高考数学复习 专题一 高频客观命题点 1.4 平面向量练习 文-人教版高三数学试题

1.4平面向量高考命题规律1.高考必考考题.选择题或填空题,5分,中低档难度,主要考查向量的坐标运算.2.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理7命题角度2平面向量的坐标运算2413133131313313命题角度3计算平面向量的数量积4命题角度4平面向量数量积的应用48命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34B.1C.34D.1答案A解析如图,EB=-BE=-12=1=12=342.(2014全国Ⅰ·6)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(A.AD B.12C.BC D.1答案A解析由于D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-3.(2014福建·10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+A.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D解析因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA典题演练提能·刷高分1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为()A.5 B.3 C.2.5 D.2答案C解析∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.∴2t=4,tλ2.(2019山东实验中学等四校高三联考)如图Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设AB=a,AC=b,则向量AD=(A.a+b B.12a+C.a+12b D.a+2答案C解析设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在Rt△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以AD=AB+3.(2019宁夏平罗中学高三期中)已知数列{an}是正项等差数列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,则a3a5的最大值为()A.1 B.1C.14 D.答案C解析∵BD=tBC,故B,C,D三点共线.∵AD=a3AB+a5AC,∴a3+a5=1,数列{an}是正项等差数列,故a3>0,a5>0,∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤4.(2019山东德州高三模拟)设向量a,b不平行,向量a+14λb与-a+b平行,则实数λ=.答案-4解析由a,b不平行,知-a+b≠0,又a+14λb与-a+b平行,故存在实数μ,使a+14λb=μ(-a+b根据平面向量基本定理得,-∴λ=-4.5.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是.

答案1解析由平面向量的运算可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,注意到AE,AF不共线,且BD=xAE+y6.在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设AM=xAE+yAF,则x+y=.

答案7解析∵B,M,F三点共线,∴存在实数t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,∴AM=2(1-t)AE+又E,M,C三点共线,∴2(1-t)+13t=1,解得t=3∴AM=2(1-t)AE+tAF=∴x=45,y=35,x+y=命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2 B.2 C.52 D.50答案A解析由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2.(2019全国Ⅲ·13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=.

答案-2解析cos<a,b>=a·b|3.(2019北京·9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=.

答案8解析∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.4.(2018全国Ⅲ·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.

答案1解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=125.(2017全国Ⅲ·13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.

答案2解析∵a⊥b,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.典题演练提能·刷高分1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t=()A.0 B.12 C.-2 D.-答案C解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)∥(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),∴t=-2,故选C.2.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是.

答案2解析∵a=(1,1),b=(2,x),a+b与3a-b平行,∴a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.3.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且a∥b,则|a-b|=.

答案25解析由题得2x+6=0,即x=-3.则a-b=(-4,2),∴|a-b|=42+(-24.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=λb+μc,则λμ=.答案-3解析由a=λb+μc可知(-1,1)=λ(2,-1)+μ(1,2)=(2λ+μ,-λ+2μ),∴2λ+μ=-1,-λ+2μ=1,解得5.向量BA=(1,2),CA∥BA,且|CA|=25,则BC的坐标为答案(3,6)或(-1,-2)解析∵CA∥BA,∴CA=tBA=(t,2t又|CA|=25,∴t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.当t=2时,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(当t=-2时,BC=BA+AC=(1,2)+命题角度3计算平面向量的数量积高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.(2016天津·7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(A.-58 B.18 C.14答案B解析方法1(基向量法):如图所示,选取AB,AC为基底,则AF=AB故AF·BC=12AB+34AC·(AC-AB)=方法2(坐标法):建立如图所示的平面直角坐标系,则A0,32,B-12,0,C12,3.(2017北京·12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为答案6解析方法1:设P(cosα,sinα),α∈R,则AO=(2,0),AP=(cosα+2,sinα),AO·AP=2cosα+当α=2kπ,k∈Z时,2cosα+4取得最大值,最大值为6.故AO·AP方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO4.(2017天津·14))在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-答案3解析∵BD=2DC,∴AD=AB+BD又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·∴AB·AC=3×2×12=3,23AC+1即2λ3∴2λ3×4-13×9+λ3-23×3=-4,即113λ典题演练提能·刷高分1.点B是以线段AC为直径的圆上的一点,其中|AB|=2,则AC·AB=(A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由圆的性质知∠ABC=90°,所以cos∠BAC=BAAC所以AC·AB=|AC|·|AB|·cos∠BAC=|AC|·|AB|·|AB2.在△ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点,则AMA.109 B.209 C.89答案B解析∵|AB+AC|=|AB-AC|,∴∠BAC=90°.又M,AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·3.(2019山东临沂高三三模)在△ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F为AB的三等分点,则CEA.89 B.109 C.179答案C解析因为|AB+AC|=|AB-AC|,所以|AB+AC|2=|AB-AC|2,整理得AB·AC=0.因为AB=2,AC=1,所以AB2=4,AC2=1,又因为E,F为AB的三等分点,所以CE·CF=(CA+AE)·(CA4.(2019河北枣强中学高三一模)已知△ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.点P为BC边上的动点,则PC·(PA+A.2 B.-34 C.-2 D.-答案D解析以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系.可得B(-1,0),C(1,0),设P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y≠0,则PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,当a=16时,PC·(PA+PB+PC)的最小值为5.如图,在正方形ABCD中,AB=2,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则AE·BF的值是答案0解析由题得AE·BF=AB+12BC·BC-12AB=AB·BC+12BC2-6.(2019福建厦门高三质检)在△ABC中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则PB·PC的最小值为答案5-27解析如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),C(1,3),设P(x,y),则PB=(4-x,-y),PC=(1-x,3-y),∴PB·PC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=(x-52)2+(y-32)2由几何图形可得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,∴(PB·PC)min=(命题角度4平面向量数量积的应用高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6 B.π3 C.2π答案B解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·所以a与b的夹角为π3,故选B2.(2014全国Ⅱ·4)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()A.1 B.2 C.3 D.5答案A解析∵|a+b|=10,∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10,①∵|a-b|=6,∴(a-b)2=6,∴|a|2+|b|2-2a·b=6,②由①-②得a·b=1,故选A.典题演练提能·刷高分1.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t<23 B.t>C.t<23且t≠-6 D.t<-答案C解析若a,b的夹角为钝角,则a·b<0且不反向共线,a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共线时,2×3=-t,得t=-6,此时a=-2b.所以t<23且t≠-6.2.已知在△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥B