、三角函数以及坐标与图形特征；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过分类讨论列出方程，解方程才能得出结果．7．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）已知，如图：正方形ABCD，，动点E以个单位每秒的速度从点A出发向终点C运动，同时动点F以2个单位每秒的速度从点B出发，沿射线BC向右运动．当点E到达点C时，点E、点F同时停止运动．连接EF，以EF为直径作⊙O，该圆与直线AC的另一个交点为点